广西玉林市2022-2023学年高二下学期数学期中检测试卷（含答案）

广西玉林市2022-2023学年高二下学期数学期中检测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知两条直线l1：3x−4y+6=0A．2 B．3 C．5 D．102．函数f(A．(1，+∞C．(0，1) 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若aA．39 B．52 C．45 D．724．已知圆心为(−2，3A．(x+2)2C．(x+2)25．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.86．设随机变量X∼B(2，p)，Y∼B(4，p)，若A．23 B．43 C．497．已知直线y=x−1与抛物线C：y2A．12 B．1 C．2 8．设a=e，b=3ln3A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c二、多选题9．点P在圆C1：x2+A．|PQB．|PQC．两个圆心所在的直线斜率为−D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x−8y−25=010．已知(2x−1x)A．n=7 B．展开式中各项系数的和为1C．展开式中第4项的系数为35 D．展开式中含x4项的系数为11．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（）A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公比为12C．a=D．c=12．函数f(x)=ex(1−3x)A．1e B．12 C．2e三、填空题13．已知直线x-y-1=0和圆（x-1）2+y2=1交于A，B两点，则|AB|=．14．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(2<X<6)=0.615．将4个不同的小球a，b，c，d全部放入甲、乙、丙3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，则小球a不放入甲盒子的放法种数为.16．已知双曲线C：x2a2−y2b四、解答题17．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a2+a4（1）求{a（2）设bn=1an18．在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=5（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B−QD−A的平面角的余弦值．19．已知数列{an}满足a1=2（1）求证：数列{1（2）若数列{bn}满足b20．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，s，每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数1010st5（1）在接下来的2天中，设X为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学期望；（2）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求s的最小值.21．已知椭圆C：x2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(22．已知函数f(（1）求函数f(x)（2）求证：f(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】这两条直线之间的距离为d=|6−(−4)|故答案为：A

【分析】利用已知条件结合平行直线求距离公式得出这两条直线之间的距离。2．【答案】C【解析】【解答】函数f(x)=x由f'(x)<0得0<x<1故答案为：C

【分析】利用已知条件结合函数的定义域和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调递减区间。3．【答案】A【解析】【解答】由题可得，a6+a8=6=2故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合韦达定理和等差数列的性质以及等差数列前n项和公式，从而得出等差数列前13项的和。4．【答案】A【解析】【解答】因为圆心为(−2，3)的圆与直线所以该圆的标准方程是(x+2故答案为：A

【分析】利用圆心为(−2，35．【答案】C【解析】【解答】一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p=0.6

【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出明天空气质量为优良的概率。6．【答案】D【解析】【解答】随机变量X∼B(2，p)，∴P(∴Y∼B(4，13故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出p的值，进而得出随机变量Y服从二项分布，再结合二项分布求方差公式得出随机变量Y的方差。7．【答案】C【解析】【解答】由y=x−1y2=2px消去x并整理得：y则有y1+y2=2p，x依题意，ON=3OM，于是则9p2=2p(3p+3故答案为：C

【分析】由y=x−1y2=2px消去x并整理得：y2−2py−2p=0，设A(x1，y1)，B8．【答案】D【解析】【解答】令f(x)所以x∈(0，e)时，f'x∈(e，+∞)时，f'(xa=e=elne=f(e)，因为e<3<e2，所以故答案为：D.

【分析】由a，b，c统一构造同一函数结构f(x9．【答案】A,B,C【解析】【解答】圆C1：x2圆C2：x2+y∴圆心距|又∵P在圆C1上，Q在圆C则|PQ|的最小值为|PQ|min=|CA、B符合题意；两圆圆心所在的直线斜率为kC圆心距|C故答案为：ABC

【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A，因为(2x−1x)n的展开式的二项式系数和为2n对于B，令x=1，则(2x−1对于C，因为(2x−1x)令k=3可得第4项的系数为−2对于D，在C中的通项公式中，令7−32k=4，得k=2，则T3=672故答案为：ABD.

【分析】利用(2x−1x)n的展开式的二项式系数和为2n11．【答案】B,D【解析】【解答】依题意a=2b，b=2c，所以a，a+b+c=50，即4c+2c+c=7c=50，所以BD选项正确.故答案为：BD

【分析】依题意结合等比数列的定义得出a=2b，b=2c和a，a+b+c=50，从而得出a，c的值，进而找出判断正确的选项。12．【答案】C,D【解析】【解答】设g(x)则g'∴x∈(−∞，−2x∈(−23，+∞)∴x=−23时，g(∴g(0)=1>a=h(0)又直线h(x)=−ax+a恒过定点∴g(−1)−h(−1)=4e∴a≥2e，又∴a的取值范围[2故答案为：CD．

【分析】考虑函数部分分离g(x)=ex(13．【答案】2【解析】【解答】圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1，0）圆心到直线的距离d=|所以弦长|AB|=2r=2．故答案为：2．

【分析】根据题意得出半径长和圆心坐标，结合点到直线的距离公式，得出弦长AB的长。14．【答案】4【解析】【解答】由题意得：∵P(X≤2)=1−P(X≥6)−P(2<X<6)=1−0∴2与6关于x=μ对称∴μ=4．故答案为：4

【分析】结合正态分布对应的函数的图象的对称性和对立事件求概率公式，得出答案。15．【答案】24【解析】【解答】分两种情况：（1）当小球a单独放入乙或丙盒子时：先放小球a，有C2再放其余3个小球，分两步：第一步，3个球分两组有C3第二步，把这两组放在其余两个盒子有A2所以C2（2）当小球a不单独放入乙或丙盒子时：先放小球a，有C2再把其余3个球放到3个盒子中，每盒放1个球，有A3所以C2故小球a不放入甲盒子的放法种数为12+12=24.故答案为：24

【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而得出小球a不放入甲盒子的放法种数。16．【答案】3【解析】【解答】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形∠AOF=60°，则|OA|=12c，|AF|=32c．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知|BF|=|AF'|=3e=23±12+162故答案为：3+

【分析】由已知可得|OA|=12c，|AF|=3217．【答案】（1）解：等差数列{an}中，2a3=a2+a4设{an}的公差为d，于是得(7−d)2=(7−2d)(7+3d)，整理得d所以an（2）解：由（1）知，bn所以Sn【解析】【分析】（1）根据题意结合等差中项、等比中项整理列出方程求出公差，从而得出数列{an}的通项公式；

（2）由数列{an}的通项公式得出数列18．【答案】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA=QD，OA=OD，则QO⊥AD，而AD=2，QA=5，故QO=在正方形ABCD中，因为AD=2，故DO=1，故CO=5因为QC=3，故QC2=QO2因为OC∩AD=O，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合（1）中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，−1，0)，故BQ=(−2，1，2)，设平面QBD的法向量n=(x，y，z)则n⋅BQ=0n⋅BD=0故n=(1，1，而平面QAD的法向量为m=(1，0，0)，故cos二面角B−QD−A的平面角为锐角，故其余弦值为23【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；（2）利用向量法直接求解即可.19．【答案】（1）证明：由(an+1−3)⋅(所以1=1又1a1−1=1，所以数列（2）解：由（1）可知，1a所以bn=2n+1a则Tn=2×2Tn由①-②得−=4+4(1−所以Tn【解析】【分析】(1)利用已知条件结合递推关系和等差数列的定义，再结合检验法证出数列{1an−1}是以1为首项，12为公差的等差数列。20．【答案】（1）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率p=1−20随机变量X的可能值为0，1，2，P(X=0)=(所以X的分布列为：X012P144X的数学期望E(（2）解：购进350千克时利润的期望值：350×3×2购进400千克时利润的期望值：400×3×40−s由925>29753−25s6解得，s>16，因s所以s的最小值是17.【解析】【分析】（1）依题意结合古典概型求概率公式和对立事件求概率公式得出1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，从而得出随机变量X的可能值，再结合二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。

（2）利用已知条件结合数学期望的公式得出购进350千克时利润的期望值和购进400千克时利润的期望值，再结合925>29753−25s6，进而得出s的取值范围，再利用s21．【答案】（1）解：依题意得a=2b1即椭圆C的方程为x2（2）解：设直线l：x=ty+1，t≠0，A(ty则x即(t2+4)y2假设在x轴上存在定点M(m，0)化简得2ty即2t⋅−3解得m=4，此时M(∴在x轴上存在定点M(【解析】【分析】（1）利用已知条件结合长轴长和短轴长的定义和关系式，再利用代入法和椭圆的标准方程，进而解方程组得出a，b的值，从而得出椭圆的标准方程。

（2）设直线l：x=ty+1，t≠0，A(ty1+1，y1)，B(ty222．【答案】（1）解：因为f(x)所以f'(1所以函数f(x)的图象在点(即2x