1.2 等腰三角形（2） 等边三角形的性质-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.2等腰三角形（2）—等边三角形的性质知识要点:1．等腰三角形两底角的角平分线_______,两腰上的中线_______,高_______．【答案】相等相等相等2．等边三角形的每个内角都_______,并且每个内角都等于_______。【答案】相等60°3．等边三角形是___________图形，有_________条对称轴。【答案】轴对称34．等边三角形每条边上的__________、__________和所对角的___________都三线合一。【答案】中线高角平分线课堂练习一、选择题1．如图，中，，于D，于E，下列结论不成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得AD平分，判断出，再根据于D，于E，可知，可判断出和，即可得到答案．【详解】解：A、在中，，，∴AD平分，∴，选项说法正确，不符合题意；B、∵于D，于E，∴，∵，∴，选项说法正确，不符合题意；C、∵是的外角，∴，无法得到，无法得到，选项说法错误，符合题意；D、在中，，在中，∴，选项说法正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、同角的余角相等的性质及三角形的外角的性质，解决问题的关键是熟练运用相关性质．2．如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先求解可得从而可得答案.【详解】解：是等边三角形，，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.3．如图，在ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．35° B．40° C．55° D．70°【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质可得AD平分∠BAC，∠B=∠ACB，从而得到，再由三角形的内角和定理，可得，即可求解．【详解】解：∵AB＝AC，AD是ABC的中线，∴AD平分∠BAC，∠B=∠ACB，∴，∴，∵CE是ABC的角平分线，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），则A点的坐标是（）A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】C【分析】过点A做AC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质结合点B的坐标即可找出OA、OC的长度，再利用勾股定理即可求出AC的长度，进而可得出点A的坐标，此题得解．【详解】解：过点A做AC⊥x轴于点C，如图所示．∵△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，∴AC＝，∴点A的坐标为（，）．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质．勾股定理以及坐标与图形性质，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．5．如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（）A．45° B．50° C．52° D．58°【答案】A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．【详解】解：∵AD是角平分线，，∴∠DCA==30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．二、填空题6．（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为___．【答案】8或640°或100°或140°【分析】（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是12，哪个是9，因此，有两种情况，分类讨论求解即可．（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点两种情况求解．【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，∵BD是腰上的中线∴AD=DC=x①若AB+AD的长为12，则2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案为：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，

①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；

②如图2，点A是底角顶点时，

顶角∠BCA=180°-40°×2=100°，

③如图3，点A是顶角顶点时，

顶角∠BAC=180°-40°=140°，

综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．

故答案为：40°或100°或140°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据题意分情况讨论．7．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD=______．

【答案】10cm【分析】由题意根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AC=CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，然后求出AD+BD=DE即可．【详解】解：∵点C在AE的垂直平分线上，

∴AC=CE，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴BD=CD，

∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，

∵DE=10cm，

∴AB+BD=10cm．

故答案为：10cm．【点睛】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．8．如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD＝CE，则∠BDE的度数是_____．【答案】120°【分析】依据等边三角形的性质即可得到∠DBC的度数，依据等腰三角形的性质即可求得∠E的度数,再根据三角形内角和定理即可得出∠BDE的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，又∵BD是角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC=∠ACB＝30°，∴∠BDE＝180°﹣2×30°＝120°，故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，等边三角形的三个内角都相等且都等于60°，掌握利用三角形外角的性质和等腰三角形性质求∠E是解题关键．9．如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若BC＝4，CD＝1，则CE＝___．

【答案】3【分析】证明△ABD≌△CBE，可得，即可求解【详解】解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∵AC＝BC＝4，∴CE＝AD＝4﹣1＝3，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．10．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，BM＝3，CN＝4．则MN＝___．【答案】7【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，从而得出OM=BM，ON=CN，再根据MN=MO+ON，即可求出MN的值．【详解】解：∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠OCB=∠NOC，∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴OM=BM，ON=CN，∵BM=3，CN=4，∴OM=3，ON=4，∴MN=MO+ON=3+4=7；故答案为：7．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO是解题的关键．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，从而得到△BDE≌△CDE，进而得到∠DCE=∠DBE，再由BE平分∠ABC，可得，进而得到，即可求证．【详解】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ABC=∠ACB，BD=CD，∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴∠DCE=∠DBE，∵BE平分∠ABC，∴，∴，∴，∴CE平分∠ACB．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．12．已知：如图，中，，，分别是，的平分线．请你写出图中的一对全等三角形，并证明．【答案】，（任选一对即可）；证明见解析（以为例）【分析】根据等腰三角形的性质确定，根据角平分线的性质确定，再应用全等三角形的判定定理即可证明．【详解】解：，．以为例，证明：∵在中，，∴，即．∵，分别是，的平分线，∴，．∴．在和中，∵∠DCB=∠EBC,∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定定理，综合应用这些知识点是解题关键．13．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2【答案】见详解．【分析】根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可．【详解】证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵AF⊥AD，∴AF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键．14．如图，在中，，是的中点，于．求证：．

【答案】见解析【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质推出∠BAC=2∠DAC，然后结合三角形外角性质推出∠DAC=∠EBC，即可证得结论．【详解】证：∵在中，，∴为等腰三角形，∵是的中点，∴为的中线，由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，设AD与BE交于F点，∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，∴∠BAC=2∠EBC．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及三角形外角性质等，掌握等腰三角形中“三线合一”的性质，外角定理等是解题关键．15．如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．（1）求∠ADC的大小；（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，BE＝4，求AD的长．

【答案】（1）23°；（2）．【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE＝60°，AD＝DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD＝BE＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，∴AB＝AC，∠ADC＝∠E，∠CAB＝∠DAE＝60°，∵