2025年高考数学重难点专项复习：奔驰定理与四心问题【五大题型】原卷版

重难点10奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决

平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中

的重要问题，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题

要学会灵活求解.

►知识梳理

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为LABC内一点，且满足九PA+A2PB+A3PC=0,贝IJ有△/P8、△4PC、A5PC的面

积之比为

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

-->-->-->->

②重心的向量表示：如图，在△/2C中，点尸为△4BC重心台PN+尸3+PC=0.

③重心坐标公式：设/(孙为)，8(X2,乃)，CS,为)，则△ABC的重心坐标为

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△4BC中，点尸为△4BC垂心台万1•蔑=砺•记=万1•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

~AB

②内心的向量表示：如图，在△/3C中，三角形的内心在向量+三所在的直线上，点尸为^

R

N2C内心台|万卜PC+|sc|-PC+|cl|-PS=6.

A

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△48C中，点尸为△48C外心一|才|=|诟1=1记

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

--->--->--->->

(1)0是"BC的重心：SABOC：SACOA：S.OB=1：1AOA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^Boc:SACOA:S^AOB=tan/:tan氏tanC=tan/OA+tanBOB+tanCOC=0.

>>〉

(3)0是△45。的内心：S^Boc-S^coA-S^AOB=a:b:c^aOA+bOB+cOC=0.

(4)0是△ZBC的外心：S^Boc-S^COA'-S^AOB—sin2A:sin2^:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC

=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知。是△4BC内的一点，若△806440。,2k408的面积分别记为51,52

品，贝凡•瓦？+S2♦赤+S3•瓦=6.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔

驰定理如图，已知。是△力BC的垂心，且瓦5+2万+3瓦=6,贝i|tanNBAC:tan乙4BC:tan乙4cB=()

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，若△BOC、△40C、△力。B的

面积分别记为Si、S2,S3,贝历•初+S2•而+S3•瓦=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是△ABC的垂心,

且方+20B+40C=6,贝UcosB=（）

A.¥B.|C.|D.手

【变式1-21（23-24高二上•四川凉山・期末）在平面上有△4BC及内一点O满足关系式：S^OBC•市+S4o4c

•丽+S44B•沆=6即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a,b,c,现有a・瓦？+心丽+c•3=

6,则。为△4BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式1-3]（23-24高一下•湖北•期中）奔驰定理：已知。是△ABC内的一点，△BOC,△20C,AA0B

的面积分别为L，SB，SC,贝监・瓦？+SB•赤+S0・瓦=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形2BC内一

点，且满足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,则鲁变=（）

、△ABC

A

1

D.

3

【题型2重心问题】

【例2】（2024•全国•模拟预测）已知点。是△ABC的重心，过点。的直线与边分别交于M,N两点，D

为边的中点.若4。=+y/N（%,yER）,则久+y=（）

321

A.-B.-C.2D.-

【变式2-1］（2024•全国•二模）点。，是△ABC所在平面内两个不同的点，满足而=方+话+沆，则直

线。P经过△4BC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【变式2-2］（2024・四川南充•模拟预测）已知点。是△力8c的重心，。4=2,05=3,。。=3,则雨・布

+OA-OC+'OBOC=.

【变式2-3］（2024•四川雅安一模）若点P为△4BC的重心,35sin>l-PA+21sinB-PB+15sinCPC=0,

贝Ucos△BAC=.

【题型3垂心问题】

【例3】（2024高三下•全国•专题练习）如图，已知。是△力BC的垂心，^OA+2OB+3OC=0,贝UtanNB":

tan/ABUtan乙4cB等于()

B.1:2:4

C.2:3:4D.2:3:6

【变式3-1］（24-25高一下•辽宁沈阳•阶段练习）在△回（?中，若出而=葩衣=配亦,则点〃是

△力BC的()

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【变式3-2］（2024•辽宁抚顺•模拟预测）在锐角三角形48c中，2=60。，AB>AC,，为△ABC的垂心，

AH-AC=20,。为△ABC的外心，且说♦刀=留珂・|万贝|BC=（）

A.9B.8C.7D.6

【变式3-3］（24-25高一下•云南昆明•阶段练习）已知在△2BC中，sin2X+sin2C=sin2B+sinX-sinC,H

是△ABC的垂心，且满足丽•丽=8,贝U△4BC的面积S44BC=（）

A.8V3B.8C.4V3D.4

【题型4内心问题】

【例4】（23-24高一下•浙江•期中）设。为△ABC的内心，2B=4C=13,BC=10,>10=mAB+nAC

(m,nGR),则m+?t=()

【变式4-1］（2024•安徽淮南•一模）在△ABC中，2B=4/C=6,点。，£分别在线段48,AC上，且。

为力B中点，AE=^EC,若丽=诟+荏，则直线4P经过△4BC的（）.

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【变式4-2］（2024高三•全国•专题练习）在△4BC中，|万|=2,|而|=3,|近|=4,。是的内心,

且彩=4万+4元，贝1|4+〃=（）

A.2B.5C.1D-i

【变式4-3］（2024高一•全国・专题练习）已知△4BC所在的平面上的动点P满足而=|彳^前+|荔|彳?,

则直线4P一定经过△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【题型5外心问题】

【例5】（2024•安徽•模拟预测）已知△力BC的外心为G,内角4B,C的对边分别为a,6,c,且a:b:c=5:5:8.若

CA-CB=-28,则花•丽=（）

25

A.yB.50C.25D.25V2

【变式5-1］（2024・云南曲靖•二模）已知。是的外心，AB+AC=2AO,\OA\=\AB\,则向量芯在

向量而上的投影向量为（）

A.-^BCB.~^BCC.|fiCD.^BC

【变式5-2]（2024•新疆•一模）已知平面向量碗，而满足|府|=|而|=2,•赤=-2,点。满足

DA=2OD,£为△AOB的外心，则布•前的值为（）

,16-8-8-16

A.——B.--C.-D.—

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）已知△4BC中，AO=XAB+（1-Z）XC,且。为△ABC的外4若瓦?在

前上的投影向量为〃丽，且cosN4OCe||,|],贝必的取值范围为（）

AY昌B.[|±]c.[i,|]D,[|,|]

►课后提升练（19题

一、单选题

I.（2024•全国•模拟预测）已知在△ABC中，G为aABC的重心，。为边8c中点，贝ij（）

A.AB+AC=2AGB.AD=3AG

----->>>2>2----->>>>

C.AB-AC^AD-BDD.AB-AD=AC-AD

2.（2024•全国•模拟预测）已知平面上四个点4B,C,D,其中任意三个不共线.若荏•丽=尼•同，则直

线2D一定经过三角形ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.（23-24高一下•河北•期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知。为△ABC内的一点，△BOC,

AAOC,aylOB的面积分别为SA，SB，SC,贝口人•方+SB・/+S。・无=6.因其几何表示酷似奔驰的标

志，所以称为“奔驰定理”.已知。为△48C的内心，三个角对应的边分别为a,b,c,已知a=3,6=2

V3,c=5,贝!]8。♦AC=（）

A.2V^—8B.—2C.V6—7D.3V^—9

4.（2024・四川南充•三模）已知点P在△川（；所在平面内，若园.（缁-缁）=丽•（隽-黑■）=（）,则点尸

\AC|1AHi\DCI|DYI|

是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

5.（23-24高一下•甘肃・期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△4MB的面积分别为力，SB,Sc,

T—>TTT—>

且54-用力+58一用3+5「用。=0.若时为443（；的垂心，3MA+4MB+5MC^0,贝!JCOSNAMB=（）

A

C.#D-T

6.（2024•全国•模拟预测）已知在△ABC中，角48c的对边分别为见hc,2sinA=acosC,c=2.若G为八ABC

的重心，则G42+GB2—GC2的最小值为（）

A12-4«B8+4遮C4«-2D4+2«

・99•-3-•-3-

7.（23-24高一下•黑龙江•期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：

三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点G,”,。分别为△ABC的重心，垂心，外

心，。为2B的中点，贝|（）

A.~CH=~ODB.CW=200C.~CH=30DD.CH=40D

8.（2024・安徽•三模）平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△04B,△OBC,△OCX

的面积分别记作S,，Sa,Sb,则有关系式Sa•函+Sb•赤+Sc•沅=0.因图形和奔驰车的Zog。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理已知△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a•函+b•赤+c•

OC=0,则。为△ABC的（）

C.重心D.垂心

二、多选题

9.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）在△4BC中，AB=4C=5,BC=6,P为△ABC内的一点，AP=xAB

+yAC,则下列说法正确的是（）

A.若P为△力BC的重心，贝收+y=TB.若P为△ABC的外心，则丽•丽=一18

7q

若为△的垂心，则若为△力的内心，则

C.PABCx+y=/looD.PBCx+y=[

10.（23-24高一下•湖南长沙•期末）点。在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若瓦5•丽=丽•无=沆-52,则点。为△A8C的外心（外接圆圆心）

B.若而=%（/—+PCR），则动点。的轨迹一定通过△ABC的重心

\AC\smCj

C.若2。4+。8+3。。=0,S△AOC，S44BC分别表示△ZOC,的面积，贝=1：6

。■若市•（品+备）=诂,（备+备）=云,（篇+啬）=。，则点。是△皿。的内心

11.（24-25高一下•山东•阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非

常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：

已知”是△4BC内一点，△BMC,AAMC,△4M8的面积分别为勿，SB,Sc,且山•凉+SB•丽+S0

-MC=0.以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1:1:1,则M为△4MC的重心

B.若“为△ABC的内心，贝IJBC•雨+4C•雨+AB•流=6

C.若N82C=45°,Z^BC=60°,M为△4BC的外心，贝I]S4：SB：SC=K：2:1

D.若M为△ABC的垂心，3加+4丽+5标=6,贝!Jcos/AMB=-逅

6

三、填空题

12.（2024・湖北•模拟预测）在△ABC中，AB-AC=16,SAABC^6,BC=3,^.AB>AC,若。为△48C

的内心，则与•丽=.

13.（2024・四川凉山•三模）在aABC中，已知4B=1/C=3,点G为△ABC的外心，点。为△ABC重心,

则痔丽=.

14.（24-25高二上•四川广安•开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对

应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：

如图，已知。是△力BC内一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为力，SB,SC,贝口4•丽+

Sc-OC=0.若。是锐角△ABC内的一点，A,B,C是△A8C的三个内角，且。点满足市•丽=布•瓦=无

-0A,则下列说法正确的是（填序号）.

A

①。是△ABC的垂心；②NB0C+4<n；

（3）|O^4|：|OB|：|OC|=cosX:cosB:cosC；（4）tanX-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

四、解答题

15.(23-24高一下•山东聊城•期中)在△ABC中，M,N为△ABC所在平面内的两点，AB=3,AC=2V3,

MC=|BC,NA+NC=0,

(1)以荏和前作为一组基底表示丽，并求|而|；

(2)。为直线MN上一点，设而=%屈+)/就(x,yeR),若直线CD经过△28C的垂心，求x