2025中考数学一轮复习第27讲 图形的对称（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第27讲图形的对称

一．选择题（共10小题）

1．下列交通标志图形中是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩

形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是（）

A．（﹣8，3）B．（﹣8，4）C．（﹣9，3）D．（﹣10，3）

3．如图，在3×3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴对称

图形的概率是（）

A．B．C．D．

5436

4．下列7图形中，不是轴对称图7形的是（）77

A．①⑤B．②⑤C．④⑤D．①②

5．如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（）

A．面积不变，周长变小B．面积不变，周长变大

C．面积变小，周长不变D．面积不变，周长不变

6．①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）

A．①⑥B．②④C．③⑤D．④⑥

7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，

则AF长为（）

A．3cmB．cmC．5cmD．2cm

12

5

8．在平面直角坐标系中，将点5P（﹣3，2）向上平移3个单位长度得到点P′，则点P′关于x轴的对称

点的坐标为（）

A．（﹣3，5）B．（3，﹣5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）

9．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，

且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得

到折痕l，则l的长为（）

A．B．C．5D．3

二．填空3题5（共5小题）33

11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线

AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝．

12．如图，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，点E是AB的中点，点F是BC上一动点（不与B、C重合），

把△BEF沿EF对折，使点B与点N重合，则线段DN的最小值为．

13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE，若∠A＝，

∠BDA′＝，∠CEA′＝，则，，三者的等量关系式是．α

βγαβγ

14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B

为．

15．如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD

为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ

的最小值为．

三．解答题（共5小题）

16．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图．

（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即

可）

（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）

17．如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．

（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；

（2）仅用无刻度直尺在边AC上找到点E，使得△ABE的面积等于△ABC面积的（保留作图痕迹）．

1

3

18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为ECF⊥AD垂足为F．

（1）求证：四边形AECF是矩形．

（2）△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，若AE＝1，EC＝2，求线

段CG的长度．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣

2，3）．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．

（2）将（1）中的△A1B1C1向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A2B2C2，画

出△A2B2C2．

（3）若线段AC上一点M（a，b）经过上述两次变换后对应线段A2C2上的点M2，则点M2的坐标

是．

20．在▱ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，将△ACD沿着对角线AC翻折，使点D落在D′处，连接

AD′，AD′与BC交于E，连接BD'．

（1）试判断四边形ABD'C的形状，并说明理由；

（2）若▱ABCD的周长为32，sin∠D＝0.8，求四边形ABD'C的面积．

2025年中考数学一轮复习

第27讲图形的对称

一．选择题（共10小题）

1．下列交通标志图形中是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【考点】轴对称图形．

【专题】平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】D

【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩

形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是（）

A．（﹣8，3）B．（﹣8，4）C．（﹣9，3）D．（﹣10，3）

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．

【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力．

【答案】D

【分析】根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．

【解答】解：由题意，BC＝OA＝8，

设CE＝a，则BE＝8﹣a，

由折叠可得，EF＝BE＝8﹣a，

∵∠ECF＝90°，CF＝4，

∴a2+42＝（8﹣a）2，

解得，a＝3，

设AB＝b，

∴AF＝OC＝b，

∴OF＝b﹣4，

∵∠AOF＝90°，

b2＝（b﹣4）2+82，

解得b＝10，

∴点E的坐标为（﹣10，3），

故选：D．

【点评】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

3．如图，在3×3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴对称

图形的概率是（）

A．B．C．D．

5436

【考7点】利用轴对称设计图案7；概率公式．77

【专题】概率及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】A

【分析】根据题意，在网格中构造出轴对称图形，再由简单概率公式代值求解即可得到答案．

【解答】解：图中共有7个空白格，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴

对称图形有5个，如图所示：

∴P（图中阴影部分构成的图形是轴对称图形），

5

故选：A．=7

【点评】本题考查简单概率公式求一步问题概率，涉及网格中作轴对称图形，熟记轴对称图形的定义及设

计是解决问题的关键．

4．下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A．①⑤B．②⑤C．④⑤D．①②

【考点】轴对称图形．

【专题】平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以不是轴对称图形；

②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形；

故选：A．

【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

5．如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（）

A．面积不变，周长变小B．面积不变，周长变大

C．面积变小，周长不变D．面积不变，周长不变

【考点】图形的剪拼．

【专题】矩形菱形正方形；运算能力．

【答案】B

【分析】求出正方形的边长，周长，面积，长方形的周长，面积即可判断．

【解答】解：∵正方形面积为2，

∴正方形的边长为，正方形的周长为，

将其分为4个全等的2等腰直角三角形后，4直×角2边=为41，2

拼剪的长方形面积不变，而周长为2×（1+2）＝6，

∵＞，

∴6长方4形2周长变大．

故选：B．

【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

6．①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）

A．①⑥B．②④C．③⑤D．④⑥

【考点】利用轴对称设计图案．

【专题】平移、旋转与对称；运算能力．

【答案】B

【分析】根据三角形内角和是180°且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用

等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可

【解答】解：∵②180°﹣（30°+75°）＝75°，④图形一个角是75°，

∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形，

∵⑤180°﹣（30°+35°）＝115°，③图形一个角是115°，

∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形，

∵180°﹣（90°+63°）＝27°，①图形一个角是27°，

∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和和轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题

的关键；

7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，

则AF长为（）

A．3cmB．cmC．5cmD．2cm

12

5

【考点】翻折变换（折叠问题5）；矩形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】C

【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点

A重合，由勾股定理求AF即可．

【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，

∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，

∴DF＝D′F，

在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，

∴x2＝42+（8﹣x）2，

解得：x＝5（cm）．

∴AF＝5cm，

故选：C．

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．

8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向上平移3个单位长度得到点P′，则点P′关于x轴的对称

点的坐标为（）

A．（﹣3，5）B．（3，﹣5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，5）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．

【专题】平面直角坐标系；符号意识．

【答案】C

【分析】先根据向上平移3个单位，纵坐标加3，横坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，

横坐标不变，纵坐标相反解答．

【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向上平移3个单位得到点P'，

∴点P'的坐标是（﹣3，5），

∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．

故选：C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活

运用是解题的关键．

9．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，

且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算．

【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．

【答案】B

【分析】设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，得到∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折叠的性

质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，由矩形的性质，得到∠BAD＝90°，得到2x+20+2x+20+x＝90，

求出x＝10，即可求出∠DAE＝2x°+20°＝40°．

【解答】解：设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，

∴∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，

由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠DAE+∠EAD+∠BAD′＝90°，

∴2x+20+2x+20+x＝90，

∴x＝10，

∴∠DAE＝2x°+20°＝40°．

故选：B．

【点评】本题考角的计算，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到关于x的方程．

10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得

到折痕l，则l的长为（）

A．B．C．5D．3

【考3点5】翻折变换（折叠问题3）；3勾股定理．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】A

【分析】由勾股定理求出AB＝10，设DC＝x，运用等积法可求出DC＝3，再用勾股定理求出AD即可．

【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．

∴，

2222

设�D�C=＝x，��+��=6+8=10

∵，

111

�△𝐴�=𝐴×��+��×��=��×��

∴22，2

111

×10�+×6�=×6×8

解得2x＝3．22

Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2

∴．

2222

∴l�的�长=为��+．��=6+3=35

故选：A．35

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

二．填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线

AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝2．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】2．

【分析】先求出BD，再证明出∠B＝∠DPB，得到BD＝PD，由PC＝PD可得到PC的长．

【解答】解：∵将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，

∴PD＝PC，AD＝AC＝3，∠ADP＝∠C，

∵AC＝3，AB＝5，

∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2，

∵∠C＝2∠B，

∴∠ADP＝2∠B＝∠B+∠DPB，

∴∠B＝∠DPB，

∴BD＝PD，

∴PC＝BD＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的推论，推出PC＝PD＝BD是解题

的关键．

12．如图，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，点E是AB的中点，点F是BC上一动点（不与B、C重合），

把△BEF沿EF对折，使点B与点N重合，则线段DN的最小值为．

210−2

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．

【答案】．

【分析】由2勾10股−定2理可求DE的长，由折叠的性质可得EN＝BE＝2，则点N在以点E为圆心，BE为半径

的圆上，即可求解．

【解答】解：如图，连接DE，

∵AB＝4，

点E是AB的中点，

∴AE＝2＝BE，

∴，

22

∵�把�△=BEF��沿+EF�对�折=，4+36=210

∴EN＝BE＝2，

∴点N在以点E为圆心，BE为半径的圆上，

∴点N在线段DE上时，DN有最小值，

最小值为，

故答案为：210−2．

【点评】本题2考1查0了−翻2折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，确定点N的运动轨迹是解题的关键．

13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE，若∠A＝，

∠BDA′＝，∠CEA′＝，则，，三者的等量关系式是＝2a+．α

βγαβγβγ

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．

【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．

【答案】＝2a+．

【分析】β根据三角γ形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．

【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，

∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，

∵∠A＝，∠CEA′＝，∠BDA'＝，

∴∠BDAα'＝＝++＝γ2+，β

故答案为：β＝2αa+α．γαγ

【点评】本β题考查了γ翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和是关键．

14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为

126°．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可

得∠1＝2∠BAC，进而求解．

【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠BAC＝∠DCA，

∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，

∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，

∴∠1＝2∠BAC＝36°，

∴∠BAC＝18°，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，

故答案为：126°．

【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．

15．如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD

为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的

最小值为6．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣旋转；矩形的性质．

【专题】平移、旋转与对称；运算能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】连接CH，根据A、B的坐标先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝BC

＝1，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝1是定值，所以只要CH+HQ

的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．

【解答】解：如图，连接CH，

∵A（﹣2，0），B（0，2），

∴OB＝2，OA＝2，

∵C是OB的中点，

∴BC＝OC＝1，

∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，

∴四边形PHOC是矩形，

∴PH＝OC＝BC＝1，

∵PH∥BC，

∴四边形PBCH是平行四边形，

∴BP＝CH，

∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+1，

要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，

∵点Q是点B关于点A的对称点，

∴Q（﹣4，﹣2），

又∵点C（0，1），

根据勾股定理可得，

22

此时，BP+PH+HQ�＝�C=H+H(0Q+P4H)＝+C(Q1++1＝2)5+=1＝56，

即BP+PH+HQ的最小值，6；

故答案为：6．

【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考

常见题型，正确记忆相关知识点是解题关键．

三．解答题（共5小题）

16．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图．

（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可）

（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）

【考点】作图﹣轴对称变换．

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．

【答案】（1）见解答．

（2）见解答．

【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可．

（2）结合垂线段最短，过点P作AB的垂线，交AB于点Q，则点Q即为所求．

【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求．

（2）如图2，过点P作AB的垂线，交AB于点Q，

则点Q即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的定义、垂线段最短是解答本题

的关键．

17．如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．

（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；

（2）仅用无刻度直尺在边AC上找到点E，使得△ABE的面积等于△ABC面积的（保留作图痕迹）．

1

3

【考点】作图﹣轴对称变换．

【专题】作图题；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．

【答案】（1）见解答．

（2）见解答．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．

（2）取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，连接MN，交AC于点E，即点E即为所求．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，连接MN，交AC于点E，

则△AEM∽△CEN，

∴AE：CE＝AM：CN＝1：2，

∴AE：AC＝1：3，

∴△ABE的面积等于△ABC面积的，

1

即点E即为所求．3

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、

相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为ECF⊥AD垂足为F．

（1）求证：四边形AECF是矩形．

（2）△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，若AE＝1，EC＝2，求线段

CG的长度．

【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．

【答案】（1）见解析；

（2）CG的长度为．

1

【分析】（1）根据平2行四边形的性质得到AF∥CE，得到AE∥CF，根据矩形的判定定理即可得到结论．

（2）根据折叠的性质得到FG⊥CH，推出△ACE∽∠GFC，根据相似三角形的性质得到，于是得

𝐷𝐷

=

到结论．𝐶𝐶

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴AF∥CE，

∵AE⊥BC，

∴AE⊥AD，

∵CF⊥AD，

∴AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴四边形AECF是矩形．

（2）解：∵△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，

∴FG⊥CH，

∴∠HCG+∠CGF＝∠CGF+∠CFG＝90°，

∴∠ACE＝∠CFG，

∵∠AEC＝∠FCG＝90°，

∴△ACE∽∠GFC，

∴，

𝐷𝐷

=

∵A𝐶E＝1�，�EC＝2，

∴CF＝AE＝1，

∴，

12

=

∴C𝐶G1，

1

=

故线段C2G的长度为．

1

2

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C（﹣

2，3）．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．

（2）将（1）中的△A1B1C1向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A2B2C2，画出△

A2B2C2．

（3）若线段AC上一点M（a，b）经过上述两次变换后对应线段A2C2上的点M2，则点M2的坐标是（a+6，

﹣b+2）．

【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

（3）（a+6，﹣b+2）．

【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；

（2）根据平移的性质即可得到结论；

（3）根据轴对称的性质和平移的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；

（3）点M经过第一次变换后坐标为（﹣a，b），经过第二次变换后的坐标为（a+6，﹣b+2），

故答案为（a+6，﹣b+2）．

【点评】本题是作图﹣平移变换，轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．

20．在▱ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，将△ACD沿着对角线AC翻折，使点D落在D′处，连接

AD′，AD′与BC交于E，连接BD'．

（1）试判断四边形ABD'C的形状，并说明理由；

（2）若▱ABCD的周长为32，sin∠D＝0.8，求四边形ABD'C的面积．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行四边形的性质．

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．

【答案】（1）四边形ABD'C是矩形，理由见解析过程；

（2）48．

【分析】（1）先判定四边形ABD'C是平行四边形，再根据∠BAC＝90°，即可得出四边形ABD'C是矩形；

（2）先解直角三角形得到AC和CD的长，进而得到四边形ABD'C的面积．

【解答】解：（1）四边形ABD'C是矩形，理由：

∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝90°，

由折叠可得，∠ACD'＝∠ACD＝90°，

∴∠BAC+∠ACD'＝180°，

∴AB∥CD'，

由折叠可得，CD'＝CD，

又∵平行四边形ABCD中，CD＝AB，

∴AB＝CD'，

∴四边形ABD'C是平行四边形，

又∵∠BAC＝90°，

∴四边形ABD'C是矩形；

（2）∵▱ABCD的周长为32，

∴AD+CD＝16，

又∵Rt△ACD中，sin∠D＝0.8，

∴可设AC＝4x，AD＝5x，则CD＝3x，

∴5x+3x＝16，

解得x＝2，

∴AC＝8，CD＝6＝CD'，

∴矩形ABD'C的面积为6×8＝48．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

考点卡片

1．角的计算

（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记

作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠

1

AOB．=3

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，

逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒

分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．

2．三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°．

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平

行线．

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方

法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

3．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．

222222

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理=c＞b�，−即�直角三=角�形−的�斜边大=于该�直+角�三角形中的每一条直角

边．

4．平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行线间的距离处处相等．

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

5．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

6．矩形的判定与性质

（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步

研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB

＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

7．轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对

称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．

（3）常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

8．关于x轴、y轴对称的点的坐标

（1）关于x轴的对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数．

即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．

（2）关于y轴的对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变．

即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．

9．坐标与图形变化-对称

（1）关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数．

（2）关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数．

（3）关于直线对称

①关于直线x＝m对称，P（a，b）P（2m﹣a，b）

②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）

10．作图-轴对称变换⇒

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始

的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一

端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．

④作出的垂线为最短路径．

11．利用轴对称设计图案

利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到

不同的图案．

12．轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确

定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点