《浅析高等数学中某些定理的证明9700字（论文）》

浅析高等数学中某些定理的证明目录摘要 1引言 3第1章罗尔定理 41.1罗尔定理概述 41.2罗尔定理证明 41.3罗尔定理几种特殊情况 5第2章拉格朗日中值定理 72.1拉格朗日中值定理的概述 72.2拉格朗日中值定理的几种证明方法 72.2.1最简单的证明的方法 72.2.2利用作差法证明拉格朗日中值定理 72.2.3利用对称法证明拉格朗日中值定理 82.2.4利用坐标变换法证明拉格朗日中值定理 92.2.5利用迭加法证明拉格朗日中值定理 102.2.6利用行列式法证明拉格朗日中值定理 112.2.7利用闭区间套定理证明拉格朗日中值定理 13第3章柯西中值定理 163.1柯西中值定理概述 163.2柯西中值定理的几种证明方式 163.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理 163.2.2利用反函数证明柯西中值定理 173.2.3利用坐标变换证明柯西中值定理 193.2.4利用迭加法证明柯西中值定理 213.2.5利用待定系数法证明柯西中值定理 223.2.6利用行列式法证明柯西中值定理 223.2.7利用闭区间套定理证明柯西中值定理 233.3对其他证明方式的思考 25第4章总结 28参考文献 30摘要本文主要对三种微分中值定理的概念、推广以及证明方法等方向的内容进行了具体的讨论．最主要的就是用多种方法例如迭代法、坐标变换法等方法来构造函数利用罗尔定理或利用闭区间套定理直接证明另外两种微分中值定理．最后进一步扩展用达布定理证明柯西中值定理．关键词：微分中值定理；构造辅助函数；闭区间套定理；达布定理引言在高等数学课本中有许多至关重要的定理，需要证明以及进一步的探究．故本课题针对高等生数学中重点定理之一的微分中值定理展开一系列的探究与思考．本课题主要描述的是微分中值定理的证明方式以及三种微分中值定理之间的联系．其中重点讲述了除罗尔定理外其他两种微分中值定理的多种证明方法．微分中值定理的重要性不仅仅表现在微积分等方面，它还是各类大型考试中的“常客”，是非常重要的考点．从公元前古希腊时代开始，在诸多著名数学家们的研究探索下，微分中值定理逐渐变得更加完善、严谨、实用性越来越高，研究价值越来越大．近几年来，在数学家杨艳萍和明清河主编的《数学分析中的重要定理》一书中对微分中值定理的发展和应用作了详细的介绍[1]．同样在数学家卢玉峰的《微分中值定理历史与发展》一文中，对微分中值定理的数学史作了相当详细的说明[2]．除这些之外还有其它许多相关作品．整个微分学的理论奠基石就是微分中值定理，它建立了函数值与导数值之间的定量联系．微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论．因此值得被反复研究、被推广，作为一种基础性定理，它的相关知识应该被大众所熟知．本篇毕业论文中讲述的定理是我在高等数学课本中精心挑选出的，是我认为值得被总结、被思考的一类定理．我希望本篇文章能够在增加读者对三种微分中值定理认知的基础上，给大家带来思想方面的冲击，有更多新奇的想法出现．

第1章罗尔定理罗尔定理是微分学中一条比重较大的定理，而且是相对于其余两种微分中值定理而言局限性最强的一条，限制条件也最为严格．同时罗尔定理也是证明另外两种微分中值定理的基础．1.1罗尔定理概述罗尔(Rolle)定理[3]假设上的函数满足以下条件：(1)在区间上连续；(2)在区间内可导；(3)，则至少存在一个，使得．其几何意义为：二维直角坐标系中，有一段光滑曲线满足两端点的纵坐标相等．那么在这段曲线上至少存在一点，并有在此点处的切线与坐标轴轴平行[3]．1.2罗尔定理证明因为罗尔定理比较基础，从其图像上亦可直接观察出来．在此就不做过多的证明了，接下来用最为普遍的用来证明罗尔定理的证明方法，如下：证明由于在闭区间上连续，则可令，且显然存在．若，则(为任意常数)，内任意一点都可视作．若，则根据两端点值相等，与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到，即，下面证明[4]．因为在区间内可导，故而存在，且有其左、右极限都存在且相等，即，根据是在区间内的最大值，可得无论或，都有，因而当时，有，当时，有，所以，．罗尔定理得以证明[5]．1.3罗尔定理几种特殊情况(1)若函数在开区间上连续且可导：有界函数：有，则在内至少存在一个，使得．无界函数：有(或)，则在内至少存在一个，使得．(2)若函数在区间上连续且可导：有界函数：有，则至少存在一个，使得．无界函数：有(或)，则至少存在一个，使得[6]．(3)若函数在区间上连续且可导：有界函数：有，则至少存在一个，使得．无界函数：有(或)，则至少存在一个，使得[7]．以下仅选择无界区间有界函数这种情况加以证明，其余情况的证明思路大致类似．定理[8]若函数在区间上连续且可导，并有，则至少存在一个，使得．证明至少可取到一点，使，否则恒等于，对于任意的实数，都有．不妨设，取，显然．根据极限定义，由可得：存在，当时，有，，，任取，则有，．利用，类似地可知存在，使．于是，函数在闭区间上连续，则在闭区间上必有的最小值点，由于闭区间的两个端点都不可能是的最小值点，由此可知，依据费马定理可知[8]．

第2章拉格朗日中值定理上文叙述了罗尔定理的一些内容,接下来将要对拉格朗日中值定理的几个方面进行阐述,拉格朗日中值定理在多个学科领域中都有广泛运用，例如：数学分析微积分中熟知的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；在群论中也有相关内容．本文中主要讲述的是其在微积分领域的内容和证明方法．2.1拉格朗日中值定理的概述拉格朗日(Lagrange)中值定理[9]假设函数满足：在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一点，使下面等式成立：．其几何意义为：二维直角坐标系中的一段光滑曲线，在这段曲线上，至少存在一点，使得在此点处的切线与两端点的连线平行[3]．与1.1中罗尔定理的几何意义作对比，不难发现两者之间只是缺少了定义区间的两端点相等这一条件．从这一角度看，我们能够以罗尔定理为基础证出拉格朗日中值定理[10]．2.2拉格朗日中值定理的几种证明方法2.2.1最简单的证明的方法作辅助函数：(1)，明显可得，函数满足罗尔定理的条件，对函数求导即可证出拉格朗日定理．这种方法是最简单、基础的构造辅助函数的方法，也是各个教材中最常用的证明方法[11]．2.2.2利用作差法证明拉格朗日中值定理通过对2.2.1中(1)式的构造的思考，我发现可以通过作函数差的方式来引导出辅助函数，例如：(2)，明显可得，函数满足罗尔定理条件，即可得在开区间内至少存在一点，对在点求导可得：，即．除上文证明中的(1)式与(2)式外，下面给出几个较为典型的例子：(3)(4)等等．显然，以上函数都是满足证明条件的辅助函数，且证明方法与(1)式类似，在此就不一一证明了．事实上，通过观察思考，不难发现之前的构造方法都是利用与一次函数的差来构造函数的，同时，构造这些函数的证明过程都比较简单，因为这些函数都满足罗尔定理的条件，所以直接对它们在点处求导即可得出结论．同时亦不难发现这样的辅助函数取之不尽、用之不竭，因为与函数平行的直线有无数条，即(其中为任意常数)[10]．2.2.3利用对称法证明拉格朗日中值定理在作差法的基础上换一个角度来思考，上述构造法中的诸多函数与之对应的关于轴的对称函数也可以作为证明拉氏定理辅助函数来用以证明，显然，这类函数也是取之不尽的．从几何意义上来看，与作差法的思路正好相反，一个是拿曲线减去直线，另一个是拿直线去减曲线，亦可证得拉氏定理成立．以下给出与上文中所有公式对称的辅助函数如下：(1)(2)(3)(4)等等．显然，以上函数都可作为证明拉格朗日中值定理的辅助函数，且证明方法类似，在此不做赘述[10]．2.2.4利用坐标变换法证明拉格朗日中值定理接下来本篇论文将要叙述坐标变换法，与前面介绍三种有异曲同工之妙．虽然都是构造辅助函数从罗尔定理入手．但是，在构造过程上方面给了我们新的思路．对称法与坐标变换法的区别在于一个对上述作差法中构造的函数作关于轴的对称的变换，而另一个是对其作逆时针旋转角度得变换．当然角度是有一定要求的．证明作如下变换：，将，用、和表出得，因为构造的函数在定义域内满足罗尔定理，故首先要求在定义区间内两端点值相等，即，可以得到：，整理可得，此时，就要考虑角度的取值问题了，所取角度满足上式就行．因为函数在定义域内具有连续性和可导性，所以可推知函数在其定义域内也具有相同的性质[10]．综上，根据罗尔定理，在区间内至少存在一点，使得：，即．到此，坐标变换法的证明过程已经结束了．不难看出，前四种方法在几何意义上有以下联系：如果说作差法是在2.2.1的方法上从二维图形平移的角度来分析的；对称法是在作差法的基础上从二维图形翻折的角度来思考的，那么坐标变换法就是从二维图形旋转角度来探究的[12]．2.2.5利用迭加法证明拉格朗日中值定理这种方法在一定情况下与作差法毫无区别，迭加法是让函数迭加上一个含有两个未知数的一次函数，其中和都为待定系数．构造好辅助函数后使其满足罗尔定理条件，通过使在辅助函数的构造上，可以解出值，而可在实数域任意取值．在辅助函数的构造上，有以下例子最为常见：．无论哪种情况，令，都解得，并且为任意实数，这样得到了函数的表达式：．不难发现，对于以上两种情况中的值都是确定的，为任意实数，但是对于这种情况，其实就是作差法中最普遍的构造方法．至于具体的证明过程，在这里就不多说了，都与前三种证明方式没有什么区别[10]．2.2.6利用行列式法证明拉格朗日中值定理与前五种方法都不同，行列式法中所用到的构造方法，是通过行列式来实现的．将行列式展开后，它不仅要包含函数，还需要使构造出的函数，满足罗尔定理的条件，其中最为关键的是要做到．通过这一系列的要求，可以构造出以下函数：，其展开式为：．不难求出函数在，时其值恰好均为，即可得：，经过简单的变形：．拉格朗日中值定理从而得以证明．通过上述方法，可以让大家感受到数学知识之间息息相关，相互贯通．接下来将要讲述行列式方法的另一种构造思路，它主要用到了数形结合的思想，再结合行列式的方法对辅助函数进行构造，下面先介绍一下所涉及到的相关知识：引理[11]在二维直角坐标系中，若三个顶点为，，，且这三点坐标分别为，，，则面积为．接下来将利用这一引理来构造函数并使之满足罗尔定理的条件．这种方法以为点，点为曲线函数的两个端点，令点为曲线函数与线段的交点，并且为从点开始的与曲线相交的第一个点，从而可以构造出符合以上要求的函数如下：，在此不再过多叙述具体的证明过程，这种证明方法与行列式法有细微的差别，它没有行列式法中的构造那么直接，若只以满足罗尔定理的条件为起点，那么完全可以抛却其它许多的限制条件，可以构造：，这就回到了2.2.6开始时的构造方式．综合这两种方法再根据上式，轻而易举就可启发我们做进一步的推广，即可以构造：，用以证明柯西中值定理，具体的证明方式将在下文阐述[13]．2.2.7利用闭区间套定理证明拉格朗日中值定理这种方法所介绍的是一种不同寻常的思路，它不寻常在其不需要考虑怎样构造辅助函数，仅仅只是一些利用闭区间套定理作一些理论的分析，就可以得到我们想要的结果．首先给出闭区间套相关的定义、定理、引理，如下：定义[9]如果一列闭区间满足条件(1)，；(2)，则称这列区间形成一个闭区间套．闭区间套定理[14]如果形成一个区间套，则存在唯一的实数属于所有的闭区间，且有．引理1[15]设函数在闭区间上有定义，且在处处可导，又为一闭区间套，且，则．引理2[15]设函数在闭区间上连续，则存在且时，使得．在我们对这些定义、定理、引理有一定认知的基础上，开始进行对拉格朗日中值定理的证明．我们将区间进行二等分，并设等分点为，令点为，同时作直线平行于函数两端点的连线．这样将会出现以下两种情况：(1)当直线与函数仅有一个交点时，直线必在函数的一侧．由于函数在开区间内可导，根据切线定义，易知点处的切线就是直线，综上可以得到．这样就证出了拉格朗日中值定理．(2)当直线与函数有两个及以上交点时，不如设除交点外其它交点中的一个为，接着选取以点，点为端点的新区间，记作，并且满足，，，此时，也会有两种情况出现：第一种情况是在等分新区间的过程中，直到有一个分点的存在，令与函数相交于，过点作直线平行于新区间端点连线，发现这种情况与(1)中情况相同除交点外没有其他交点，此时，取即可证得．第二种情况是在等分新区间的过程中，没有上述分点存在，即可得到满足下列三点的一个闭区间序列：①，②，③，根据上述区间套引理和前两点，不难得出：中由，存在且，再由第三点，就可的到，并且此时是唯一存在的，拉氏定理得证[10]．

第3章柯西中值定理柯西中值定理比罗尔定理和拉格朗日中值定理更具一般性，故具有更广泛的应用．本文先从罗尔定理和拉格朗日定理出发探究柯西中值定理一般证明方法，接着对其他证明方法作进一步的探究．3.1柯西中值定理概述柯西(Cauchy)中值定理[9]如果函数，在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内至少有一点，使下面等式成立：．该定理也可表述为：设函数，满足：在闭区间上连续；在开区间内可导；和不能同时为；，那么在内至少存在一点，使得成立[15]．其几何意义为：以参数的形式表明，对于给定了两端点的光滑曲线，在曲线上必存在一点，使曲线在该点的切线平行于两端点的连线[3]．3.2柯西中值定理的几种证明方式柯西中值定理的证明方法大多都可从2.2拉格朗日中值定理的证明方法中汲取灵感，把两者放在一起对比思考，将会给我们带来更加深刻地体会．3.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理1．利用原函数法证明柯西中值定理可与2.2.2作差法进行对比，不难发现两者的区别就是用函数去替换．类比作差法中的构造方式，我们可简单构造出满足罗尔中值定理条件的函数，如下：，故存在，使得，又因为，故可将上式改写为即可证得柯西中值定理[15]．2．用常数值结构设辅助函数这种证明方法与用原函数构造法的区别只是常数项的有无，但因为对常数项求导后为零，故并不影响所构造的辅助函数最后的证明．证明要证明在内存在一点，使得．首先，设(为常数)，则，令，则，，即，故而满足罗尔定理的条件，则至少存在一点，使得，即，所以[16]．3.2.2利用反函数证明柯西中值定理根据柯西中值定理中对函数的基本要求，以及闭区间上连续函数的性质．易证得，函数在闭区间上严格单调，不妨设函数严格单调增加．下面给出简单的证明：用最常用的方法，可令，且，根据闭区间上个函数的连续性可知，从而得出：，当时有，由为闭区间内的任意值，可得出在区间上恒成立，故在上严格单调递增．同理在另一种情况下在区间上严格单调递减．接下来对柯西中值定理进行证明，根据反函数存在定理以及反函数的导数存在定理，可令，，则在区间上，函数存在反函数，而且满足在闭区间上连续，在开区间上可导，其导函数为，由上文可得出函数在闭区间上，也是严格单调的，不妨设其严格单调增加．可以考虑定义在闭区间上的复合函数，并且根据上文可知在上满足拉氏定理的条件，即在开区间内存在至少一个，使得：，再根据反函数之间的联系，在开区间内存在一点，使得，此时有：联立上两式即可得出结论[15]．3.2.3利用坐标变换证明柯西中值定理1．利用参数方程法证明柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，即当时，柯西中值定理为拉格朗日中值定理．倘若换一个角度，把，看成平面上某条曲线的参数方程，即可表示为，易知在闭区间(或者)上连续，在开区间(或者)上可导，由拉氏定理可知，曲线上存在一点过该点的曲线斜率等于曲线两端的斜率．设对应于，则由参数形式的求导公式，有，即柯西中值定理[15]．2．利用坐标变换法证明柯西中值定理根据上述参数方程法中的构造方式进行构造：，由柯西中值定理的几何意义可知此参数方程的图像是二维直角坐标系中一条平滑的曲线，令该曲线为并且，分别为曲线两个端点的坐标．由图1所示，现将坐标轴逆时针旋转至直线平行于横坐标轴得到坐标轴，此时曲线在轴上的投影范围为．令两个轴与轴的正向夹角为，．图SEQ图\*ARABIC1坐标变换旋转图重新定义新坐标系下曲线上任意一点坐标为：，其中．根据新坐标从新定义在新坐标系下的参数方程为：，不难看出，在开区间内，和均可导．由图亦可看出该参数方程在的情况下定义区间上满足罗尔定理的条件，故在区间内至少存在一点，有：，，综上，得出：，柯西中值定理得证[15]．将这个坐标变换法与2.2.4中的坐标变换法进行对比，可以看出它们所用到的思路都是一样的．本质上都是将坐标轴旋转至与曲线的两端点连线平行，显然其满足罗尔定理，再通过一系列的变换推导就可得出结论．这种方法可以很直观的看出三种微分中值定理几何意义上的差别与联系．3.2.4利用迭加法证明柯西中值定理考虑到柯西中值定理在下即为拉氏定理，则可仿照2.2.5中证明拉氏定理的迭代法思路，给出柯西中值定理的证明．在闭区间内，设想辅助函数是与一个含待定系数的关于的一次函数的迭加，即．在其中，为待定系数，并且，都满足在闭区间上连续，开区间内可导，恒不为零．此时令，可以得到，为任意实数．从而可考虑引入辅助函数：，其中为任意实数．这时满足罗尔定理的条件．故在开区间内，存在一点，使得，代入上式可得：，又由在开区间上恒成立，通过化简可得，从而柯西中值定理得以证明[17]．3.2.5利用待定系数法证明柯西中值定理相比于上述迭加法中所作的辅助函数，待定系数法则选用更一般的形式，为，其在开区间内一点处的导数具有形式．同时，都满足柯西中值定理的条件．此时考虑使满足罗尔定理条件，从而确定出．令，得，整理可得，其中，可在实数范围内任意取值，将用替换掉后，考虑函数：，其中，为任意实数．此时，其与上述方法同理，在满足罗尔定理的条件下，可轻易证得柯西中值定理，具体的证明过程不再赘述[18]．3.2.6利用行列式法证明柯西中值定理通过2.2.6所展示的行列式法中最后给出的推广，考虑构造行列式：，若，都满足基本条件，恒不为零．则在，时恰恰为零，不难得出函数满足罗尔定理条件，故将函数以第一行展开，可得：，最终展开可得，利用罗尔定理可得，在开区间内存在一点，使得，整理一下：，从而柯西中值定理得证[19]．利用行列式构造的方法还有很多，可以类比2.2.6中二次的行列式进一步构造，但是具体的过程太过复杂，在此就不作详细说明了．3.2.7利用闭区间套定理证明柯西中值定理这种方法与2.2.7同样是利用闭区间套定理来证明，都是不需要构造辅助函数的．用到的还是那些闭区间套的定义、定理、引理．但是因为拉格朗日中值定理毕竟只是柯西中值定理的一种较为特殊的情况，所以需要在2.2.7所用到的引理上作更进一步的扩展．我们可以把2.2.7中的引理2扩展为以下所述的引理3：引理3[15]设函数，在闭区间上连续，且是单射，则存在，且，使．证明设，首先需要证明，当时，．现反向假设，根据2.2.7中的引理2，易得存在，，有，成立．因，故可得，则有，此时可在区间上再一次利用引理2，不难得到有．以此类推，对引理2进行多次重复利用，就可以得到一个闭区间套，并且该闭区间套满足，同时有．根据闭区间套定理，知道可以有存在，使成立．再根据2.2.7中的引理1可得：，与相矛盾，由上述引理3，可知存在，并且有，使得下式成立：．在此基础上重复利用引理3，最后易得闭区间套，并且满足，使得成立．综上，根据闭区间套定理可知存在，使得．最后根据2.2.7中的引理1有：成立，即柯西中值定理成立得证[15]．3.3对其他证明方式的思考达布定理[3]在开区间上连续可导，(1)若满足条件，，则有，使得．(2)现设，，则对介于与之间的数有点介于与之间，且．通过拉格朗日中值定理可以得到有以下命题成立：命题[15]设函数在开区间上可导，对，有(或)，则在上严格单调增加(或减少)．初步了解了以上定理、命题之后，我们开始对柯西中值定理进行具体的证明：证明首先构造函数：，毋庸置疑函数在区间内满足罗尔定理的条件．但是我们可以从另一个角度用达布定理证明在区间内存在一点，使．现假设对一切，，由达布定理易知，只存在两种情况，不是，就是．当时，则根据上述命题易知在开区间内严格单调，又因函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的性质，故函数在闭区间上严格单调递增．所以有这与罗尔定理中的条件矛盾．同理，当时同样可推出矛盾，故有，即成立[20]．上述方法用到了反证法的思想，下面这种方法也是一样的．先给出达布定理的另一种表达形式：达布定理[16]如果函数在闭区间内可导，并且有，不妨设，则对于任何满足的常数，必存在一点，使得．证明设曲线的参数方程为，，则有曲线上某一点处切线的斜率为，现假设曲线在内不存在满足：，即对任意，有(或)，不妨设，可以作函数，则，可得在内为严格单调递增的函数，由在上连续，可知，且不难算出，这与矛盾，故上述假设不成立．所以，至少存在一点，使得．即柯西中值定理成立[16]．以上两种证明方法在本质上是一样的唯一的区别在于前者是直接构造的一个函数去说明矛盾，后者则是利用参数方程的形式引出矛盾存在．第4章总结从上一年十二月份开始到现在四月份结束，我经历了人生中最漫长的五个月．在这五个月中，十二月份我开始选择论文题目，一月份准备相关文献，二、三月份开始具体书写论文，四月份定稿．在这个过程中，从一开始对毕业论文一无所知，到最后对论文的内容和版式有了清晰的思路和规整的排版，我学习和收获了许多．当我确定好论文题目，我就开始寻找相关的参考文献，思考整篇文章的思路．翟老师指点了我们多种查找文献的途径，除了老师提供的那些途径，我与我的同学们也有很多的查找方法上的交流．我选择的是对三种微分中值定理的证明及思考，从古至今这部分的内容都是数学家们热衷讨论的话题，这也让我再次认识到微分中值定理的重要性．文献找好后，我仔细阅读和思考，并开始进行论文的编写．从罗尔定理入手，我叙述了罗尔定理的内容、证明简述和其三种特殊情况．因为罗尔定理较为基础，所以我没有对其作过多的介绍．接着是比较重要的拉格朗日中值定理，撇开简单的介绍，我对其从七个方面进行证明．最后是柯西中值定理，同样在简单的介绍后，我类比拉氏定理的证明，作了七个方面的证明，最后从达布定理入手，又给出了两种证明方法．在论文书写的过程中，我经历了一些困难的过程．在一开始，我的思想具有一定的局限性，我书写的只有柯西中值定理概述和证明方法．之后，在与翟老师和同学们进行思想上的交流后，我决定从三种微分中值定理全面入手，重点突出了三种定理中后两者的证明方法和过程．论文书写的过程中，一些文献中的证明方法给了我很大的启发，最突出的就是用闭区间套定理来证明．同时，一些证明的方法也加入了我自己的思考与想法．就比如每种证明方法中都写有我自己对这种证明方法的思考、第二章与第三章证明之间的相互联系、对柯西中值定理新的证明方