第1节　平面向量的概念及线性运算

考试要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.[常用结论与微点提醒]1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.2.(多选)下列命题中，正确的是()A.若a与b都是单位向量，则a＝bB.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C.若用有向线段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，则点M与N不重合D.海拔、温度、角度都不是向量答案CD解析A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.3.(必修二P16例8改编)已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共线，则实数t＝________.答案eq\f(1,3)解析由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(1,2)λ，,\f(3,2)λ＝－1，))解得t＝eq\f(1,3).4.(必修二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))＝________.答案a＋eq\f(1,2)b解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.考点一平面向量的概念例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.方向相反的两个非零向量一定共线B.零向量是唯一没有方向的向量C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”⇔“四边形ABCD是平行四边形”答案AD解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确.(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a方向相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b方向相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件.感悟提升平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.训练1(1)下列命题中正确的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.a与b同向，且|a|>|b|，则a>bD.两个终点相同的向量，一定是共线向量答案A解析对于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等，方向相反，故A正确；对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故C错误；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B选项均与eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C选项与eq\o(BC,\s\up6(→))长度不相等，D选项与eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，长度相等.考点二平面向量的线性运算例2(1)(2024·太原模拟)在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE.又E为AB的中点，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)(2024·安庆调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由题图得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.训练2(1)(2024·南充诊断)如图，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以5eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋4eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)(2024·河南部分学校联考)已知不共线向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A.2a－2b B.2a＋2bC.－2a－2b D.－2a＋2b答案D解析如图，由eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，可知AB是△SMN的中位线，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝2b－2a＝－2a＋2b.考点三共线向量定理的应用例3(1)(2024·长沙质检)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c与d共线，则实数x的值为()A.1 B.－eq\f(1,2)C.1或－eq\f(1,2) D.－1或－eq\f(1,2)答案C解析因为c与d共线，所以存在k∈R，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.因为向量a，b不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.(2)(2024·潍坊调研)已知点M为△ABC中BC边上的中点，点N满足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值为()A.5 B.6 C.9 D.10答案D解析根据题意，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,y)\o(AQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,10x)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,10y)eq\o(AQ,\s\up6(→)).∵P，N，Q三点共线，∴eq\f(1,10x)＋eq\f(1,10y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝10.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.训练3(1)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM与CN交于点D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因为点C，D，N共线，则有eq\f(3λ,4)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(4,5).(2)(2024·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C.若eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，则x－y的值为()A.－1 B.0 C.1 D.2答案C解析因为A关于点O的对称点为C，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，又eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))－yeq\o(OA,\s\up6(→))，又因为A，B，D三点共线，所以x－y＝1.【A级基础巩固】1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为()A.a＋4b B.－a－9bC.2a＋b D.a－3b答案B解析2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.2.(多选)下列命题中正确的是()A.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反B.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同答案BC解析对于A，当a，b之一为零向量时，不成立，故A错误；对于B，首尾顺次相接，B正确；对于C，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.3.(多选)下列能化简为eq\o(PQ,\s\up6(→))的是()A.eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))C.(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))答案ABC解析对于A，eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合题意；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合题意；对于C，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(CQ,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→)))＝0＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合题意；对于D，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))≠eq\o(PQ,\s\up6(→))，不符合题意.4.(2024·武汉质检)已知a，b是平面内两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是()A.λ－μ＝1 B.λ＋μ＝2C.λμ＝1 D.eq\f(λ,μ)＝1答案C解析若A，B，C三点共线，则存在不为0的实数m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，即a＋λb＝m(μa＋b)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝mμ，,λ＝m，))所以λμ＝1.故选C.5.在边长为1的正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因为四边形ABCD是边长为1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.6.(2024·渭南调研)如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b D.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b答案A解析由题意知eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＝－eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))，所以2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.7.(2024·昆明诊断)在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE＝2ED，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(7,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(7,6)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))答案A解析如图所示.在△ABC中，因为AD为BC边上的中线，所以D为BC的中点.由平行四边形法则，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又点E在AD上，且AE＝2ED，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).8.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________.答案－eq\f(1,2)解析由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－3k＝2，))整理得2λ2－3λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－eq\f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).9.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________.答案直角三角形解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.10.在△ABC中，P是BC上一点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，则λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).11.已知a，b不共线，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解由题设知，eq\o(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq\f(6,5).故存在实数t＝eq\f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上.12.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)证明：B，E，F三点共线.(1)解在△ABC中，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)证明因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线.【B级能力提升】13.(多选)下列命题正确的是()A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))B.在△ABC中，若O点满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O点是△