2025年高考数学第一次模拟考试（北京卷2）（考试版A4）

2025年高考数学第一次模拟考试（北京卷02）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知全集。=区，N={x|-3<x<l},B={x\0<x<2},则图中阴影部分表示的集合为（）

C.{x\-3<x<2}D.{x|0<x<1}

2.若复数Z满足z=则复平面内表示Z的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知直线2x—y=0与圆°：（工_2）2+3+1）2=9相交于43,则△/8C的面积等于（）

A.273B.275c.4GD.475

4.己知尸是抛物线产=12x上的动点，”是抛物线的准线/上的动点，N（0,4）,贝1］户叫+|尸叫的最小值是

)

A.5B.4c.4V2D.372

5.在△NBC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,己知

(sin^-sm5)(/>+a)=c(sin5+sinC),则△4BC面积的最大值为()

A-IB-T

6.已知函数/(x)=x3-2x,x”x2eR,贝1]"再=0"是=0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

7.如图，三棱柱ABC-/4。中，E,尸分别是/瓦/C的中点，平面跖Gg将三棱柱分成体积为匕，匕（左

为匕，右为匕）两部分，则%:匕=（）

A.5:6B.3:4C.1:2D.5:7

8.春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创

造属于我们自己的美好生活.随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长,

荷叶覆盖水面面积都是前一天的:倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一

4

半时，荷叶大约生长了（参考数据1g2。0.3）（）

A.15天B.16天C.17天D.18天

一3

9.已知函数/（x）h（2"T）x+"X'l在区间（_9+8）上对任意的国力马，都满足〃再）[〃%）<0,则实

ax,x<l再一々

数。的取值范围是（）.

A.1B.C.[o,][*]

10.已知等差数列｛%｝和等比数列｛々｝,%=4=-4,@=2,%=砌,加€田，贝嗨足句,也“>1的数值机（）

A.有且仅有1个值B.有且仅有2个值

C.有且仅有3个值D.有无数多个值

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

22

1L已知双曲线1的虚轴长为2,则双曲线C的渐近线方程是

12.已知，+止）展开式中的第4项是一次项，贝心=,展开式中系数最大的项是

13.A42c中，AC=BC,乙BAC=60°,。为2c中点，£1为4B中点，M为线段CE■上动点，丽.互3=4,

则|/。1=；下7.而的最小值为.

14.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规

律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,…，记作数列｛%｝,贝U%4=若数列｛%｝的前〃项和为Sn,贝97=

1

11

121

1331

14641

15.已知曲线C：4x|x|-5HM=20,点出0,3）,&（°，-3）,则下列结论正确的有

①.曲线C关于直线了=一丫对称

②.曲线C上存在点使得|孙1TM词=4

③.直线y与曲线C只有一个交点

④.曲线C上第一象限内的点到直线J=言工与y=一半x的距离之积为定值

三、解答题：本题共5小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（满分13分）在△ASC中，内角4氏。的对边分别为Q也c.已知cos24=cos_8cosC-sinBsinC.

⑴求角A的大小；

⑵已知a=6,c=2A/3.求AABC的面积.

17.(满分14分)羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体/BCD环是一个羡除，其中四边

形48co与四边形/DE尸均为等腰梯形，且£F/父D〃5C,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=回,M为4D

中点，平面8CEF与平面N0EF交于跖.

⑴求证：9〃平面CDE；

(2)已知点。是线段4E上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面板所成角

的正弦值的最大值.

条件①：平面40斯，平面/BCD；

条件②：EC=2.43.

18.(满分13分)随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学

生对于“中华诗词"的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习"中华诗词"的时

间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图:

频率/组距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O102030405060分钟/天

图1：甲大学图2：乙大学

根据学生每天学习"中华诗词"的时间，可以将学生对于"中华诗词"的喜好程度分为三个等级:

学习时间：(分钟/天)^<2020白<50出50

等级一般爱好痴迷

(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；

⑵从这两组"痴迷"的同学中随机选出2人，记忑为选出的两人中甲大学的人数，求忑的分布列和数学期望

£信)；

⑶试判断选出的这两组学生每天学习"中华诗词”时间的平均值又甲与田乙的大小，及方差与si的大小.(只

需写出结论)

19.(满分15分)已知函数/(x)=(x+a)lnx.

(1)若a=-l,证明：/(x)>0:

(2)若过坐标原点的直线能与曲线y=/(x)相切，求。的取值范围.

20.(满分15分)已知幺(2,1)是椭圆£：［+《=1(q>6>0)上的一点，且E的离心率为"，斜率存在且

ab2

不过点A的直线