高考备考资料之数学人教A版全国用课件41任意角弧度制及任意角的三角函数

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数第四章三角函数、解三角形基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内

绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的

；②分类：角按旋转方向分为

、

和

.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝

.(3)象限角：使角的顶点与

重合，角的始边与

重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.知识梳理一条射线图形正角负角零角原点x轴的非负半轴{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}2.弧度制(1)定义：把长度等于

长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个

，负角的弧度数是一个

，零角的弧度数是

.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝

rad,1°＝

rad，1rad＝

.(3)扇形的弧长公式：l＝

，扇形的面积公式：S＝

＝

.半径正数负数0π|α|·r3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

(x≠0).三个三角函数的性质如下表：yx三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα___＋＋－－cosα___＋－－＋tanα

___________________＋－＋－RR4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段

为正弦线；有向线段

为余弦线；有向线段___为正切线MPOMAT几何画板展示1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(

)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(

)(3)不相等的角终边一定不相同.(

)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(

)基础自测×√×√12345678题组二教材改编解析2.[P10A组T7]角－225°＝________弧度，这个角在第____象限.3.[P15T2]设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝_____.二答案4.[P10A组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.12345678解析答案题组三易错自纠5.(2018·秦皇岛模拟)下列与

的终边相同的角的表达式中正确的是

A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋

(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋

(k∈Z)√123456786.集合

中的角所表示的范围(阴影部分)是解析答案√1234567812345678解析7.已知角α(－π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是

，则sinα＝______.答案12345678解析8.(2018·济宁模拟)函数y＝

的定义域为_____________________.答案1234567解析∵2cosx－1≥0，由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，8几何画板展示题型分类深度剖析A.M＝N

B.M⊆NC.N⊆M

D.M∩N＝∅题型一角及其表示自主演练答案√解析因此必有M⊆N，故选B.2.若角α是第二象限角，则

是A.第一象限角

B.第二象限角C.第一或第三象限角

D.第二或第四象限角解析解析∵α是第二象限角，答案√3.(2018·宁夏质检)终边在直线y＝

x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为____________________.解析答案(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.思维升华典例

(1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是A.2 B.1 C. D.3解析题型二弧度制师生共研解析设扇形的半径为R，则弧长l＝4－2R，∴扇形面积S＝

lR＝R(2－R)＝－R2＋2R＝－(R－1)2＋1，当R＝1时，S最大，此时l＝2，扇形圆心角为2弧度.答案√(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是____.解析

设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，解析答案应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.思维升华跟踪训练

(1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为解析答案√解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，作OM⊥AB，垂足为M，(2)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________.S1＝S2解析答案解析

设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则

＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝S2恒成立.命题点1三角函数定义的应用典例(1)(2018·山东重点中学模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝

，则m的值为解析题型三三角函数的概念及应用多维探究答案√A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角答案√解析解析命题点2三角函数线的应用典例

函数y＝lg(2sinx－1)＋

的定义域为_______________________.答案如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.思维升华跟踪训练(1)(2017·济南模拟)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限解析答案解析∵tanα<0，cosα<0，∴α在第二象限.√(2)(2017·石家庄模拟)若

，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是A.sinα<tanα<cosα

B.cosα<sinα<tanαC.sinα<cosα<tanα

D.tanα<sinα<cosα答案√解析解析如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sinα<cosα<tanα.典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，

的坐标为_________________.数形结合思想在三角函数中的应用思想方法思想方法指导思想方法指导在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集.(2)(2017·合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为____________________.答案解析(2－sin2,1－cos2)几何画板展示几何画板展示解析(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧

＝2，即圆心角∠PCA＝2，设点P(xP，yP)，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，(2)因为3－4sin2x＞0，利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，课时作业1.角－870°的终边所在的象限是A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限基础保分练12345678910111213141516解析

由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限.解析答案√答案12345678910111213141516解析√3.(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝

，则m等于A.－3 B.3 C. D.±3答案12345678910111213141516√解析4.(2018·广州质检)点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为解析答案12345678910111213141516解析

由题意得Q(2cos(－2010°)，2sin(－2010°))，√5.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为A.2 B.4 C.6 D.8解析答案12345678910111213141516√解析设扇形的半径为R，∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.解析答案12345678910111213141516√解析123456789101112131415167.(2017·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在答案√解析∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0.8.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是A.1 B.2

C.3

D.4解析答案√12345678910111213141516解析举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；12345678910111213141516当cosθ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确.解析答案123456789101112131415169.(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是角α终边上的一点，则2sinα＋cosα＝______.10.已知扇形的圆心角为

，面积为

，则扇形的弧长等于_____.解析

设扇形半径为r，弧长为l，解析12345678910111213141516答案11.函数y＝

的定义域为________________________.解析利用三角函数线(如图)，解析12345678910111213141516答案12.满足cosα≤

的角α的集合为________________________________.12345678910111213141516解析答案连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，技能提升练答案12345678910111213141516解析13.已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是A.若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβB.若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβC.若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβD.若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ√解析如图，当α在第