《弹性力学》 课件 第5章 弹性力学的一般原理

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第5章弹性力学问题的一般原理§5.1基本方程§5.2边界条件§5.3位移法§5.4应力法§5.5解的唯一性§5.6叠加原理§5.7圣维南原理§5.8应变能定理§5.9功的互等定理§5.10最小变形能定理2

（一）平衡方程§5.1基本方程（5.1-1）3

（二）几何方程§5.1基本方程（5.1-2）xyOPABuv4

（二）几何方程-应变协调方程§5.1基本方程（5.1-3）5

（三）本构方程Constitutiveequations(homogeneousisotropic)

§5.1基本方程（5.1-4）（5.1-5）6

§5.1基本方程3个平衡方程6个几何相容方程6个本构方程}15个独立方程15个未知量：问题：解决：需要找到相应的边界条件，才能解出符合实际的解。3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量15个方程解15个未知量有无数组解7

§5.2边界条件（一）基本概念S表示边界,：位移边界，：应力边界。应力边界条件：所有面力边界条件均已知。位移边界条件：所有位移边界条件均已知。混合边界条件：部分面力边界和部分位移边界条件已知。8

（二）应力边界条件§5.2边界条件物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力的已知条件，即为应力边界条件。

在弹性体全部边界条件上已知面力边界的单位法向量为n=9

（二）应力边界条件§5.2边界条件f平面问题应力边界条件10

（二）应力边界条件-示例§5.2边界条件两端受拉应力平板：上边界：边界条件写作：11

§5.2边界条件下边界：左边界：右边界：（二）应力边界条件-示例12

（三）位移边界条件§5.2边界条件在弹性体全部边界上已知位移，边界条件为：13

（三）位移边界条件§5.2边界条件径向位移为零，即：位移控制加载侧限压缩试验中土样在周边边界：上述轴对称问题转换为一个平面应变问题在上边界：竖向位移为，即在下边界：竖向位移为零，即：在对称轴上：径向位移为零，即：14

（四）混合边界条件§5.2边界条件xyOqf15

（四）示例§5.2边界条件无限长坝体上边界为应力边界条件：下边界为位移边界条件：竖向位移为零，即：左边界为应力边界条件：右边界为应力边界条件：16

（四）示例§5.2边界条件xyahhq(1)(2)(4)(3)17

（四）示例§5.2边界条件图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。由应力边界条件公式AB边界：（1）AC边界：（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴同时满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用18

（四）示例§5.2边界条件上、下边界左边界19

§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题

弹性力学问题的求解方法：(a)位移法；(b)应力法。

位移法：取位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。

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位移法求解弹性力学问题的基本步骤

①利用几何方程用位移表示应变

②代入本构方程，得到用位移表示的应力分量

③代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式④利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量

⑤代入几何方程，求出应变分量

⑥代入本构方程，求出应力分量。

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§5.3位移法弹性体的本构方程表达为：（一）按位移求解弹性力学问题

几何方程：将几何方程代入本构方程：21

§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题

将方程代入平衡方程：平衡方程：以平衡方程第一式为例：22

§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题

化简得：同理，其他方向平衡方程可化为：即：23

若忽略体力，可得拉梅-纳维（Lame-Navier）方程:§5.3位移法（一）按位移求解弹性力学问题

求得位移分量、、后，将其代入几何方程即可求得应变分量，再将应变分量代入本构方程即可求得应力分量，从而使问题得解。24

§5.3位移法如右图所示杆件（长度远大于其他方向尺寸），在y方向上端固定，下端自由，受自重体力，的作用。试用位移法求解此问题。解：将问题视为一维问题求解，自动满足泊松比积分可得：y方向应变为：（二）示例1

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§5.3位移法（二）示例1

根据本构方程，应力为上下边界条件为：由第一个边界条件得：由第二个边界条件得：26

§5.3位移法如图所示为一岩土立方体试件放在同样大小的刚性盒上，上面盖有刚性盖，加均匀压力，设立方体试件与盒壁间无摩擦力，试求：（1）盒内侧面所受的压应力（2）岩土试件的体积应变解：建立坐标系如图所示。根据对称性，可设位移分量为:（二）示例2

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§5.3位移法代入控制方程得积分，得其中、为积分常数。为了确定、，应写出边界条件。下表面：上表面：（二）示例2

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§5.3位移法根据式由b式，得：最终：（二）示例2

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§5.3位移法代入位移，得：盒内侧壁面所受的压应力：物体的体积应变为：（二）示例2

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平衡微分方程：3个方程方程，6个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从几何方程、物理方程建立补充方程。（一）变形协调方程-相容方程§5.4应力法（一）变形协调方程-相容方程§5.4应力法以协调方程第二式为例将本构方程代入：（5.4-1）（5.4-2）其中，利用平衡方程（5.4-3）（5.4-4）（一）变形协调方程-相容方程§5.4应力法将5.4-3和5.4-4代入5.4-2：（5.4-5）三个方程相加得：同样，由协调方程第一、三式可得相应表达式，（一）变形协调方程-相容方程§5.4应力法可得应力法控制方程：贝尔特拉米-米歇尔（Beltrami-Mitchell）方程不计体力时，（5.4-8）34

（二）基本思路§5.4应力法

①利用广义胡克定律，得到用应力分量表示的协调条件；

②将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件；

③利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量；

④利用广义胡克定律，求各应变分量；

⑤代入几何方程，求位移变分量；应力法求解弹性力学问题的基本过程35

（三）示例§5.4应力法设有如图5.4-1所示柱体，长度为l

，截面面积为A，两端受集中力F作用，柱体表面为自由表面。求其应力场与位移场。解：（1）确定体力与面力选取坐标系，如图所示。两端、有外力作用，其合力为F。不计体力。36

（三）示例§5.4应力法（2）写出边界条件1）柱体侧面，法向量为即：2）柱体两端3）控制方程根据题意，可化简为：对上式进行积分得：

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（三）示例§5.4应力法4）应力场定解根据边界条件，可得：即5）求解应变将应力代入本构方程，并注意

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（三）示例§5.4应力法根据几何方程，对应变进行积分，并假设无刚体位移，可得：6）求解位移7）校核将上述结果分别代入平衡方程、协调方程、边界条件，均能满足。39

§5.5解的唯一性问题：以应力边界条件为例，设有一弹性体，所受体力为，边界上所受面力为，边界的单位法向量为，求解该弹性体应力分布。设该弹性力学问题有两组解答，应力分量分别为和。根据弹性力学原理，两组应力应分别满足平衡方程和边界条件，于是可得：上式中，与分别为体力和面力分量。（5.5-1）（5.5-2）40

将上述两组方程分布对应相减，可得§5.5解的唯一性（5.5-3）令则对应于一个弹性体在一个无体力且无面力作用条件下应力分量。根据弹性力学假设，在无体力且无面力作用下，弹性体内应力为零。即：（5.5-5）

因此，两组解答是一致的。换言之，弹性力学问题解是唯一的。41

§5.6叠加原理问题：以应力边界条件为例，设有一弹性体，若施加体力、面力，弹性体内应力为，若施加体力、面力，弹性体内应力为。求证施加体力、面力后弹性体应力分布，边界的单位法向量为。根据弹性力学原理，两组应力应分别满足平衡方程和边界条件，于是可得：（5.6-1）（5.6-2）42

§5.6叠加原理将上述两组方程分别对应相加，可得（5.6-3）（5.6-4）因此，

对应于一个弹性体在体力、面力作用条件下应力。§5.7圣维南原理（局部影响原理）在求解弹性力学问题时，存在的困难应力分量、应变分量、位移分量可完全满足基本方程，但边界条件要得到完全满足很难。在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受的面力的合力，而这个面力的分布方式并不明确，无从考虑这部分边界上的应力边界条件。（一）问题的提出PPP“…thedifferencebetweentheeffectsoftwodifferentbutstaticallyequivalentloadsbecomesverysmallatsufficientlylargedistancesfromload.”A.J.C.B.Saint-Venant,1855,MemoiresurlaTorsiondesPrismes,Mem.DiversSavants,14,pp.233-560当离作用位置足够远时，两个静力平衡但不同的力的作用效果差别很小。44

§5.7圣维南原理（二）静力等效概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。45

圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，分布于弹性体上的一小块面积内的载荷所引起的物体中的应力，在距离载荷作用区稍远的地方，基本上只与载荷的合力和合力矩有关，载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。§5.7圣维南原理（三）圣维南原理46

§5.7圣维南原理（四）圣维南原理主要作用（1）对复杂的力边界（次要边界，如集中力、集中力偶），用静力等效的分布面力代替。（2）有些位移边界（次要边界）不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：（1）必须满足静力等效条件；（2）只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界47

§5.7圣维南原理（五）示例如图所示设悬臂梁自由端有集中力F作用，梁高为2h，厚度为，跨度为l

。梁自由端无轴向应力，顶部和底部没有荷载作用，写出边界条件。48

§5.7圣维南原理（五）示例主要边界上（即上下表面），严格满足边界条件：次要边界上（左侧），根据圣维南原理，主矢量相同，主矩相同即可，即：

因此，该问题的边界条件如：49

§5.7圣维南原理（五）示例矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。解：左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有50

§5.7圣维南原理（五）示例上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！51

§5.8应变能定理如弹性体处于平衡状态，由于弹性位移为

、

、

，则外力所作的功为:由式式（5.8-1）中的第二个积分可写为（5.8-1）（5.8-3）52

利用奥斯特洛-格拉斯基公式将式（5.8-3）中的面积分改为体积分，可得：§5.8应变能定理（5.8-4）53

§5.8应变能定理（5.8-7）（5.8-5）（5.8-8）（5.8-6）将上式代入式（5.8-1），则由平衡方程知，上式中第一个体积分等于零，于是得根据式得54

§5.9功的互等定理设在弹性体上作用着两个外力系（两个表面力和体积力系），产生两个应力、形变和弹性位移系，形成两个状态。（一）问题的提出（1）第一状态表面力和体积力为应力分量为弹性位移为应变分量为（5.9-1）55

§5.9功的互等定理（一）问题的提出（2）第二状态表面力和体积力为应力分量为弹性位移为应变分量为（5.9-2）56

§5.9功的互等定理（二）证明第一状态的力系，包括惯性力，在第二状态的相应的弹性位移上所作的功：（5.9-3）根据格林公式，上式中面积分可以写成体积分:（5.9-4）57

§5.9功的互等定理将（5.9-4）式代入（5.9-3），得（5.9-5）根据平衡方程，上式中第一个体积分等于零，于是得（5.9-6）58

§5.9功的互等定理类似地，第二状态的力系，包括惯性力，在第一状态的相应位移上所作的功为：（5.9-7）同以前一样地进行运算，得（5.9-8）利用应力与形变的关系式（5.9-9）（5.9-10）可得59

§5.9功的互等定理（三）示例例：如图a，一等截面杆受两个大小相等、方向相反的压力p。如要求这两力在杆内产生的应力，这是一复杂的问题，但如我们所要求的不是应力而是杆的总伸长，则这个问题立刻可用互等定理来解答。第一状态的力系在第二状态的相应的弹性位移上所作的功，等于第二状态的力系在第一状态的相应的弹性位移上所作的功。这是功的互等定理。60

§5.9功的互等定理为此，我们假设第二状态，同一杆受二力Q作用，使杆简单中心受拉（图b），横向收缩为，其中是泊松比，是横截面面积。根据功的互等定理由于二力所产生的杆的伸长为可见，与截面的形状无关。61

§5.10最小应变能定理在没有体积力情况下，一弹性物体实际发生的弹性位移为u，v，w，满足平衡方程:（5.10-1）（5.10-2）边界条件:其中，，是已知函数。（一）问题的提出62

我们假想有弹性位移，，迭加于上述位移，也就是