2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教A版2019）第1章1-2空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理课后训练巩固提升A组1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.3a,ab,a+2b B.2b,b2a,b+2aC.a,2b,bc D.c,a+c,ac解析:对于A,由于3a=2(ab)+a+2b,故向量3a,ab,a+2b共面,不能作为基底,故A不符;同理可判断B,D不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(bc),所以三个向量不共面.故选C.答案:C2.已知平行六面体OABCO'A'B'C',OA=a,OC=c,OO'=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则(A.O'D=a+bB.O'D=b12C.O'D=1D.O'D=12解析:O'D=O'O+OD=OO'答案:D3.已知在正方体ABCDA'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{AO1,AO2,AO3}为基底,AC'=xAO1+yAO2+zAOA.x=y=z=1 B.x=y=z=1C.x=y=z=22 D.x=y=z=解析:AC'=AA'+AD+AB=12(AB+AD)答案:A4.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()A.2 B.3 C.5 D.7解析:∵EF=EA+AA1+A1F,且|EA|=|A1F|=1,|AA1∴EF2=|EF|2=(EA+AA1+A1F)2=|EA|2+|AA1|2+|A1F|因此|EF|=5,即EF的长为5.答案:C5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=2i+4j+2k,则向量a与b的位置关系是.

解析:∵a·b=6i2+8j22k2=6+82=0.∴a⊥b.答案:a⊥b6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若EF+λA1D=0(λ∈R),则λ=解析:如图,连接A1D,A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,易知EF12A1D.所以EF=即EF-12所以λ=12答案:17.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是.

解析:设棱长为2.∵AB1∴AB1·BM=(BB1-BA)·BC+∴AB1⊥BM,即AB答案:90°8.如图,设四面体OABC的三条棱OA=a,OB=b,OC=c,G为△ABC的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量BE,解:由G为△ABC的重心,易知E为AC的中点,所以BE=12(BA+BC)=12[(OA-OB)+(OC-OB)]=12[(ab)+OG=OB+BG=b+23BE=b+13(a+c2b9.如图,在直三棱柱ABCA'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求CE与AC'所成角的余弦值.答案：(1)证明:设CA=a,CB=b,CC'=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∵CE=b+12c,A'D=c+12∴CE·A'D=12c2+∴CE⊥A'D.∴(2)解:∵AC'=a+c,CE=b+12∴|AC'|=2|a|,|CE|=52|a又AC'·CE=(a+c)·b+12c=1∴cos<AC',CE故E与AC'所成角的余弦值为1010B组1.若a=e1+e2+e3,b=e1e2e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为()A.52,12,1 B.C.52,12,1 D.解析:d=xa+yb+zc=(x+y+z)e1+(xy+z)e2+(xy)e3.∵d=e1+2e2+3e3,∴x解得x=52,y=12,z=答案:A2.已知OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,1C.13,1解析:如图,由已知得OG=因为G1是△ABC的重心,所以OG所以OG=从而x=y=z=14答案:A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则直线AC1与CE的位置关系是()A.重合 B.垂直C.平行 D.无法确定解析:AC1=AC+AA1,CE=CC1+C1E=AA1-12AC.答案:B4.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点,则EF与BD所成角的余弦值为()A.26 B.C.36 D.解析:设正方形ABCD的边长为1,则AP=AD=AB=1,设AB=a,AD=b,AP=c,则EF=EA+AD+DF=12c+b+1EF·BD=-12c+b+12a·(ba)=12c·b+12c·a+b2a|EF|=(-12c+b所以cos<EF,BD>=答案:C5.在空间四边形ABCD中,AB=a2c,CD=5a5b+8c,对角线AC,BD的中点分别是E,F,则EF=.

解析:EF=12(ED+EB)=14(AD+CD)+14答案:3a52b+36.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,用AC,AB1,AD1解析:因为2AC1=2AA1+2AD+2AB=(AA1+AD)+(A所以AC1答案:127.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=(1)请用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解:(1)MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12∴|a+b+c|=5.∴|MN|=13|a+b+c|=5即MN=538.如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求DM和AO所成角的大小.(1)证明:VD=13(a+b+c),AO=VO-VABO=VO-VB=16(a+c5b),因为AO·BO=136(b+c5a)·(a+c5b)=136(18a·b9|a|2)=136(18×1×1×所以AO⊥即AO⊥