2025年中考数学总复习25 微专题 矩 形 学案（含答案）

微专题25矩形

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.矩形的性质与判定(6年5考，常在几何题中涉及考查)

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

(2)矩形的性质

边对边平行且相等

角四个角都是直角

对角线矩形的对角线互相平分且相等

既是轴对称图形又是中心对称图形，有①条

对称性

对称轴，对称中心为两条②的交点

(3)矩形的判定

①有一个角是③的平行四边形是矩形；

角

②有三个角是④的四边形是矩形

对角

对角线⑤的平行四边形是矩形

线

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2.矩形面积

面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长).

练考点

1.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E.

(1)若对角线BD长为4，∠AOB＝60°，则AB的长为，BC的长为；

(2)若∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为；

(3)若BE∶ED＝1∶3，AB＝2，则AD的长为.

第1题图

2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是()

第2题图

A.AB＝BCB.AC⊥BD

C.AC＝BDD.∠1＝∠2

3.已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为

cm2.

高频考点

考点与矩形有关的证明及计算(6年5考，常在几何题中涉及考查)

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例如图①，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长

线于点E.

(1)求证：四边形ACED是矩形；

例题图①

(2)若AB＝13，AC＝12，求四边形ADEB的面积；

(3)如图②，连接BD，若tan∠ABC＝2，求证BD＝2AD；

2

例题图②

(4)如图③，过点A作CD的垂线，交DE于点G，在(3)的条件下，试判断AB与

AG的数量关系，并说明理由.

例题图③

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真题及变式

命题点与矩形性质有关的计算(6年5考，常在几何题中涉及考查)

拓展训练

1.(北师八下习题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，

N分别是BC，OC的中点.若MN＝2，则AC的长为.

第1题图

2.如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图②操作，将矩形纸片

ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按

图③操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则

A，H两点间的距离为.

第2题图

3.(2024广东黑白卷)北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点

作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图①中S矩形AEOM

＝S矩形CFON)”.问题解决：如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点

M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，

DF＝2，则MF＝.

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第3题图

4.如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边

EF过原矩形的顶点C.

(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则

S1S2＋S3(用“＞”“＝”或“＜”填空)；

(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

第4题图

新考法

5.[代数推理](人教八下习题改编)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝

20，两条对角线相交于点O.以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对

角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线

相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推.

则第6个平行四边形的面积为()

第5题图

A.6B.3

C.15D.12

6.[条件开放](2024贵州)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：

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①AB∥CD，②AD＝BC.

(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；

(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.

第6题图

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考点精讲

①2②对角线③90°(或直角)④90°(或直角)⑤相等

教材改编题练考点

1.(1)2，2；(2)30°；(3)2

2.C33

3.48

高频考点

例(1)证明：∵∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

∵DE⊥BC，

∴AC∥DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，

∴AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∵∠ACE＝90°，

∴四边形ACED是矩形；

(2)解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，

∴在Rt△BCD中，BC＝－＝－＝5，

2222

∵四边形ABCD是平行四边��形，��1312

∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，

∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠E＝90°，

∴四边形ADEC是矩形，

∴BC＝AD＝CE＝5，

∴BE＝2BC＝10，

∵AD∥BE，AC⊥BE，

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∴S四边形ADEB＝×(5＋10)×12＝90，

1

∴四边形ADE2B的面积为90；

(3)证明：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝DE，AD＝BC＝CE.

在Rt△ABC中，

∵tan∠ABC＝，

��

∴＝2，即A�C�＝2BC.

��

设�A�D＝BC＝a，则AC＝DE＝2a，BE＝2BC＝2a，

又∵DE⊥BE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BD＝BE＝2a，

∴＝2＝，2

𝐴�2

∴B𝐴D＝222�AD4；

(4)解：AB＝22AG，理由如下：

∵AG⊥CD，

∴∠AGD＋∠CDE＝∠DCE＋∠CDE＝90°，∴∠AGD＝∠DCE，∴△ADG∽

△DEC，

∴＝.

𝐴𝐴

∵四��边�形�ABCD是平行四边形，四边形ACED是矩形，

∴AB＝DC，AD＝CE，∠DCE＝∠ABC，

∴tan∠ABC＝tan∠ECE＝＝2，即DE＝2CE，

��

∴＝＝＝，𝐷

𝐴𝐴𝐷1

∴A��B＝�2�AG2.𝐷2

真题及变式

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1.8【解析】∵M，N分别是BC，OC的中点，∴MN＝OB，∵MN＝2，∴OB

1

＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2OB，∴2AC＝BD＝2OB＝8.

2.【解析】如解图，连接AH.由折叠性质可知，CF＝HF，AE＝AD＝3，

∵AB1＝05，∴BE＝CF＝HF＝2，在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF－HF＝3

－2＝1，∴AH＝＋＝＋＝.

2222

𝐷��3110

第2题解图

3.6【解析】如解图，过点M作GH∥AB分别交AD，BC于点G，H，∴四边

形BEMH与四边形DGMF均为矩形，由定理知S矩形BEMH＝S矩形DGMF，∴S△BEM＝S

·

△DFM，∴BE·EM＝DF·MF.∵BE＝CF＝4，EM＝3，DF＝2，∴MF＝＝

11𝐷��4×3

＝6.22��2

第3题解图

4.解：(1)＝；【解法提示】∵S1＝BD·ED，S矩形BDEF＝BD·ED，∴S1＝S矩形BDEF，

11

22

∴S2＋S3＝S矩形BDEF，∴S1＝S2＋S3.

1

(2)答案不唯2一，如：△BCD∽△CFB∽△DEC.

选择△BCD∽△DEC.

证明：∵四边形ABCD和BDEF均为矩形，∴∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋

∠BDC＝90°，

∴∠EDC＝∠CBD，

又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，

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∴△BCD∽△DEC.

5.B【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，∴BC＝16，∴S矩形ABCD

＝AB·BC＝192，OB＝OC，∵以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，

∴平行四边形OBB1C是菱形，∴A1B1⊥BC，OB1＝AB＝12，∴▱＝BC·OB1

1

���1�2

＝×16×12＝96，易得▱AB