2025年高考数学模拟试卷3（九省新高考新结构卷）及答案

2025年高考数学模拟试卷03（新九省卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=卜|国<3,xeZ},B={x|y=ln（x-1）},则Ac隔町=（）

A.{-2,—1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.2,-1,0,1}D.{-2,-1,0}

2.已知复数z满足z=-l+1L,则复数z的共辗复数的模向=（）

1+111

A.显B.典C.叵D.1

2242

3.设是两个平面，见"，/是三条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若lu/3,mua,ILm,则a，/?

B.若_Ln,mA.a,则nila

C.若a（3=m,py=n,yca=l,则%〃“〃/

D.若〃/a,〃/，ap=m,则〃/加

4.将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种

数为（）

A.56B.84C.126D.210

5.记S“为等比数列{%}的前w项和，若吩5=22&，则*=（

)

A.5B.4C.3D.2

6.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、6、c.已知。=9,b=8,c=5,则ABC的外接圆半径为（）

A157n03OVTT„15而CIOTTT

A.----D.-----C.-----L)•-----

11112211

7.己知a,£/0,g],2tana=.:吟夕,°,贝ijcosj2a+p+g]=()

I2)sinp+sinp\3J

22

8.双曲线C:斗-斗=1的左、右顶点分别为A，4,左、右焦点分别为耳，F,过片作直线与双曲线C的

ab2

左、右两支分别交于M，N两点.若F、M=3MN,且cosN^Ng=；,则直线M&与M4的斜率之积为（）

45_5

A.2B.C.D.

2?23

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若>是样本数据演户3，%的平均数，则（）

A.占,马，w，%的极差等于玉，无2，w，％,y的极差

B.占,天2，X3，匕的平均数等于占,尤2,尤3，匕，，的平均数

C.尤“程马匕的中位数等于与孙与匕与的中位数

D.%,马，工3，匕的标准差大于内，工2，工3，匕，丫的标准差

10.已知y（x）=Asin（0x+e）（A>O,0>O,O<e<]]的部分图象如图所示，贝!|（）

A.7（元）的最小正周期为兀

B./（x）满足仆）+/样_%）=0

C.7（无）在区间■1]的值域为11,6]

D.“X）在区间1,2兀）上有3个极值点

11.已知函数的定义域为R,其导函数为y'（无），若函数〃2x-3）的图象关于点（2,1）对称,

/(2+x)-/(2—x)=4x,且/(0)=0,贝I]()

A.7(元)的图像关于点(1,1)对称B./(x+4)=/(x)

50

C./”026)=2D.7(0=2499

i=l

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(/+l)(2x-%的展开式中常数项为.

X

13.若抛物线〉=L/的焦点到直线y=l的距离为1,则实数机的值为.

m

14.某冰淇淋门面店将上半部是半球(半球的半径为3),下半部是倒立的圆锥(圆锥的高为6)的冰淇淋模

型放到楣窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形A8C金属片沿三边中点Z),E,尸的连线向上折叠成直二

面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)已知质量均匀的正“面体，”个面分别标以数字1到”.

(1)抛掷一个这样的正〃面体，随机变量X表示它与地面接触的面上的数字.若尸(X<5)=孑求心

(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正〃面体，随机变量Y表示这两个正“面体与地面接触的面上的数

字和的情况，我们规定：数字和小于7,等于7,大于7,Y分别取值0,1,2,求Y的分布列及期望.

16.(15分)已知函数/(x)=2(mx-lnx)+e.

(1)若的图象在点(1J(D)处的切线与直线，：2x+y+l=0垂直，求加的值;

(2)讨论了(无)的单调性与极值.

17.（15分）如图，在几何体ABC-A与£中，四边形BCG片是边长为2的正方形，MBB、,AAl=3,点

E在线段AC上，且EG=2AE.

（1）证明：4石〃平面ABG；

（2）若工平面BCC£,且A5=2,求直线AQ与平面AqE所成角的正弦值.

18.（17分）已知。为坐标原点，椭圆C：^+丁=1（。>1）的上、下顶点为A、B,椭圆上的点P位于第二

a

11

象限，直线B4、PB,P。的斜率分别为匕,自,勺，且厂=-的4Z.

K]K2

（I）求椭圆c的标准方程；

（2）过原点。分别作直线抬、的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四

边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.

19.（17分）已知左eN*,集合XL{X|尤=2'。+2"+…+240“<z；<<%,其中屁,…，逅N}.

（1）求X2中最小的元素；

13

（2）i^a=2+2eXx,beX、,且a+beX]，求6的值；

我+1b

（3）记4=XQ（2"h[,"eN*,若集合匕中的元素个数为〃，求5

数学.参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

12345678

CADBCABD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

91011

ABADACD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.1613.814.9+>/3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

42

15.【解析】（1）因为P（X<5）=—=三，所以〃=6.

n3

（2）样本空间。={（7"J）le{l,2,3,4,5,6}},共有36个样本点.

记事件A="数字之和小于7"，事件3="数字之和等于7"，事件C="数字之和大于7”.

A={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},共15种,

故尸(Y=0)=P(A)=粤=二

3612

3={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)},共6种，故尸(Y=1)=尸(8)=三='；

366

C={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共15种,

故P(Y=2)=P(C)=£=3

3612

从而Y的分布列为：

Y012

5J_5

P

12612

故RYXOxa+lxL+Zx?：1

16.【解析】(1)由题得，/⑴的定义域为(0,+8).

.£(、、22(〃优-1)

..j(x)=2m——=-------.

xx

于(X)的图象在点(1J⑴)处的切线与直线l-2x+y+1=0垂直，

/'(I)=2(/71-1)=i解得加=’.

24

(2)由(1)知/(x)=2(67.

X

①当〃心0时，r(元)＜0恒成立，二/a)在(。,+8)上为减函数，此时了⑴无极值;

②当〃z＞o时，由r(无)＞0,得尤＞1，由/’(无)＜。，得。＜无＜,，

mm

/(%)在［o,上单调递减，在1+8］上单调递增，

ImJym)

故了⑴的极小值为U=21nzn+2+e.

综上可得，当机40时，/(x)在(0,+8)上为减函数，/⑺无极值；

当相＞0时，Ax)在(。，工］上单调递减，在上单调递增.

(m)\m)

/(尤)的极小值为21nM+2+e,无极大值.

17.【解析】(1)在线段AA,上取一点“，使4屈=：44,

连结用M,ME,贝|肱4=24m，

又因为EG=2A1E,所以ME〃AC「

因为MEV平面A8C］,AC|u平面ABC］，所以ME〃平面A8G，

由4A=3,得M4=2,又与8=2,且A4,BB,,

所以四边形山洱M为平行四边形，所以耳

因为耳Mcz平面ABCr,ABu平面ABC,,所以耳"//平面ABQ,

又B［McME=M,B|Afu平面BjME,MEu平面4ME,

所以平面B\ME//平面ABC,,

又因为耳Eu平面所以用E//平面ABC一

4i

BCx

（2）因为Afi工平面BCG片,B片,BCu平面BCC4，所以A8，8瓦,AB，BC,

又四边形8CC4是正方形，所以8瓦，8C,所以8C,R4,B与两两互相垂直.

所以以B为原点，以BC8A,8片所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

^AB=BC=2,AA,=3,得A（0,2,0）,4（0,2,3）,耳（0,0,2）,G（2,0,2）,

于是AC=⑵-2,—1）,9=（o,-2,2）,4A=（o,2,i）,B,E=B,4+|AG=

-2y+2z=0

n-AB.=0y—z=0

设平面AB乃的法向量为〃=（x,y,z）,则,得,242

ti-B^E=0—x+—y+—z=0x+2y+z=0

〔333

令y=l,得z=l,x=—3,所以平面的一个法向量"=（-3,1,1）,

设直线AG与平面AB]E所成的角为e,

"Sin叼cosM讣黑=后市士R=缪•

所以直线AG与平面乃所成角的正弦值为针.

18•【解析】（1）由题意可得4（0,1）,3（0,-1）,

设尸（飞,%），%e（0,1）,则左=3二，4=多±L%=资，

玉）玉）

...,+,=_4&，.♦.3+七=学，化简得：2（1-城=君①,

勺脱2°X）十,40

又尸（七,%）在椭圆上，石+y：=l②，

a

由①②得2（1-y；）=/（l一尤）,

又为«0,1）,，片二？，故椭圆C的标准方程]+y2=i；

（2）设直线E4的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）,

直线尸3的平行线与椭圆相交于点G、H(G在上方)，

直线EF的方程为y=kxx,直线GH的方程为y=k2x,

1,1

又幽

%0XQXQ2(1-yo)3K

y=k[X

,2+22；

联立%2.:.\OE\=\OF\\1+2将

—+y=i

i4K

y=-----x

2kl2%2+111+4k；

联立＜解得，:.\OH\=\OG\=

11+26

—+y2=ly2

I2-2%；+l

设直线EF的倾斜角为凡直线GW的倾斜角为a,NEOx=0,ZGOx=a,

tan0-k.tana=k、=---.

x122尢’

1,sina=1,cos\=_2kl

贝Usin0-.,cos0=

9+公Jl+左；4+4左；Ji+46

sin/EOG=sin(a—6)=sinacos0-cosasinO=

...四边形面积为：s=2(SAO£G+SXEOH)=2x||O£||OG|sin(a-0)+2x||OE||OH|sin(a-6)

=2|O£||OG|sin(«-0)=2^1±<.