高等代数课件：线性相关与线性无关

向量空间

向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求.

本章从研究向量的线性关系(线性组合，线性相关、无关)出发，然后讨论向量组含最多的线性无关的向量的个数，即引出向量组的秩和极大无关组，进而扩展到向量空间的基、维数、坐标等.最后，应用向量空间的理论研究线性方程组解的结构.

本章特点：概念多，定理多，结论多，证明多目录1线性相关与线性无关23基45向量组的秩线性空间线性方程组解的结构1n维向量的定义与运算2第一节线性相关线性无关线性相关与线性无关设三个坐标轴上的基本单位向量为则任一三维向量可表示为运算：⑴加法:⑵数乘：⑶数量积：向量内积及与模,夹角关系矩阵乘积表示可用作内积定义一、n维向量的定义与运算（一）3维向量三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系（一）3维向量一、n维向量的定义与运算空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应一、n维向量的定义与运算（一）3维向量

任意数域上的

n个有顺序的数

所组成的数组称为n维向量.其中数称为向量的第j个分量(或坐标).定义例如n维实向量n维复向量向量的分量都是实数时称为实向量，分量中有复数时称为复向量.（二）n维向量的定义一、n维向量的定义与运算上全体n维向量的集合，称为n维向量空间（数组空间），记为.

时，维向量没有直观的几何形象．

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

（三）n维向量的实际意义一、n维向量的定义与运算例1例2

n－1次代数多项式系数向量

线性方程组Ax=b其中一、n维向量的定义与运算例3增广矩阵其中第1个方程第2个方程第m个方程未知向量右端向量一、n维向量的定义与运算1.两向量相等设中任意2向量则2.零向量分量都是0的向量称为零向量，记做，即

.3.向量的线性运算1)加法同维则一、n维向量的定义与运算（四）n维向量的运算设中任意2向量2)数乘3)负向量4)减法5)向量线性运算的运算规律设都是n维向量，k,l为实数一、n维向量的定义与运算（四）n维向量的运算4.行向量、列向量、转置行向量列向量转置注意：行、列向量在代数上表示不同的向量，在几何上表示同一个向量5.向量内积1)定义：设有数域中的n维向量与，称为向量与的内积.（四）n维向量的运算一、n维向量的定义与运算2)运算律⑴对称性易见注意：有的书上也记做或

.⑵齐次性⑶分配性四、n维向量的运算一、n维向量的定义与运算⑷非负性⑸不等式证对任意实数t，由性质⑷有则6.向量范数（模，长度）1)定义：任意n维向量的范数定义为：注：此时⑸之不等式可写为四、n维向量的运算一、n维向量的定义与运算2)性质⑴非负性且⑵正齐次性⑶三角不等式证几何解释：三角形两边之和大于第三边（四）n维向量的运算一、n维向量的定义与运算3)夹角设与是n维非零向量，则其夹角定义为4)正交若，则称向量与正交，记做（四）n维向量的运算一、n维向量的定义与运算5)是单位向量非零向量单位化设，单位化向量则有且与同向.（四）n维向量的运算一、n维向量的定义与运算1.线性组合、线性表示定义

设均为中的n维向量，若有一组数，使得则称是的线性组合.称为组合系数.又称可由线性表示.例如⑴设则可由线性表示为。一、n维向量的定义与运算(五)n维向量的线性组合⑵向量组

，则有因此，是和的线性组合.一、n维向量的定义与运算(五)n维向量的线性组合2.

线性表示的矩阵形式，与线性方程组的关系例4设向量组试判断是否可由线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.一、n维向量的定义与运算(五)n维向量的线性组合解

可由线性表示存在一组数使得有解一、n维向量的定义与运算(五)n维向量的线性组合而取特解所以，可由线性表示为

判断数字向量是否可由另一组向量线性表示－－转化为非齐次线性方程组是否有解一、n维向量的定义与运算(五)n维向量的线性组合一、n维向量的定义与运算(六)线性方程组解的向量表示例5

求解齐次线性方程组解一、n维向量的定义与运算(六)线性方程组解的向量表示一、n维向量的定义与运算或参数形式思考：线性方程组通解与特解的形式(六)线性方程组解的向量表示一、n维向量的定义与运算(六)线性方程组解的向量表示或向量

形式非齐次线性方程组AX=β的通解为一、n维向量的定义与运算(六)线性方程组解的向量表示定义⑴若有一组不全为零的数，使得则称向量组线性相关;⑵否则称向量组线性无关;设均为n维向量，（一）线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关“否则”没有一组不全为零的数，使得对任意一组不全为零的数，都有只有当的时候，才有使成立，只有（一）线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关特别地：⑴对单个向量组成的向量组⑵一组同维向量，若包含零向量，则必定线性相关.（一）线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关注意：对任意一组向量，不是线性相关就是线性无关例6设是两两正交的非零向量组，证明该向量组线性无关.设有一组数，使得证把上式两端同时与作内积，有二、线性相关与线性无关（一）线性相关与线性无关的定义因为向量组两两正交,所以所以又因为所以一定有所以向量组线性无关.（一）线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关例9判断n维向量组的线性相关性.设有一组数，使得解二、线性相关与线性无关（一）线性相关与线性无关的定义即所以只有当时上式才成立，所以此向量组线性无关.一般地，称向量组为单位坐标向量组.二、线性相关与线性无关（一）线性相关与线性无关的定义例7判断例1中向量组的线性相关性.解法一由例4知即有而不全为零，所以线性相关.解法二设有一组数，使得（二）通过线性方程组的解判断线性相关性二、线性相关与线性无关即比较上式两端向量的对应分量，得到齐次线性方程组可得一组非零解，所以线性相关.

判断数字向量组线性相关或无关的方法－－齐次线性方程组是否有非零解（一）线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关例8

设向量组线性无关，判断向量组的线性相关性.设有一组数，使得解线性无关二、线性相关与线性无关（二）通过线性方程组的解判断线性相关此方程组只有零解，即所以向量组线性无关.二、线性相关与线性无关（二）通过线性方程组的解判断线性相关二、线性相关与线性无关（二）通过线性方程组的解判断线性相关如果矩阵A的子矩阵A0的各行（列）线性无关，则由A0的这些行（列）扩充得到的A的行（列）线性无关。对于向量而言：短无关，则长无关；长相关，则短相关。若两个非零向量和共线，则存在不全为零的数，使若和不共线，则只有当全为0时，才有若三个非零向量共面，则其中至少有一个向量可由另外两个向量线性表示不妨设存在不全为零的数，使（三）三维向量的几何背景二、线性相关与线性无关若不共面，则任一个向量都不能由另外两个向量线性表示只有当全为0时，才有（三）三维向量的几何背景二、线性相关与线性无关证毕（四）线性相关性判定定理二、线性相关与线性无关定理1

（）线性相关中某个向量可由其余个向量线性表示其中某个向量可以写成它前面的向量的线性组合．（四）线性相关性判定定理二、线性相关与线性无关思考：与书中第36页，定理2.2.1的区别？设线性相关,

则可用线性表示.(2)设线性相关,

则其中任一个可用其余m-1个线性表示.(3)设线性相关,

则其中有一个可用其余m-1个线性表示.(4)设中,有一个不能用其余m-1个线性表示,

则线性无关.……....…(×)………………(×)………………(√)…….…(×)（四）线性相关性判定定理二、线性相关与线性无关(5)设中,任一个都不能用其余m-1个线性表示,

则线性无关.(6)若0可用线性表示,

则线性相关.(7)设是A的列向量组,

齐次线性方程组Ax=0,则

Ax=0有非零解线性相关.Ax=0只有零解线性无关.说明:Ax=0

……………..(√)………………(×)…………..….(√)…………..….(√)说明:此命题为定理1的逆否命题.（四）线性相关性判定定理二、线性相关与线性无关证毕二、线性相关与线性无关（四）线性相关性判定定理定理3：向量组的部分向量线性相关

此向量组线性相关。推论1：含零向量的向量组一定线性相关.推论2：(定理3的逆否命题)

向量组线性无关

任一部分向量组线性无关.

（四）线性相关性判定定理二、线性相关与线性无关(8)设线性相关,

则其中至少有m-1个向量线性相关.

(9)若