2025年中考数学总复习27 微专题 正方形 学案（含答案）

微专题27正方形

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.正方形的性质与判定(6年8考)

(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

(2)正方形的性质

边四条边都相等，对边平行

角四个角都是直角

对角线相等且互相①；

对角线

每一条对角线平分一组对角

既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对

对称性

称中心是两条②的交点

(3)正方形的判定

有一组邻边相等，并且有一个角是③的平行四边形是正方形(定

边义)；

有一组邻边④的矩形是正方形

角有一个角是⑤的菱形是正方形

对角线对角线⑥的矩形是正方形；

第1页共12页

对角线⑦的菱形是正方形；

对角线互相⑧的四边形是正方形

2.正方形面积

面积计算公式：S＝a2＝l2(a表示边长，l表示对角线长)

1

3.平行四边形与四边形2、特殊四边形之间的关系

4.中点四边形

概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形

任意四对角线相等的对角线垂直的对角线垂直且

原图形矩形菱形正方形

边形四边形四边形相等的四边形

中点四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

边形形状边形

【温馨提示】连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半

练考点

1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BD＝4，E是

对角线AC上一点，连接BE.2

第1题图

第2页共12页

(1)∠ACB的度数为；

(2)AO的长为；

(3)正方形ABCD的周长为，面积为；

(4)若∠ABE＝15°，则BE的长为.

2.下列说法中，正确的是()

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

3.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一

定是.(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

第3题图

高频考点

考点1与正方形有关的证明及计算(6年8考)

例1已知四边形ABCD为正方形，边长为4，点M为BD上一点，连接AM.

(1)如图①，过点M分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，求证：四边形

BEMF是正方形；

例1题图①

(2)如图②，若BM＝3DM，求AM的长；

第3页共12页

例1题图②

(3)如图③，连接AC交BD于点O，若AM平分∠DAC，延长AM交CD于点N，

求的值；

𝐷

𝐴

例1题图③

(4)如图④，过点B作BE⊥AM于点E，分别延长BE，AM交AD于点F，交CD

于点N，连接DE，若N是CD的中点，求∠DEN的度数.

例1题图④

考点2中点四边形

例2如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的

中点.请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是()

第4页共12页

例2题图

A.AB＝CDB.AC⊥BDC.CD＝BCD.AC＝BD

变式1(2024山西)在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，

DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH

一定满足的关系为()

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真题及变式

命题点与正方形性质有关的计算(6年8考)

1.(2024广东7题3分)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长

是()

A.2B.5C.10D.20

2.(2019广东10题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB

＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于点M，连接AM，AF，

H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH

≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的

结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

第2题图

第5页共12页

2.1变条件——增加线段DF

如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方

作正方形EFGB，连接DF，H是DF的中点，连接BH，则BH的长为.

变式2.1题图

3.(2023广东15题3分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的

底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为.

第3题图

3.1变条件——增加线段改变阴影区域的位置

如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，

图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则的值为.

�1

�2

变式3.1题图

新考法

4.[数学文化](人教八下习题改编)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽

取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正

方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为

1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为()

第6页共12页

第4题图

A.13B.19C.25D.169

第7页共12页

考点精讲

①垂直平分②对角线③直角(90°)④相等

⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

练考点

1.(1)45°；(2)2；(3)16，16；(4)

46

2.C23

3.平行四边形

高频考点

例1(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.

∵ME⊥AB，MF⊥BC，

∴四边形BEMF是矩形.

∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，

∴∠EBM＝∠EMB＝45°，

∴BE＝EM，

∴四边形BEMF是正方形；

(2)解：如解图①，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.

∵正方形ABCD的边长为4，

∴OA＝OD＝AD＝2.

2

∵BM＝3DM，22

∴点M是OD的中点，

∴OM＝，

在Rt△AO2M中，

第8页共12页

由勾股定理得AM＝＋＝；

22

����10

例1解图①

(3)解：如解图②，过点N作NG⊥AC于点G，

例1题解图②

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC＝45°，

∵AM平分∠DAC，

∴DN＝GN.

设DN＝x，则GN＝x，CN＝4－x.

∵∠NCG＝45°，

∴△NGC是等腰直角三角形，

∴CN＝CG，即4－x＝x，解得x＝4－4，

∴＝2－1；22

𝐷

(4)�解�：如2解图③，过点D作DG⊥DE交AN的延长线于点G，

∵BF⊥AN，

∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.

又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，

∴△ABF≌△DAN，

∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，

∴∠DFE＝∠DNG.

第9页共12页

∵N是CD的中点，

∴DN＝CD＝AD＝AF，

11

∴F为A2D的中2点，

∴DF＝DN.

∵DE⊥DG，

∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，

∴△DEF≌△DGN，

∴DE＝DG，

∴△DEG是等腰直角三角形，

∴∠DEN的度数为45°.

例1题解图③

例2D【解析】应添加的条件是AC＝BD，∵E，F，G，H分别为AB，BC，

CD，DA的中点，且AC＝BD，∴EH＝BD，FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，

1111

∴EH＝HG＝GF＝EF，则四边形EFGH2为菱形.222

变式1A【解析】∵在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，

CD，DA的中点，如解图，连接EF，FG，GH，EH，BD，AC，∴EF＝AC，FG

1

＝BD，GH＝AC，EH＝BD.∵四边形ABCD的对角线相等，即AC＝B2D，∴EF

111

＝F2G＝GH＝E2H，∴四边2形EFGH为菱形，∴EG与FH互相垂直平分.

变式1题解图

真题及变式

第10页共12页

1.B【解析】由题意得每个正方形的面积为100÷4＝25，∴正方形的边长为

5.

2.C【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，

∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，

故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，

∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN2≠∠HFG2，故②

错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，

1𝐴��

∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AH2N∽△GMA，∴∠AHN＝∠A�M�G，��∠MAG＝

∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK

＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；易知四边形ADMG

是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN·FG＝×1×2＝1，S△ADM＝AD·DM＝

111

222

×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正确，∴选C.

1

变2式2.1【解析】如解图，连接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB

中，∠ABD＝1∠0GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由题意，得EB＝2，BC＝4，∴BF

＝EB＝2，BD＝BC＝4，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝

2222

＋＝2，又∵H是DF的中点，∴BH＝DF＝.

221

����10210

变式2.1题解图

3.15【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝

AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG

＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌

第11页共12页

△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴

𝐺

𝐶

＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝×(1＋4)×6

𝐴211

＝1𝐴5.522

第3题解图

变式3.1【解析】如解图，设AH分别交CD，FG，BM于点K，I，L，BM

4

分别交CD，25FG