2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教A版2019）第1章1-3-1空间直角坐标系-1-3-2空间向量运算的坐标表示

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示课后训练巩固提升A组1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,10,12) D.(4,2,3)解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).答案:A2.已知a=(1,0,1),b=(2,1,1),c=(3,1,0),则|ab+2c|等于()A.310 B.210 C.10 D.5解析:∵ab+2c=(1,0,1)(2,1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|ab+2c|=310.答案:A3.已知点A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量OC=25AB,则点CA.-65,-C.-65,-解析:设点C坐标为(x,y,z),则OC=(x,y,z).因为AB=(3,2,4),OC=所以x=65,y=45,z=答案:A4.若a=(1,λ,2),b=(2,1,2),且a与b夹角的余弦值为89,则λ=(A.2 B.2 C.2或255 D.2或解析:a·b=1×2+λ×(1)+2×2=6λ,a·b=|a||b|cos<a,b>=5+λ由835+λ2=6λ,得λ=答案:C5.(多选题)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是()A.OP的中点的坐标为1B.点P关于x轴对称的点的坐标为(1,2,3)C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,3)D.点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,3)解析:OP的中点的坐标为12,1,32,故A正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,2,3),故B不正确;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,3),故C错误;点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,3),故D正确答案:AD6.在空间直角坐标系中,点M(2,4,3)在Oxz平面上的射影为M'点,则M'关于原点的对称点的坐标是.

解析:由题意得,M在Oxz平面上的射影为M'(2,0,3),所以M'关于原点的对称点的坐标为(2,0,3).答案:(2,0,3)7.已知a=(2,1,3),b=(1,3,2),a,b的夹角为θ,则θ=.

解析:cosθ=a·b|故θ=120°.答案:120°8.已知向量a=(0,1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29,且λ>0,则λ=.

解析:∵a=(0,1,1),b=(4,1,0),∴λa+b=(4,1λ,λ).又|λa+b|=29,∴16+(1λ)2+λ2=29.∴λ2λ6=0,解得λ=3或λ=2.∵λ>0,∴λ=3.答案:39.已知a=(1,5,1),b=(2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a3b),求实数k的值;(2)若(ka+b)⊥(a3b),求实数k的值.解:ka+b=(k2,5k+3,k+5),a3b=(1+3×2,53×3,13×5)=(7,4,16).(1)∵(ka+b)∥(a3b),∴k-解得k=13(2)∵(ka+b)⊥(a3b),∴(k2)×7+(5k+3)×(4)+(k+5)×(16)=0,解得k=106310.如图,已知正四棱锥SABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.(1)求CE的长;(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.解:连接SO,AC,OB,由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,所以A62,0,0,S0,0,22(1)CE=所以|CE|=36即CE=142(2)因为BE=64所以cos<BE,SC>=BE·故异面直线BE和SC所成角的余弦值为12(3)证明:因为G在SC上,所以SG与SC所以可设SG=λSC=-62λ则OG=OS+SG=0,0,22因为OG⊥SC,即OG⊥SC,所以OG·所以32λ12(1λ)=0,解得λ=所以OG=又BE=所以OG·BE=632+0+6所以OG⊥BE,即OG⊥B组1.已知a=(2,0,3),b=(4,2,1),c=(2,x,2),若(ab)⊥c,则x等于()A.4 B.4 C.2 D.2解析:∵ab=(2,2,2),且(ab)⊥c,∴(ab)·c=0,即4+2x+4=0,解得x=4.答案:B2.已知O为原点,向量OA=(2,2,3),OB=(x,1y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为0,32,-12,则(x,y,A.(2,4,1) B.(2,4,1)C.(2,4,1) D.(2,4,1)解析:由题意得(2,2,3)+(x,1y,4z)=20,32,-12,即(x+2,1y,3+4z)解得x答案:A3.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为()A.105 B.257 C.15解析:建系如图,则C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0),因此C1D=(1,1,1),A1C=(所以cos<C1D,故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值是1515故选C.答案:C4.已知a=(1t,1t,t),b=(2,t,t),则|ba|的最小值是()A.55 B.55C.355 D解析:∵ba=(1+t,2t1,0),∴|ba|2=(1+t)2+(2t1)2+02=5t22t+2=5t-∴|ba|min∴|ba|min=35答案:C5.已知△ABC的三个顶点是A(1,1,1),B(2,1,1),C(1,1,2),则△ABC的面积为.

解析:S△ABC=12|AB||AC|sinα,其中α是边AB与AC的夹角则S△ABC=12|AB||AC|1在本题中AB=(1,2,2),AC=(2,0,3),所以|AB|2=12+22+(2)2=9,|AC|2=(2)2+(3)2=13,AB·AC=1×(2)+2×0+(2)×(3)=所以S△ABC=12答案:1016.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为解析:设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),λ∈R,则Q(λ,λ,2λ),QA=(1λ,2λ,32λ),QB=(2λ,1λ,22λ).因为QA·QB=6λ216λ+10=6λ-432-23,所以当λ=43答案:47.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)三点.(1)若DB∥AC,DC∥(2)问是否存在实数α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则DB=(x,1y,z),AC=(1,0,2),DC=(x,y,2z),AB=(1,1,0).因为DB∥AC,DC∥AB,DB=解得x=-1,y=1(2)依题意AB=(1,1,0),AC=(1,0,2),BC=(0,1,2).假设存在实数α,β,使得AC=αAB+βBC成立,则有(1,0,2)=α(1,1,0)+β(0,1,2)=(α,αβ,2β).所以α=1,α-β=0,2故存在α=β=1,使得AC=αAB+βBC成立.8.已知在正三棱柱ABCA1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32,假设存在点N,满足