《弹性力学》 课件 第7章 空间问题

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第7章空间问题§7.1简单空间问题§7.2空间轴对称问题的基本方程§7.3

空间轴对称问题的基本解法§7.4无限大弹性体作用集中力问题的应力函数法2

（一）问题的提出

设有面积无限大的等厚度弹性层，其密度为ρ，其下面受完全约束，上面受均布压力q

。求弹性层内位移场。以上面为xy面，z轴铅直向下，体力分量为由于对称，则：，，§7.1简单空间问题3

因此，代入位移法控制方程：前两式满足。第三式化为：积分后得：根据边界条件：§7.1简单空间问题4

还需一个方程求解两个未知参数。另外，根据本构方程其他应力分量为零。根据上边界条件：得：代入上一个边界条件：§7.1简单空间问题5

由此：最大位移发生在上边界或写作：此外，水平应力与竖直应力之比为：土力学中，此比例系数为土的侧压力系数。§7.1简单空间问题xyzM（1）扭转过程中，截面绕杆中心轴线发生相对转动，即刚性如图7.1-2所示为一截面面积为a的圆形截面直杆，上下面受一对扭矩M作用，假设:转动；（2）截面轴向位移为零，即无翘曲。位移边界条件：应力边界条件：，，（1）位移场设扭矩M指向截面外法线方向时为正。在截面刚性转动和无翘曲假设条件下，直杆内任一点位移分量可表示为：其中,a为单位杆长两截面处的相对转角，称为扭角。6

§7.1简单空间问题（2）应变场将位移代入空间问题几何方程，得（3）应力场将应变代入本构方程，得（4）平衡方程将应力代入平衡方程，验证得满足平衡方程。7

§7.1简单空间问题由应力边界条件得:令为横截面对圆心的极惯性矩。由此，至此获得圆形截面直杆中应力场为其他应力分量为零，而位移场为（5）确定常数8

§7.1简单空间问题

平面问题是工程实际中最常遇到的问题。但是，也有许多工程实际问题不能简化为平面问题，这时只能按空间问题来求解。从原则上说，弹性力学空间问题可按位移法和应力法求解。但是，对于不同的空间问题，根据不同的具体条件，找出其特有的关系建立方程式，以便于求解，这是非常重要的。这里要讨论的空间轴对称问题就是弹性力学空间问题的一种重要的特殊情况。在弹性力学空间问题中，如果物体的几何形状、约束情况和所受的载荷，都对称于某一轴（例如z轴），也就是说，通过这一轴的任意平面都是对称面，则所有的应力分量、应变分量和位移分量也就对称于这一轴。这种空间问题称为空间轴对称问题。9

§7.2空间轴对称问题的基本方程

本节将给出空间轴对称问题的基本方程和基本解法，重要的是还将对岩土工程中有普遍意义的几个问题给出解答。（一）空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题是一种特殊的空间弹性力学问题。从弹性体的形状上看，可以把空间轴对称问题的弹性体看成是平面图形绕某一轴（取为z轴）旋转而成的回转体。因而，在描述空间轴对称问题的物理量时，用（圆柱）柱坐标（

）比用直角坐标（

）方便得多，这是因为，如果选择弹性体的对称轴为

轴，如下页图所示，则所有的应力分量、应变分量和位移分量将只是

和

的函数，与

无关。这种特殊形状的弹性体——回转体，再受到都对称于

轴的特殊约束和外荷载时，就使得空间轴对称问题有一个根本的特点：过

轴任意平面上的应力和变形都相同。若用10

§7.2空间轴对称问题的基本方程若用

分别表示弹性体内任意点沿r（径向）、

（环向）、

（轴向）三个方向的位移分量，可以想象，为了保证空间轴对称问题的这一根本特点，必有

。若用

表示柱坐标中的应力分量，其中

为径向（

方向）正应力，

为环向（

方向）正应力，

为轴向（

方向）正应力，为作用在垂直于

轴面上而沿

方向的剪应力，

为作用于圆柱面而沿

方向的剪应力，

为作用于径向面而沿

轴方向的剪应力，由对称条件及剪应力互等定理可知，，，。

旋转体和圆柱坐标11

§7.2空间轴对称问题的基本方程至此，空间轴对称问题总共只有四个应力分量需要考虑。相应于上述四个应力分量，空间轴对称问题的应变分量也有四个，它们是

。其中

为径向（

方向）正应变，

为环向（

方向）正应变，

为轴向（

方向）正应变，

为

和

两向剪应变。由对称条件可得

。这样，在空间轴对称问题中，只剩下两个位移分量

，四个应力分量

和四个应变分量总共10个物理量需要考虑。这10个物理量只能是和

的函数，均与

无关。应满足弹性力学的基本方程，即平衡微分方程，几何方程和物理方程。12

§7.2空间轴对称问题的基本方程（1）平衡微分方程如右下图所示，用相距为

的两个圆柱面，互成

角的两个过

轴的铅直面和相距为

的两个水平面，从弹性体中取出一个微单元体（图7-2）。根据空间轴对称问题的特点，体积力在

方向的分量

必为零，在

和

方向的体力分量分别为

和

表示。按照应力的符号规则，将微单元体各面上的应力分量标注于图7-2的

和

中，由于应力分量只是

和

的函数，则此微单元图7-2a13

§7.2空间轴对称问题的基本方程

图7-2圆柱坐标中，微单元体及其各面上的应力圆柱坐标中的微单元体；

微单元体上的应力在

面上的投影；微单元体上的应力在

面上的投影；图7-2图7-214

按照应力的符号规则，将微单元体各面上的应力分量标注于图7.6-2的b和c中，由于应力分量只是r和z的函数，则此微单元§7.2空间轴对称问题的基本方程体在

方向的平衡自动满足，由单元体在

方向的平衡条件

可得：由于

很小，可以认为上式中的

，略去高阶微量，除以，整理后，可得下式中的第一式。同样的，由于单元体在

方向的平衡条件，可得下式中的第二式，于是，空间轴对称问题的两个平衡微分方程为：15

§7.2空间轴对称问题的基本方程在上式中，使用了由微元体对其中心的力矩平衡条件

推得的剪应力互等定律

。（2）几何方程

在（

）平面内的应变分量与位移分量的微分关系与平面极坐标中轴对称问题的几何方程式（

）相同，在（）平面内的几何方程与平面直角坐标系中的式（

）相同，归纳起来略去为零的应变分量，则可把空间轴对称问题的几何方程写为：16

§7.2空间轴对称问题的基本方程（3）物理方程由于圆柱坐标仍是正交坐标，弹性体为均匀各向同性，所以空间轴对称问题的物理方程仍与直角坐标系里的广义胡克定律的形式相同，即：17

§7.2空间轴对称问题的基本方程若以应变分量表示应力分量，则可把物理方程写为：式中为体积应变。（4）边界条件根据空间轴对称问题的特点可知，作用于边界上的外力在

方向的分量

必为零，物体边界外法线与方向的夹角18

§7.2空间轴对称问题的基本方程余弦值

，因而，一般空间问题的第二个边界条件自动满足，所以可以把空间轴对称问题的边界条件写为：其中，

分别为作用在边界上的外力在

和

方向的应力分量，

分别为边界上

的值，同样的，边界上环向（

方向）的位移分量

必为零，因而，在边界上只能使径向（

方向）的位移分量

和轴向（

方向）的位移分量

等于给定的位移，即这是空间轴对称问题的位移边界条件。19

§7.2空间轴对称问题的基本方程在（7.6-1）、（7.6-2）、（7.6-3）或（7.6-4）式中，共包含空间轴对称问题的十个未知函数：它们必须满足上述的十个方程，且在边界条件上满足相应的边界条件，这就是空间轴对称问题的提法。对于空间轴对称问题，如同其他空间弹性力学问题一样，也有两种基本解法，即位移法和应力法，其基本思想也相同，这里根据空间轴对称问题的特点，仅对这两种解法予以简述。

（1）位移法当用位移法求解空间轴对称问题时，关键在于由位移函数

求出的应力分量要满足平衡方程。20

§7.3空间轴对称问题的基本解法将几何方程式代入物理方程式，将应力分量用位移分量

表示为：再将上式代入空间轴对称问题的平衡微分方程式，即可得到利用位移分量

表示的平衡微分方程为：21

§7.3空间轴对称问题的基本解法

将上式代入位移法的基本方程，可得位移函数

所应满足的条件为：这就是说，

应为双调和函数。由关系可得用位移函数

表示的应力分量为：22

§7.3空间轴对称问题的基本解法至于应变分量，当求得位移分量

或求得应力分量

后，或者通过几何方程式，或者通过物理方程式均可求得

。于是可见，对于空间轴对称问题，只须找到恰当的双调和函数

，由位移分量或由应力分量能够满足位移边界条件或应力边界条件。即可得到问题的正确解答。

23

§7.3空间轴对称问题的基本解法（2）应力法按应力法求解空间轴对称问题时，基本未知函数是四个应力分量

、

。由于平衡微分方程本身就是以应力分量为未知函数的，所以平衡微分方程是按应力法求解空间轴对称问题的基本方程中的两个方程。其余的基本方程就是用应力分量表示的空间轴对称问题的相容方程。利用圆柱坐标与直角坐标的关系：24

§7.3空间轴对称问题的基本解法和空间轴对称问题的对称性，采用坐标变换法，可以得到空间轴对称问题的相容方程为：当不计体力时，空间轴对称问题的平衡微分方程和相容方程分别简化为：25

§7.3空间轴对称问题的基本解法其中现在，引用一个应力函数

，它与应力分量之间的关系为：26

§7.3空间轴对称问题的基本解法将上式代入微分方程式中的第一个方程，可知该方程式满足的；代入微分方程式中的第二个方程，可知这五个方程共同要求是，即：27

§7.3空间轴对称问题的基本解法这就是说，引用的应力函数

必须是双调和函数。根据以上所述，可把用应力法求解空间轴对称问题的提法归结尾：在不计体力时，寻求称为双调和函数的应力函数

在边界上满足应力边界条件，对复连通域还需满足位移单值条件。显然，按应力求解，只适用于应力边值问题。

当已求得空间轴对称问题的应力函数

的各应力分量

、

后，通过物理方程式可求得应变分量

；再由几何方程式经积分可得位移分量

和

。由于应力分量和应变分量均由应力函数表示，位移分量

、

亦由应力函数

表示。下面给出由应力函数

计算

、

的公式。28

§7.3空间轴对称问题的基本解法由几何方程式的第二式和本构方程式知

将应力函数表达的应力分量代入上式，得

此即在已知

时取径向位移分量

的公式。再由物理方程式的第三式及几何方程式中

的表示式，得利用应力函数

与应力分量之间的关系式得29

§7.3空间轴对称问题的基本解法因而，式中，为

的待定函数。为了确定

，可将几何方程式的第四式代入物理方程式的第四式，得将物理方程式中的

和式中的

代入上式，可得式中，

为

的待定函数。比较

、

二式可知，

和

1

必相等且等于一常数，此常数代表整个弹性体沿轴方向的刚体动，在考察应力和变形时，可略去此常数。这样，由式30

§7.3空间轴对称问题的基本解法

和

可得应力函数

表示位移分量

、的公式为既然满足边界条件的柱坐标双调和函数就是空间轴对称问题的解，现在的问题是：什么样的函数

满足柱坐标双调和函数和方程对这个问题的研究表明，下面按坐标幂次排列的一些函数都是柱坐标的双调和函数。31

§7.3空间轴对称问题的基本解法六次幂：五次幂：四次幂：三次幂：二次幂：一次幂：32

§7.3空间轴对称问题的基本解法零次幂：负一次幂：负二次幂：负三次幂：等以上这些幂函数的任意线性组合也是空间轴对称问题的双调和函数。

利用这些幂函数，可以求得一些空间轴对称问题的解答。

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§7.3空间轴对称问题的基本解法无限大弹性体内作用一集中力

的问题。如图7-4所示，有一集中力

沿

轴方向作用无限大弹性体内一点，弹性体的弹性模量为

，泊松比为

，试求弹性体内的应力分量、应变分量和位移分量。图7-4无限大弹性体内作用集中力34

§7.4无限大弹性体作用集中力问题的应力函数法解：此问题为无限空间的轴对称问题，取此问题的