【中考考点基础练】专题八 几何图形综合探究题 2025年中考数学总复习（福建）（含答案）

专题八几何图形综合探究题1.(2024·泉州二模)如图,在Rt△EBC中,∠EBC=90°,点A在EB边上,且CA=BE.以AC为斜边作Rt△DAC,使得B,D两点在直线AC的异侧,且∠DAC=∠E,AD与EC交于点F.(1)求证:∠DCF=∠ACB.(2)求证:CF=AD.(3)过点A作AH⊥EC,垂足为H,求证:EH=AF.2.在▱ABCD中,∠ABC=45°,BC=2AB,E为CD上一点.图1图2图3(1)如图1,连接AC,求证:AC⊥AB.(2)如图2,连接BE,过点C作CH⊥BE于点H,连接AH,求∠AHB的度数.(3)如图3,在(2)的条件下,延长AH交BC的延长线于点F,试问线段BE与AF有何数量关系?并说明理由.3.(原创)如图,将一块含30°的直角三角板OAB绕直角顶点O顺时针旋转x°(0<x<90)得到△OCD,已知∠A=60°,设OD交AB于点E,连接BD.(1)当x=30时,判断△AOE的形状,并说明理由.(2)请你探索是否存在x的值,使△BDE是等腰三角形.若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.4.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,B的对称点为G,PG交BC于点H.(1)求证:△EDP∽△PCH.(2)若P为CD的中点,且AB=2,BC=3,求GH长.(3)连接BG,若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB大小关系并说明理由.参考答案1.证明:(1)∵∠EBC=90°,∠ADC=90°,∴∠DAC+∠DCA=90°,∠E+∠ECB=90°.∵∠DAC=∠E,∴∠DCA=∠ECB,即∠DCF+∠ECA=∠ACB+∠ECA,∴∠DCF=∠ACB.(2)∵∠DAC=∠E,∠ACE=∠ACE,∴△CAF∽△CEA,∴CFCA=CA∵∠DAC=∠E,∠EBC=∠ADC,∴△CAD∽△CEB,∴CACE=AD∴CFCA=AD∵CA=BE,∴CF=AD.(3)解法一:如图1,以AC为直径作☉O,连接BH.∵∠EBC=∠AHC=90°,∴点H,B在☉O上,∴∠ACH=∠ABH.在△AFC和△EHB中,∠ACF=∠EBH∴△AFC≌△EHB(ASA),∴EH=AF.解法二:如图2,过点F作FG∥CD,交AC于点G.∵FG∥CD,∴△AGF∽△ACD,∴GFCD=AF∵AH⊥EC,∴∠AHF=∠AHE=∠D=90°.又∵∠AFH=∠CFD,∴△AFH∽△CFD,∴AHCD=AF由(2)知,CF=AD,∴AHCD=GF∴AH=GF.∵GF∥CD,∴∠AFG=∠D=∠AHE=90°,又∵∠E=∠GAF,∴△AEH≌△GAF(AAS),∴EH=AF.2.解析:(1)证明:如图1,过点A作AM⊥BC于点M.图1∵∠ABC=45°,∴△ABM是等腰直角三角形,∴BM=AM=22∵BC=2AB,∴BM=CM=AM.∵AM⊥BC,∴AM是BC的垂直平分线,∴AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°,∴∠BAC=90°,∴AB⊥AC.(2)如图2,连接AC,图2由(1)得∠BAC=90°.∵CH⊥BE,∴∠BHC=∠BAC=90°,∴A,B,C,H四点共圆,∴∠AHB=∠ACB=45°.(3)BE=2AF.理由:如图3,连接EF,图3∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=45°.由(2)得∠AHB=45°,∴∠EHF=∠AHB=45°,∴∠DCF=∠EHF=45°,∴C,F,E,H四点共圆,∴∠CFH=∠CEH.∵A,B,C,H四点共圆,∴∠CBE=∠CAF,∴△CBE∽△CAF,∴BEAF=BC∵BC=2AB,AB=AC,∴BCAC=2∴BEAF=2∴BE=2AF.3.解析:(1)△AOE是等边三角形.理由:∵∠AOB=90°,x°=30°,∴∠AOE=60°.∵∠A=60°,∴△AOE是等边三角形.(2)存在.∵直角三角板OAB绕点O旋转得到△OCD,∴OB=OD,∴∠BDE=∠OBD=12∴∠DBE=∠OBD-∠ABO=12∠BED=∠ABO+∠BOD=30°+x°.△BDE是等腰三角形,分三种情况讨论:①当∠BDE=∠DBE时,12(180°-x°)=1②当∠BDE=∠BED时,12③当∠DBE=∠BED时,12综上所述,当x为20或40时,△BDE是等腰三角形.4.解析:(1)证明:如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°.∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在DC上,∴∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2,∴△EDP∽△PCH.(2)如图2,∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°.∵P为CD的中点,∴DP=CP=12设EP=AE=x,∴ED=AD-x=3-x.在Rt△EDP中,EP2=ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1,解得x=53∴EP=AE=x=53∴ED=AD-AE=43∵△EDP∽△PCH,∴EDPC=EP∴431=解得PH=54∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=34(3)如图3,延长AB,PG交于点M,连接AP,BG.∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,∴AP⊥EF,BG⊥直线EF,∴BG∥AP.∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA,∴∠BAP=∠GPA,∴△MAP是等腰三角形,∴MA=MP.∵P为CD的中点,∴设DP=CP=y,∴AB=PG=CD=2y.∵H为BC的中点,∴BH=CH.∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,∴△MBH≌△PCH(ASA),∴BM=CP=y,HM=HP,∴MP=MA