数学高考备考讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ29

§2.9函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax知识拓展1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减.(2)当x>0，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x<0，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(×)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(×)(3)不存在x0，使(×)(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.(√)(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(×)题组二教材改编2.[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元答案D解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为eq\f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误.3.[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件.答案18解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值.题组三易错自纠4.国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A.2800元 B.3000元C.3800元 D.3818元答案C解析由题意，知纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤800，,0.14x－800，800<x≤4000，,0.112x，x>4000.))由于此人纳税420元，所以800<x≤4000时，令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，x>4000时，令0.112x＝420，解得x＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.5.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________.答案eq\r(p＋1q＋1)－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.6.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只.答案200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.题型一用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()答案B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案B解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

题型二已知函数模型的实际问题典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟.答案3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，所以当t＝eq\f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.答案24解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))∴e22k＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，∴e11k＝eq\f(1,2)，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·192＝24(小时).思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的费为______元.答案4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.答案2500解析L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型典例(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元.答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].∴当x＝95时，y最大.命题点2构造指数函数、对数函数模型典例一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.引申探究本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.命题点3构造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函数典例(1)(2018届金华质检)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为eq\f(8,n)，则同学们认为最适宜的教室应在()A.2楼 B.3楼C.4楼 D.8楼答案B解析由题意知同学们总的不满意度y＝n＋eq\f(8,n)≥2eq\r(n×\f(8,n))＝4eq\r(2)，当且仅当n＝eq\f(8,n)，即n＝2eq\r(2)时等号成立，又∵当n＝3时，不满意度y的值比n＝2时不满意度y的值小，∴同学们认为最适宜的教室应在3楼.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.答案2eq\r(3)解析由题意可得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，∴y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq\r(3).当且仅当eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq\r(3)时等号成立.命题点4构造分段函数模型典例(2009·浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元.(用数字作答)答案148.4解析高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元.低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价为50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元).思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练(1)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为______________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大.(年利润＝年销售总收入－年总投资)答案y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*)16解析当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*).当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故当x＝16时取得最大年利润.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是________.答案300解析由题意，得总利润y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))当0≤x≤400时，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25000；当x>400时，y＝60000－100x<20000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25000元.函数应用问题典例(15分)已知美国某品牌公司生产某款的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.规范解答解(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40， [2分]当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x>40.)) [5分](2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104； [7分]②当x>40时，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，当且仅当eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W的最大值为5760. [12分]综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万美元. [15分]

解函数应用题的一般步骤：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.答案B解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A.118元 B.105元C.106元 D.108元答案D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A.560万元 B.420万元C.350万元 D.320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有eq\f(280×p%＋x－280p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故该公司的年收入为320万元.4.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2017年 B.2018年C.2019年 D.2020年答案D解析设从2016年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥eq\f(lg\f(20,13),lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A.13m3 B.14m3C.18m3 D.26m3答案A解析设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx0<x≤10，,10m＋x－10·2mx>10，))则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.6.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()万元 B.11万元C.43万元 万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－10.5))2＋0.1×(10.5)2＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.某示时k＝_____，经过5小时，1个病毒能繁殖为______个.答案2ln21024解析当t＝0.5时，y＝2，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.8.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________.(用常数a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2，∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值.9.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.答案3解析设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大.10.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计).答案12解析设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的时间，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，当且仅当eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)时取“＝”.故这些汽车以eq\f(200,3)km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.11.声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－6,10－12)))＝10lg106＝60(分贝).(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))＝0.所以eq\f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)＝50＋10lg5，因为50＋10lg5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息.12.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15－0.1x万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋eq\f(10,5)＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x元时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15－0.1x>0，,x>0，))解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(10,15－0.1x)))＝x－eq\f(100,150－x)－30，所以P＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(150－x＋\f(100,150－x)))＋120.因为0<x<150，所以150－x>0，则(150－x)＋eq\f(100,150－x)≥2eq\r(150－x·\f(100,150－x))＝2×10＝20，当且仅当150－x＝eq\f(100,150－x)，即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.13.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套公寓房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为______元.答案3300解析由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)，则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房租金定为3000＋50×6＝3300元时，可使公司获得最大利润.14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳