弹性力学 课件 第9章-等截面直杆的扭转

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12等截面直杆的扭转扭转问题中的应力和位移01扭转问题的薄膜比拟法02椭圆截面杆的扭转03矩形截面杆的扭转04薄壁杆的扭转05扭转问题中的应力和位移01Polynomialsolution问题的提出：（1）等截面直杆，截面形状可以任意；（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；求：杆件内的应力与位移？

1.扭转应力函数求解方法：按应力求解；半逆解法（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力

；材料力学结果：（1）（∵自由扭转）（2）侧表面：扭转问题的未知量：——

由材料力学中某些结果出发，求解。扭转问题的基本方程平衡方程：考虑扭转问题的应力、体力特点：（a）——扭转问题的平衡方程代入平衡方程，得：考虑相容方程：扭转问题应力函数应满足的相容方程代入边界条件：（1）侧面：（2）端面：（1）侧表面：0000000000

（1）侧表面：0000000000表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数

Φ

应取常数。对单连体（实心杆）可取：对于多连体（空心杆）问题，Φ在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取Φs=0，而其余边界上则取不同的常数，如：Ci——由位移单值条件确定。（2）上端面：00000000由圣维南原理转化为：（a）（b）（c）求解(a)式，有：同理，对式（b），应有：对式（c）：yCD分部积分，得：yCD同理，第二部分有：将其代入式（e）：所以：结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：泛定方程：定解条件：应力分量：——应力函数法由物理方程，得：代入几何方程，有（f）

2.扭转的位移与变形积分前三式，有：代入几何方程后三式，有：只是x,y的函数f1和

f2都是z的一次函数

f2是

x

的一次函数f1是

y

的一次函数又由：得：从中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、

x、

y、

z

和以前相同，代表刚体位移。若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有将其用极坐标表示：由将位移分量代入上式，有：由此可见：对每个横截面（z=常数）它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度

=Kz。K

——单位长度杆件的扭转角

。将其代入：有：将两式相减，得：将其对照式：可见：实际问题中，K可通过实验测得。小结：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解Φ（x，y）——扭转应力函数应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本方程——应力函数法应力的确定K

——单位长度杆件的扭转角3.扭转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移扭转问题的薄膜比拟法02Calculationofdisplacementcomponents1.薄膜比拟概念比拟的概念：如果两个物理现象，具有以下相似点：（1）泛定方程；（2）定解条件；

则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。扭转问题的薄膜比拟：——由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均匀压力下的垂度z

，与等截面直杆扭转问题中的应力函数Φ，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。因此，可用求薄膜垂度z

变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。——扭转问题的薄膜比拟方法。——为扭转问题提供了一种实验方法

设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z。有关薄膜假定：

不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力FT

（单位宽度的拉力）作用。

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，ab边上拉力：ab边上拉力在

z轴上投影：cd边上拉力：cd边上拉力在

z轴上投影：ad边上拉力：ab边上拉力在

z轴上投影：bc边上拉力：bc边上拉力在

z轴上投影：2.薄膜比拟方法在

z

方向上外力：两边同除以dxdy，整理得：或：边界条件：

式

和

变为：（a）由平衡条件：表9.1薄膜垂度函数与扭杆应力函数对照表

扭杆应力函数薄膜垂度函数满足的微分方程

（相容方程）也可变形为：边界条件

（侧面边界条件）

（薄膜边界条件）（端面边界条件）构造z的双重积分V表示薄膜与底面形成几何体的体积

当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：与决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：（9-12）3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系薄膜与边界平面间的体积为：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式：得到：（d）

或扭矩M与薄膜体积的关系截面剪应力与薄膜斜率的关系

由可得：其中：表示薄膜垂度z

沿y方向的斜率。同理，有得结论：当薄膜受均布压力q作用时，使得：

由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：

(1)该扭杆的应力函数

，等于该薄膜的垂度z。(2)该扭杆所受的扭矩M，等于该薄膜发生垂度后形成体积的2倍，即2V。(3)该扭杆横截面上某一点处的切应力(沿x方向)，等于薄膜上对应点处的沿y方向上斜率

，而沿方向的切应力

，等于薄膜上对应点处沿x方向的斜率的相反数

。则得：（1）（2）（3）椭圆截面杆的扭转03SimplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloadsxyOab1.问题的描述椭圆截面直杆：长半轴为a，短半轴为b，受扭矩M

作用。求：杆中的应力与位移。2.问题的求解求应力函数Φ根据：及椭圆截面方程：可假设：（a）（b）式中：m为待定常数。将其代入方程：得到：（c）利用方程：（c）利用方程：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）xyOab（e）（c）将其代入式（e）,得：（f）至此，Φ

满足所有的条件：求剪应力（1）剪应力分量：（2）合剪应力：xyOab求剪应力（1）剪应力分量：（2）合剪应力：（3）最大、最小剪应力：对上式求极值，当

当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。xyOab求杆的形变与位移xyOabABCD由得到：——杆件单位长度的扭转角单位长度的扭转角位移分量由可求得：（f）xyOabABCD比较两式，得：对其分别积分，得：式中：w0为常数，代表刚体位移。若不计刚体位移，则有：表明：（1）扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。（2）曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线，其渐近线为x、y轴。（3）仅当a=b时（圆截面杆），才有w=0，横截面保持平面。矩形截面杆的扭转04WedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressureyxOAa/2a/21.问题：图示矩形截面杆：a、b、M

（1）

（2）两种情形：a>>b；求：杆的应力与位移。2.问题的求解（1）a>>b情形：——狭长矩形一般情形；求应力函数Φ∵a>>b，由薄膜比拟可以推断，应力函数Φ

绝大部分截面几乎不随x变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。∴可以近似地取：而：变为：对上式积分，有：利用边界条件：可求得：（a）利用式：积分求得：（b）（c）求剪应力（1）剪应力分量：（2）最大剪应力：yxOAa/2a/2杆件的变形单位长度扭转角：由式：此时应力函数Φ

可表示为：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求应力函数Φ基本方程与边界条件：此时应力函数Φ

为一般函数：求解思路：对狭长矩形结果，进行修正。将Φ分解成两部分，即：其中：Φ

1为狭长矩形的应力函数，即：（e）（f）（g）yxOAa/2a/2（g）调整函数F，使其满足边界条件：将式（g）代入方程：得到：因为：∴有：（h）表明：F

应为一调和函数。原问题转化为：（i）

由问题的对称性，F应为x、y的偶函数。满足上述条件的函数只能是：（j）yxOAa/2a/2现在放松条件a>>b,应力函数增加一个F,如将式（j）代入式（i）第二式，得：原问题转化为：（i）满足上述条件的函数只能是：（j）将上式右边为级数，并比较两边系数，有yxOAa/2a/2代入函数F，有最后确定应力函数

为：（k）yxOAa/2a/2求最大剪应力：

由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x=0,y=

b/2）,其大小为：（l）单位长度扭转角K：应用式：yxOAa/2a/2（m）代入式（l）,得最大剪应力公式：（n）将上述两公式表示成：式中：、1仅与a/b

有关，可列表查得。yxOAa/2a/2系数、1表：a/b

1a/b

11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面杆（a=b）翘曲后截面变形的等高线如图：实线表示向上翘曲（凸）；虚线表示向下翘曲（凹）。薄壁杆的扭转05Seriessolution1.开口薄壁杆件扭转分类：（1）开口薄壁杆件；（2）闭口薄壁杆件。——仅讨论其自由扭转。假定：（1）由于杆件壁厚b很薄，可近似视其为狭长矩形的组合；（2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），

i代表该矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有扭转剪应力与变形：

设ai、bi

分别为扭杆横截面的第i个狭长矩形的长度和宽度，Mi为为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），

i

代表该矩形长边中点附近的剪应力，K

代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有（a）（b）由式（b）得：（c）该矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角：整个横截面上的扭矩为：（d）比较式（c）与式（d），有：将上式代回式（a）（b），有：

由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为：

说明：（1）式

给出的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。——应力集中。（2）连接处应力随连接圆角的半径

而变化，图中给出胡斯（J.H.Huth）用差分法计算得到的结果。2.闭口薄壁杆件扭转扭转剪应力：——由薄膜比拟方法分析。方法说明：

在薄壁杆横截面的外边界上张一薄膜，使得薄膜在外边界上的垂度为零；