2025年高考数学热点题型突破：解三角形十类题型汇编（解析版）

*者率*急JUL型突破.,第三鲁彬十昊烈型汇£

近4年考情(2021-2024)

考题统计考点分析考点吴求

2024年/卷第15题，13分

2024年〃卷第15题，13分

高考对本节的考查不会有大的变（1）正弦定理、余弦定理及其变形

2024年甲卷第11题，5分化，仍将以考查正余弦定理的基本

（2）三角形的面积公式并能应用

2023年I卷〃卷第17题，10分使用、面积公式的应用为主.从近

五年的全国卷的考查情况来看，本

2023年甲卷第16题，5分（3）实际应用

节是高考的热点，主要以考查正余

2023年乙卷第18题，12分弦定理的应用和面积公式为主.（4）三角恒等变换

2022年/卷〃卷第18题，12分

2021年/卷〃卷第20题，12分

题型一拆角与姿角................................................................2

类型一出现了3个角（拆角）..............................................................2

类型二凑角..............................................................................3

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角.................................................5

类型四通过诱导公式统一函数名........................................................6

题型二利用余裁定理化简等式......................................................7

类型一出现了角或边的平方.............................................................7

类型二出现角的余弦（正弦走不通）.......................................................9

题型三周长与面积相关计算.......................................................11

类型一面积相关计算...................................................................11

类型二周长的相关计算.................................................................13

题型四倍角关系.................................................................16

类型一倍角关系的证明和应用..........................................................16

类型二扩角降幕........................................................................19

类型三图形中二倍角的处理............................................................20

题型五角平分线相关计算.........................................................23

题型六中线相关计算.............................................................27

题型七高线线相关计算...........................................................32

题型八其它中间线...............................................................34

题型九三角劝解的个数问题.......................................................41

题型十解三角形的实际应用.......................................................44

类型一距离问题.......................................................................44

类型二高度问题.......................................................................46

-----------------------------------------O（热点题型）o

拆角与凑角

核心•技巧

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

a>b^A>B<=>sinA>sinB=cosA<cosB

a+bb+c_以+c_ab

③合分比:施=2A

si.沈;sin。sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinB

（2）AABG内角和定理（结合诱导公式）：A+B+。=兀

①sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(?l+8)=cosAcosB—sin^sinB;

③斜三角形中，—tanC=tan(力+B)=-3”人士1ali义gtanyl+tanB+tan(7=tanA-tanB-tanG

1—tanA*tanB

小.(A-\-B\C(A-\-B\.C

⑷sm(---)=cos—;cos(---)=sm—

类型一出现了3个角（拆角）

1•在燔皿的值

【答案吟

【详解】因为卡=空贮，所以由正弦定理可得2sinB—存inC=cosC

cosAV3sinAcosA

2sinBcosA=V3sinAcosC+A/3sinCcosA=A/3sin(A+C)=V3sinB

因为sinBW0,所以cosA=，因为Ae（0,兀），所以A=专.

2.入46。的内角4旦。的对边分别为0也0,且6=2*11（71+与）,求。.

\67

【答案畤

解：因为6=2csin（A+二），在△ABC中，由正弦定理得,

\07•••

sin_B=2sinCsin(>l+?),又因为sinB=sin(兀-4—O)=sinfA+C),

\of

所以sin(A+C)=2sinCsin(4+1),

展开得sinAcosC+cosAsinC=2sinCsinA+cosA

sinAcosC—V3sinCsinA=0

因为sinAW0,故cosC=V3sinC,tanC=

o

又因为Ce(o,n),所以。=/

6

3.（湛江一模）在△ABC中，内角48,。的对边分别为a,b,c,已知/=2cos（等一C）

求4

【答案】4=2

0

【详解】2cos(a―。)=2cos-^-cosC+2sin-|-sinC=cosC+V3sinC,

所以2=cosC+V^sin。，故b=V3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=V3sinAsinC+sinAcosC,又_8=兀一(A+C),

所以sinB=sin[兀一(力+C)]=sin(A+C)=V3sin>lsinC+sinAcosC,

故sin74cosc+cosAsinC=sinAcosC+V3sinAsinC,

CE(0,7r),sinCW0,所以cosA=V^sirM,即tanA=,AE(0,7U)，故A=£.

3o

类型二次角

4.在△ABC中，角A,8,。的对边分别为a,b,c,已知2acosA•cosB+bcos2A=V3c—b,求角A

【答案】(1)4=3

o

【详解】因为2acosA-cosB+fecos2A=V3c—b,

所以2acosAcosB+b(cos2A+1)=V3C,

即2QCOSJ4cos_B+2bcos2A=V3c,

由正弦定理得2sin/cos?lcos_B+2sinBcos2A=V3sinC,

2cosA(sin?lcosB+sinBcosA)=V3sinC,

2cosAsin(A+B)=V3sin(7,即2cos4sinC=，5sinC,且sinOO,

所以cosA=,A6(0,兀)，则A=告

2o

5.（2024届•广州•阶段练习）已知△ABC中角力，B,。的对边分别为a,b,c,满足&cosB+立cosC=

aa

3cosC,求sinC的值

【答案】竿

o

【分析】已知等式利用正弦定理边化角，或利用余弦定理角化边，化简可求sin。的值;

【详解】（1）解法一,：由—cosB+—cosC=3cos。，得ccosB+bcosC=3acosC.

aa

由正弦定理一=b=c得sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosC,

sinAsmBsmC

所以sin(B+C)=SsinAcosC,

由于_4+_8+。=兀，所以sin(B+C)=sin(7r—A)=sinA,则sinA=3sinAcosC.

因为OVAV兀，所以sinAW0,cost7=.

因为OVCV兀，所以sinC=Jl—cos2c=.

o

解法二：由—cosBH--cosC=3cosc，得ccosB+bcosC=3acosC.

aa

所以由余弦定理得c•。2为2一/+b・。2甘22=3acosC,

2ac2ab

化简得a=3acosC,即cos。=；,

o

因为0<。<兀，所以sinC=〃l—cos2C=2^3.

o

6.在C中，角48,C所对的边分别为a”,c,且以+金』+—当K求

cosAcosBcosC

tanBtanG.

【答案】tanBtanC=-1-

b+ca_13a

【详解】因为

cosBcosCcosAcosBcosC

bcosC+ccosB

所以ac°sBc^>sC+,即(bcosC+ccosB)cosA=a(cosBcosC+3cosA),

cosBcosCcosAcosBcosC

由正弦定理得(sin_BcosC+sinCcos_B)cos4=sinA(cosBcosC+3cosA),

所以sin(B+C)cosA=sinA(cosBcosC+3cos74),

即sinAcosA=sinA(cosBcosC+3cosA),

T0V>1V兀，则sinA>0,故cosBcosC+2cosA=0,

即cos8cosc—2cos(B+C)=0,也即cosBcosC—2cosBcosC+2sinBsinC=0,/.2sinBsinC=

cosBcosC,

i

所以tanBtanC=—.

7.=csin_A,求角。的大小.

【答案】年

V^asin=csinAnV5sinAsin(^----~sinCsinA=>V3cos-^-sinC

QC.Ccf-CCV3兀―02兀

V3cos-=92sm-—cos—=>V3=2sm—-=、>sm—=--=^>—=—^>C=--

8.已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,且，-=csin8,求。

【答案】⑴。=看

o

【详解】由正弦定理—=c，得V^sinBcos=sinCsinB,

sinBsinC，t2B

因为_BG(0,7T),则sinBW0,所以V^cos=sinC,•••

因为4+_8+（7=兀，所以（30$（"；，）=cos（5—与）=sin§.

所以V3sin-^-=2sin-y-cos-^-.

因为ce（0,兀），则苧eC,甑DC_V3

（0,^）,可得sin■y#0n,所以cos”-=^-,

则畀?所以。音•

9.在△ABC中，内角A,B,。所对边的长分别为Q,b,c,且满足bcos。=asinB,求4

【答案】4=誓

O

【详解】cos'；。=cos（］一1）=sin1,

_A

所以6sin—=asinB,

由正弦定理得：sinBsin^=sinAsinB,

A

*.*sinBW0,，sin-=sinA,

sin。=2sin^-cos^,,：AE（0,兀），。EA

/.sin—W0,

4n1日n兀2兀

侍c°S£=2,即2=可：.AT

类型三拆角后再用制助角公式合并求角

10.（深圳一模）记△48。的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知b+c=2asin（c+*），求4

【答案】4=看点评:拆角+辅助角公式

o

【解析】（1）由已知得，b+c=V3asinC4-acosC,

由正弦定理可得，sinB+sinC=V3sinAsinC+sinAcosC,

因为？4+_8+。=兀，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.代入上式，整理得cosAsinC+

sinC=A/3sinAsinC,

又因为CE（0,7L）,sinCW0,所以A/3sin?l—cosA=1,即sin（7l—=；.

而一看VA—春〈萼，所以A—/=强,4=看.

666663

11.在△4BC中，V3sinC+cosC=sinB+：m0,求A

smA

【答案】。A=^

o

【详解】在△ABC中sinC+cosC=sinB+：inC,

smA

整理得A/3sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC=sin（＞l+C）+sin。，即

VSsinCsinA+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sin。，于是

所以A/3sinCsinA=cosAsinC+sinC,•••

因为sinC#0,所以A/3S1IIA—cosA=1,即

乎sirM-ycosA=y,

所以sin（_A—看）=~!■，又因为OVAV兀，所以。A—E（—看’号'

所以幺—母=[,解得。4=].点评:拆角+辅助角公式

663

12.锐角△4BC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知QCOSC十四csinA=b+c,求4

【答案】4=看

o

【详解】acosC+V3csin>l=b+cnsinAcosC+V3sinCsinA=sinB+sin(7

nsinAcosC+V3sinCsinA=sin(A+C)+sinC=>V3sinCsinA=sinC^cosA+l)

VB>CE(0,^~),，sinCW0nV3sinA-cosA=1=2sin

而？1———E(---,­)=^>A———=-=^>A=—.

6k63,663

13.已知a,b,c分别为△AB。三个内角A,B,。的对边，且QCOSC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

【答案】人=看

O

【详解】由acosC+A/3asinC=b+c及正弦定理，

得sin24cos。+V3sinAsinC=sinB+sinC

即8111^608(7+A/3sinAsinC=sin[TT—(A+C)]+sin(7,

V^sinAsin。=cos力sin。+sinC,

因为sinC#0

所以VSsinA=cosA+1,即sin(A—工)=4.

\672

由于。<4<兀,一专〈人—词■〈答，所以A—氏=专，力=9

666663

类型四通过港导公式毓一函数名

14.在△4BC中，内角4,8,。所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（A—专），求A的值

【答案】看

O

【详解】因为QsinB=bcos（_A—1■），所以由正弦定理可得:sin力sinB=sinBcos（_A—,

在三角形△ABC中，4反CG（0,兀），显然sin_BW0,所以sin/.=cos（/.—[■）,

所以cos传一A）=cos（A—5）,又因为5-AE（-y,y）,-4-yG（一号），

所以g—人=力一5或左一人+人一乎=0（显然不成立），所以A=g

262o3

15.已知丛ABC中，角48,。所对边分别为a,b,c,若满足

a（sin2A—cos8cosO+bsirMsinC=0,求角A的大小.•••

【答案畤

【详解】（1）由正弦定理知，sinA（sin2A—cosBcosC）+sinBsinAsinC=0,

AE（0,兀）,sinA#0,

sin2A—cosBcosC+sinBsinC=0,

化简得sin2A=cosBcosC—sinBsin。=cos（B+C）=cos（兀一A）=sin（A-,

vAe（O,7r）,24+4一堂=兀（其中2A=4一］■舍去），即A

16.在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c.已知asin8=bcos（_A—，bcosC=ccos8,求A的

值.

【答案】看

D

【详解】因为asin_B=bcos（A—[■），所以由正弦定理可得:sin?lsin_B=sinBcos（A—,

在三角形△ABC中，4B、Ce（0,兀），显然sinBW0,所以sinA=cos（A—专）,

所以cos管—4）=88（4—1），又因为仁—71€（一专食｝A一专6（若爷），

所以g―A=A—乎或会一A+A—2=0（显然不成立），所以A=g

262o3

题型二利用余弦定理化简等式

核心•技巧

余弦定理

a2=b2+c2-2&ccosA;

公式b2—c2+a2—2accosB;

c2=a2+62-2a6cosC.

462+c2-a2

cosA=;

2bc

c2+a2-b2

常见变形D

2ac

ca2+52-c2

cosG=八，.

2ab

类型一出现了角或边的平方

17.已知△ABC内角AB,C所对的边长分别为a,b,c,2V2a2cosB+b2=2abeosC+a?+c?,求R

解：⑴由余弦定理得2，^a2cosB+/=a?+/_0?+a?+c?,即2cosB=2a2,

所以cosB=，又BC（0,兀），则B=?■.

18.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c,若B=看，〃

=?ac,贝1JsinA+sinC=()

4

A2俯V39「°n3g

A-13-RB..D-15-

【答案】。

【解析】因为B=卷,〃=,ac,则由正弦定理得sinAsinC=1■sin2B=:.

j4yo

由余弦定理可得:〃=/+。2—℃=1•QC,

即:Q2+C2=?QC,根据正弦定理得sin2A+sin2C=-^-sinAsinC=-1|-,

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=],

因为AC为三角形内角，则sinA+sinC>0,则sinA+sinC=.

19.记△ABC的内角TLB,。的对边分别为Q,b,c,已知稼=3〃+则更咤=

tanC-------

【答案】-2

【解析】因为。2=3〃+。2,所以谭+62一。2=4*所以。2甘2c2=地,

2aba

即cosC=型,由正弦定理可得cosC=呻,

asmA

所以sinAcosC=2sinB,所以sinAcosC=2sin(A+C),

所以sinAcosC=2sinAcos(7+2sinCcos?l,

即sinAcosC=—2sinCcosA,

—

因为cosAcosCW0,所以tanA=-2tanC,所以tari£—2.

tanC

20.(2023年北京高考数学真题)在△ABC中，(a+c)(sinA-sin。)=6(sinA-sinB)，则/。=()

TD兀c2兀

3B-JC-TD得

【答案】B

【解析】因为(a+c)(sinA—sinC)=6(sinA—sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a—c)=b(a—b),即o?-c2=ab-b2,

则a2+b2—c2=ab,i^cosC=a~C—~^r=4，

Zab2ab2

又0VCV7T,所以。

o

21.在中，角的对边分别为Q,b,c,已知c=2V52asinCcosB=asinA—bsinB+^-bsinC,

求b;

【答案】4

解：⑴因为2QsinCcos_B=asinA—bsin_B+-^-fosinC由正弦定理得2accosB=a2—b2+^-bc

22

由余弦定理得2ac­0?三c—2=a-fe+^fec

所以c=b•••

又因为C=2，5,所以b=4

22.（2024届•湖南四大名校团队模拟冲刺卷（一））在△4BC中，内角4B。所对的边分别为a,b,c,已知

△A6C的面积为S,

且2S（包呼+包吟）=3+的.4求C的值

【答案】⑴春；

O

【详解】在△ABC中，由三角形面积公式得:S=ybcsinA,

由正弦定理得：2X±-bcsin_A（?+乌）=（a2+b2）sinA,

2'be，

整理得：Q?+〃—。2=.，由余弦定理得：cosC=01甘,='■，又0V。<兀，故。=5.

23.(2024.广东省六校高三第四次联考)已知△46。的角48,。的对边分别为a,dc,且

sinA(ccosB+bcosC)—csin8=csinC+bsin8,求角A

【答案】4=9

o

【详解】由余弦定理得ccosB+bcosC=cxac——+bx甘~——a,

Zac2ab

所以sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+bsinB,

可化为asinA—csinB=csinC+bsinB,

再由正弦定理得02—2=°2+62,得02+62一/二一儿，

所以cosA=互——=―'，因为4e(0,兀)，所以4=恪■兀

2bc23

24.记'ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃一a?=2c?,求但与的值

tanA

【答案】更吟二—3

tanA

【详解】由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB,

代入/—Q?=2c2,得至U(c?+a2—2accosB)—a2=2c2，化简得。2+2accosB=0,

即C+2QCOS_B=0.由正弦定理可得sinC+2sin?lcos_B=0,

即sin(?l+B)+2sinAcosB=0,展开得sinAcosB+cosAsinB+2sinylcosB=0,

即SsinAcosB=—cosAsinB,所以=—3

tanA

类型二出现角的余弦（正弦走和ft）

25.记△ABC的内角A>8、。的对边分别为a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

【解答】人=看

O

解：因为bcosA—acosB=b—c,

Q2+c2—以

由余弦定理可得b-—Q?

—b—c,

2bc一2ac

化简可得〃+c2—a?=be,由余弦定理可得cosA=62+广序=1

2bc2

因为OVAVTT,所以，4=看.

o•••

26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角的对边，且sin(Z—8)=2sinC,证明:Q2=〃+2C2.

【详解】(1)由sin(A—B)=2sinC=2sin(7l+B),

得sinAcosB—cosAsinB=2sinAcosB+2cosAsinB,

贝||sinAcosB+3cosAsinB=0,

由正弦定理和余弦定理得a-af―〃+3b■=0,

lac2bc

化简得a2=〃+2c2

27.在4ABe中，内角4旦。的对边分别为a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

【答案】平

4

【详解】因为2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2a=6ccosC,

即a=3ccosC,

所以cosC=,

3c

由余弦定理及c=2b得：

。2+丁一。2_02+—一462_稼一3一

COS—2ab—2ab2ab

a

又cos(7=

3c6b

稼一川

所以3n2a2=9〃,

2ab

即Q

事V2_

所以cosC=寻==

00664

所以sinC=Vl-cos2C=

28.记△ABC的内角的对边分别为ab,c,B—，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求证5a=

fo

3c

【详解】证明：・・,(sirM+sinB)sinC+cos2C=l

:.(sinA+sinB)sinC+1—2sin2C=1

・・・(sinA+sinB)sinC=2sin2C

•・•sin。#。

:.sinA+sinB=2sinC,即a+b=2c

由余弦定理得cosB=号1一1，即—[=a2+^-〃

2ac2Zac

1_a2+c2—(2c—a)2

22ac

整理可得5a=3c.

29.已知△ABC的内角A>B、。的对边分别为a、b、c,sin(?1—B)tanC=sinZsinB,求且金^-.

b2

【答案】3•••

【详解】因为sin(A—B)tanC=sinAsinB,

所以sin(A-B)2=sinAsinB,所以sin(A-B)sinC=sinAsinBcosC,

cosC

艮(7sinAcosBsinC—cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定理可得accosB—bccosA=abcosC,

由余弦定理可得ac-包苧二工-.*+=ab-a.「?,

Zacbc2bc2ab

所以/+c?—〃—〃—。2+口2=02+匕2—。2,

即Q2+C2=3〃，

所以量土之=3.

b2

30.△ABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c.已知(b—c)sin_B=bsin(A—C),求角A.

【答案】4=看

o

【详解】

(b—c)sinB=fesin(A—C),所以(&-c)sinB=b(sinAcosC—cosAsinC),

所以〃—bc=abcosC—bccosA=。-。-，+j-。=a2—c2,

又Q2=〃+。2—2bccosA,所以cosA=,

因为A£(0,兀)，所以A二看.

O

题型三周长与面积相关计算

核心技巧

设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式

对于完全平方公式：(。+6)2=&2+/+2而，其中两边之和。+6对应周长，两边平方和£12+〃在余弦定理中，

两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现

类型一片积相关计算

31.已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=芸2,a=b+2，c=3禽，求△ABC的面

o

积.

【答案】4方

【分析】已知条件结合余弦定理求出ab,由公式S=}absin。求△4BC的面积.

【详解】由余弦定理c?=a?+"—2abeos。,及c=3V2,cosC="，得a2+〃—■|-ab=18,

oo

即(a—b)2+/ab=18,又a=b+V2，得2+，ab=18,所以ab=12.

oo

所以△ABC的面积S=JabsinC=X12X」/=4A/2

/ZD

32.（2024新高考一卷•真题）记△ABC的内角48、。的对边分别为a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2

—c2=V2ab

（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+4,求c.

【答案】⑴3=看

O

（2）272

【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos。,sin。,最后结合已知sinC=，^cosB得cosB的值即可；

（2）首先求出然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求

解.

【详解】（1）由余弦定理有a2+b2-c2=2而cos。,对比已知a?+〃-02=2曲,

土出ca2+fe2—c2V2abV2

可付c°sC=2ab

因为CG（0,兀），所以sinOO,

从而sinC=Vl—cos2C=Jl—,

又因为sinC=V2cosB,即cosB=,

注意到Be（o,7r）,

所以8=看.

o

（2）由⑴可得B=NcosC=警，ce（o,兀），从而。=靠，A=兀一年兀_5兀

了一U，

工../5兀\.（兀兀、V2V3,V21V6+V2

而smAA=sin（m）=s1n（1+w）=^x亏+亍X了

由正弦定理有7,

sin普sinysin生

从而a=碗:嚣•6。=^1°,6=乎•2。=乎。,

由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为

e1,.1V3+1V6V23+V32

SAABC=—absmC=-c•—c■—=---c]

由已知△ABC的面积为3+V3,可得34c2=3+73

7O^

33.记△ABC的内角ABC的对边分别为0也以8=冬，且5a=3c,若△4BC的面积为15g,求c

【答案】10.

【详解】由a=，故AABC的面积为S^ABC=《acsinB=二~X§Xc2x—15V3

52252

得c2=100,解得c=10或c=—10（舍），故c=10.

34.在△ABC中，内角48,。的对边分别为用区,已知4=簧，4ABe的面积为3料，b=2,求Q.

62

【答案】a—V13

SAABC=-^-bcsinA=JX2cX^-=3弋-，所以c=3V3.•••

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=4+27-2X2x3，^x乎=13,

所以a=V13

35.记△ABC的内角4B,。的对边分别为Q,b,c,已知B=24当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

【答案】粤7

4

【详解】由题意可得：

^A=^B,''^A=^2A，''K>A>Q，SinA^Q，

.3.V7.3/Q1

..cosA4=--,smA4=――,smBn=---,cosB=--,

44oo

..smC=sm(A+B)=—x-+-^-x-=^-,

则S^ABC=-^-basmC=-yX6X4X5哈=

22lo4

36.(2024届.广东省六校第二次联考)已知△ABC中角4B,C的对边分别为a,b,c,sinC=^^,a=b

+方，c=3,，求△ABC的面积.

【答案】4嚣

【分析】已知条件结合余弦定理求出ab,由公式S=,absinC求AABC的面积.

【详解】由余弦定理c?=a?+〃-2abeos。，及c=3V2,cosC=:，得a?+〃——|~ab=18,

oo

即(Q—FE)2+^-ab=18,又a=b+得2+,而=18,所以ab=12.

oo

所以△ABC的面积S=JabsinC=：X12X=4^2

ZND

37.记△48。的内角4,8,。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

【答案］曾1

4

【详解】由题意可得：

ab.4_6

,*.*7T>A>0,sinAW0,

sinAsinB'**sinAsin2A

3V7_1

cosA二/a/,sinB=丁，8$R3=至，

..sinC=sm(A+B)=—X-+—xz=—,

则SMBC=]basinC=x6x4xJ

类型二局长的相关计算

38.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且4=。,若8=亭，/XABC的面积为4,求△ABC的

0

周长.

【答案】8+2通-2嚣

【详解】A=C,二a=c,••

•••3=2,且△ABC的面积为4,.♦.《acsinB=4,解得a=c=4,

62

所以〃=，+。2—2accosB=32—16A/3,

解得b=4V2-V3=4J(乎=2V6-2V2,

故/\ABC的周长为a+b+c=8+2A/6—2，^.

39.在△48。中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且（b+c）（sin8+sinC）=asin