河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高三下学期3月检测数学试题（原卷版+解析版）

文源高中2024-2025学年（下）高三3月检测数学科目考生注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．本试卷主要命题范围：高考范围．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，，且，则（）A.0 B.1 C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知两个非零向量和，若，，则（）A. B.0 C. D.4.已知的内角的对边分别是，且，，则（）A.5 B.4 C.3 D.15.已知，，则（）A. B. C.1 D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.7.已知函数恰有一个零点，则（）A0 B.1 C.2 D.38.设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（）A， B.，C.， D.，10.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（）A.平面 B.平面C.三棱锥的体积为 D.与所成角的余弦值为11.已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（）A.若直线与圆相切，则 B.时，四边形的面积为C.的取值范围为 D.已知点，则为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若则的值为__________.13.已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则______．14.如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16.记数列前n项和为，已知，（1）求通项公式;（2）是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.17.已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.18.已知函数，．（1）比较与的大小；（2）证明：．19.甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为．（1）若，设，求的分布列和数学期望．（2）设，，事件“”发生的概率记为．（ⅰ）用含组合数表示；（ⅱ）证明：当时，．附：．

文源高中2024-2025学年（下）高三3月检测数学科目考生注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．本试卷主要命题范围：高考范围．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，，且，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果.【详解】，，若，则，或，解得，或，或，经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，所以当时，；当时，，故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解.【详解】因为，则，所以，故选：C.3.已知两个非零向量和，若，，则（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直数量积为零结合向量夹角的运算求解即可.【详解】由已知得，即，所以，得故选：D.4.已知的内角的对边分别是，且，，则（）A.5 B.4 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理，，于是，结合，于是.故选：A5.已知，，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先由同角的三角函数结合两角和的余弦展开式解方程得到，，再由两角差的余弦展开式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，，所以故选：6.已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的对称性以及椭圆定义即可求解.【详解】连接由椭圆对称性知故选：D7.已知函数恰有一个零点，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】通过特殊值判断出唯一零点为，同时存在极小值点，令恰为极小值点，即可求解.【详解】通过代入特殊值可得，所以必然是的唯一零点；，令，，故有两个不相等的实数根，令，根据韦达定理，可以判断出；所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是的极小值点；当时，，当时，，故如果恰有一个零点，必然是在极小值点取到零点，故；，此时恰有一个零点.故选：C.8.设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列的基本量运算得出通项公式，再结合两角和差正弦及余弦公式，最后结合裂项相消计算即可.【详解】设等差数列的公差为d，由题意得，解得，，则，则，则数列的前n项和为：故选：二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】通过选取不同的值，确定相应的区间，再根据正弦函数的性质来找出每个区间上的最大值，进而分析选项.【详解】对于选项A，当取时，考虑函数.对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项A可能成立.对于选项B，当取时，考虑函数.对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项B可能成立.对于选项C，当取时，对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，和时取得最大值，所以该区间上的最大值.对于区间，同样根据正弦函数图象性质，时取得最大值，最大值.所以选项C可能成立.对于选项D，当时，区间和至少含有半个周期，则；当时，函数在区间上的存在使，即.故D不成立.故选：ABC.10.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（）A.平面 B.平面C.三棱锥的体积为 D.与所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】根据线面平行的判定方法判断A的真假；判断直线与的位置关系，判断B的真假；求三棱锥的体积判断的真假；构造异面直线所成的角并求其余弦，判断的真假.【详解】对选项A：因为，平面，平面，所以平面，故A正确；对B：如图：取中点，连接，.因为，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.平面，所以.在直角中：，，所以.又，所以，又为中点，所以与不垂直.所以平面是错误的，故B错误；对C：因为，所以，故C正确；对D：取中点，连接，.因为，所以即为异面直线与所成的角.在中，，，所以.在中，，，所以，故D错误.故选：AC11.已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（）A.若直线与圆相切，则 B.时，四边形的面积为C.的取值范围为 D.已知点，则为定值【答案】ACD【解析】【分析】选项A：利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得；选项B：利用求出长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面积和，计算可得；选项C：利用求出长，在直角中，表示出，进而利用倍角公式求出，最后利用数量积公式计算可得；选项D：利用四点共圆，且为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出相交弦所在直线方程，判断出过定点，利用判断出在以为圆心的圆上；选项D也可以利用圆极点极线性质，通过坐标，直接写出方程，进而求解.【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，；对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;对于B:当时，，，，四边形的面积，所以B错误;对于C:，因为，所以，由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，此圆方程为：，因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，即，化简得：，所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,因为，所以，因为在直线AB上，所以，即点在以为直径圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.故选：ACD.【点睛】此题考查的是圆切线相关问题：（1）直线与圆相切的判断方法：圆心到直线距离等于半径；（2）通过勾股定理，求切线长；（3）通过直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示张角的余弦值；（4）利用四点共圆或极点极线性质，求切点弦所在直线方程；（5）极点极线性质：当在圆外时，过作圆的两条切线，两个切点所在直线方程为：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得，进而得到的值，从而得解.【详解】故答案为：.13.已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则______．【答案】6【解析】【分析】写出函数的导数，由题意分析得且存在唯一零点，且函数单调递增，由判别式求得的关系，代回求得对应横坐标，由图像与直线相切得到，求得的值，从而得到结果.详解】，由题意知函数单调递增，且且存在唯一零点，∴，即，∴，，则，则，∴，∴.故答案为：6.14.如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________.【答案】【解析】【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可.【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况：；.概率分别为所以小老鼠逃生概率为故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，再证四边形为平行四边形，进而得，最后应用线面平行的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】如图，分别取中点，连接，则．因为，，所以四边形为平行四边形，所以，．同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．16.记数列的前n项和为，已知，（1）求的通项公式;（2）是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在且或【解析】【分析】（1）利用与的关系式，由等差数列定义即可判断数列是公差为d的等差数列，可得其通项公式；（2）由等差中项性质可得，即求出，再根据整除性质可得存在且或满足题意.【小问1详解】因为，①，所以，②，①-②，得，化简，得由，，得，仍适合，所以数列是公差为d的等差数列，所以【小问2详解】假设是和等差中项，则，即，化简得，当时，，则，显然不成立;当时，由，解得当时，，则是和的等差中项；当时，，则是和的等差中项；当时，，则，不适合题意.综上，存在且或，使得是和的等差中项.17.已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，得到，由韦达定理得，结合条件，得到，从而可得直线过定点，再由直角三角形的性质，即可求解.【小问1详解】由双曲线实轴长为，得，因为双曲线的渐近线方程为，又直线为双曲线的一条渐近线，得，则，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】直线，设，由，消得，则，所以，因为，又，所以，所以，得到，化简得，又，得到，所以直线l恒过定点，又，则为直角三角形，所以当点为中点时，，所以存在点，使得为定值.18.已知函数，．