高考数学(理)二轮复习(江苏专用)：专题1-函数与导数、不等式-第5讲

第5讲导数与实际应用及不等式问题第1页高考定位高考对本内容考查主要有：(1)导数在实际问题中应用为函数应用题注入了新鲜血液，使应用题包括到函数模型愈加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考压轴题，能力要求非常高.作为导数综合题，主要是包括利用导数求最值处理恒成立问题、利用导数证实不等式等，常伴随对参数讨论，这也是难点之所在.第2页真题感悟第3页(1)证实因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上偶函数.第4页第5页第6页第7页考

点

整

合1.处理函数实际应用题，首先考虑题目考查函数模型，并要注意定义域，其解题步骤是：(1)阅读了解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出对应数学问题；(2)数学建模：搞清题目中已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题结果转化成实际问题作出解答.第8页2.利用导数处理不等式恒成立问题“两种”惯用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数函数最值问题，利用导数求该函数最值，依据要求得所求范围.普通地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)转化为含参函数最值问题：将不等式转化为某含待求参数函数最值问题，利用导数求该函数极值(最值)，伴有对参数分类讨论，然后构建不等式求解.第9页3.常见结构辅助函数四种方法(1)直接结构法：证实不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))问题转化为证实f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而结构辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).(2)结构“形似”函数：稍作变形后结构.对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构式子结构，依据“相同结构”结构辅助函数.(3)适当放缩后再结构：若所结构函数最值不易求解，可将所证实不等式进行放缩，再重新结构函数.(4)结构双函数：若直接结构函数求导，难以判断符号，导数零点也不易求得，所以单调性和极值点都不易取得，从而结构f(x)和g(x)，利用其最值求解. 第10页4.不等式恒成立与能成立问题(1)f(x)＞g(x)对一切x∈[a，b]恒成立⇔[a，b]是f(x)＞g(x)解集子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b]).(2)f(x)＞g(x)对x∈[a，b]能成立⇔[a，b]与f(x)＞g(x)解集交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b]).(3)对∀x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈[a，b]，∃x2∈[a，b]使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.第11页第12页(1)求a，b值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P横坐标为t.①请写出公路l长度函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l长度最短？求出最短长度.第13页第14页第15页第16页探究提升

在利用导数求实际问题中最大值和最小值时，不但要注意函数模型中定义域，还要注意实际问题意义，不符合解要舍去.第17页第18页第19页第20页第21页第22页第23页探究提升(1)证实f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)，可经过结构函数h(x)＝f(x)－g(x)，将上述不等式转化为求证h(x)≥0或h(x)≤0，从而利用求h(x)最小值或最大值来证实不等式.或者，利用f(x)min≥g(x)max或f(x)max≤g(x)min来证实不等式.(2)在证实不等式时，假如不等式较为复杂，则能够经过不等式性质把原不等式变换为简单不等式，再进行证实.第24页[微题型2]利用导数处理不等式恒成立问题【例2－2】(1)已知函数f(x)＝ax－1－lnx，a∈R.

①讨论函数f(x)单调区间；

②若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b取值范围.第25页第26页第27页第28页第29页探究提升(1)利用最值法处理恒成立问题基本思绪是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可).(2)对于求不等式成立时参数范围问题，在可能情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数不等式，另一端是一个区间上详细函数.但要注意分离参数法不是万能，假如分离参数后，得出函数解析式较为复杂，性质极难研究，就不要使用分离参数法.第30页第31页第32页第33页第34页探究提升存在性问题和恒成立问题区分与联络存在性问题和恒成立问题轻易混同，它们现有区分又有联络：若g(x)≤m恒成立，则g(x)max≤m；若g(x)≥m恒成立，则g(x)min≥m；若g(x)≤m有解，则g(x)min≤m；若g(x)≥m有解，则g(x)max≥m.第35页第36页第37页第38页第39页1.不等式恒成立、能成立问题惯用解法有：(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离情况下，采取分离参数转化为函数最值问题，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min.(2)直接转化为函数最值问题，在参数难于分离情况下，直接转化为含参函数最值问题，伴有对参数分类讨论.(3)数形结合.第40页2.利用导数证实不等式基本步骤(1)作差或变形.(2)结构新函数h(x