专题2.9 函数的零点（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数专题2.9函数的零点1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．考点一零点所在区间判断考点二判断零点的个数考点三根据零点求的个数参数考点四根据零点的分布求参数1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．第一部分核心典例题型一零点所在区间判断1．方程的根所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，与在上均为增函数，在上单调递增；对于A，，当时，，A错误；对于B，，，即，，使得，B正确；对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.故选：B.2．函数的一个零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，又，，根据零点存在性定理及函数的单调性可得函数在内有零点，故选：B.3．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，因为，，所以在零点在区间，故选：A．题型二判断零点的个数4．设函数，则函数的零点的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】函数的图象如下图所示：

令，则函数的零点满足，即，所以､､，当时，则，结合函数的图象可得的根有3个；当时，则，结合函数的图象可得的根有1个；当时，则，结合函数的图象可得的根有0个；综上可得，函数的零点的个数是个.故选：C.5．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【详解】首先由定义知道，又由的定义域知道，所以有.然后在同一直角坐标系中先分别画出和的图象，如下图所示：

设方程的三个根从大到小依次排列为，则由图可知.现在在同一直角坐标系中先分别画出，，，的图象如下图：

由图可知分别与，，的图象分别交于一共七个点，所以方程有7个根，则函数的零点个数为7.故选：D.6．已知函数，则方程的根的个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【详解】当时，，当时，，当时，，根据函数的解析式特征，可知，由，所以函数在同一直角坐标系内的图象如下图：方程的根的个数就是这两个函数图象交点的个数，通过图象可以判断只有8个交点，故选：B

题型三根据零点求的个数参数7．已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题知，函数，作出的图象，利用数形结合思想可知：

当时，与有两个交点.故选：B.8．函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】先作出在上的图象，根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，同理得到上的图象，如图：

函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点，由图可知，故.故选：A．9．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】时，，函数在上单调递减，，令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．故选：D．题型四根据零点的分布求参数10．已知方程有两个不同的解，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】

由于，即，在同一坐标系下做出函数及的图像，如图所示：由图知在上是减函数，故，由图知，所以，即，化简得，即，故选：D.11．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，设则，令，故在递增，在递减，.故选：A.12．函数，若互不相同，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】不妨设，作出函数的图象，如图：由图可知，，，，因为，所以，所以，所以，所以，所以.因为二次函数的对称轴为，因为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：C第二部分课堂达标一、单选题1．函数的一个零点在内，另一个零点在（

）内.A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的一个零点在内，所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内.故选：C.2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】要使方程有两个不相等的实数根，只需满足，解得.故选：A.3．已知方程的解在内，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【详解】令函数，显然函数在上单调递增，而，，因此函数的零点，所以方程的解在内，即.故选：C4．关于的函数的两个零点为，且，则＝（）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意得是方程的两不等实根，所以，，，所以，即，又，所以.故选：A5．已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则可转化为与只有1个交点，当时，，故恒成立，故在上单调递增，当时，，故恒成立，故在上单调递增，又，画出的图象如下：

要想与只有1个交点，只需，故实数a的取值范围是.故选：A6．若方程有两个不相等的正实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，依题意，方程有两个不相等的正实数解，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：C7．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.8．已知函数，且满足对任意的，总有，的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为当时，，故在上的图象具有局部周期性，则在上的图象如图所示：

设，若要使函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对，则函数与的图象恰有3个交点，在同一直角坐标系中画出与的图象，如图，

由图象可得，若使两函数的图象恰有3个交点，则且满足，，即，，所以，解得，故选：C二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．函数的零点是，B．方程有两个解C．函数的图象关于对称D．已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要的次数为8次【答案】BCD【详解】对A，函数的零点是，，故A错误；对B，与的图象有两个交点，故方程有两个解，故B正确；

对C，函数互为反函数，图象关于对称，故C正确；对D，由二分法的步骤可得：第1次：取区间中点值，精度为1；第2次：取或区间中点值，精度为；第3次：精度为；第4次：精度为；第5次：精度为；第6次：精度为；第7次：精度为；第8次：精度为；故至少要8次，故D正确；故选：BCD10．已知函数，则下列命题中，正确的有（

）A．函数的值域为；B．函数的单调增区间为；C．方程有两个不同的实数解；D．函数的图象关于直线对称．【答案】BCD【详解】A选项，因为，故，故函数的值域为，A错误；B选项，因为在R上单调递增，故的单调递增区间为的单调递增区间，因为的单调递增区间为，所以函数的单调增区间为，B正确；C选项，令，即，所以，解得，故方程有两个不同的实数解，C正确；D选项，关于对称，故的图象关于对称，D正确.故选：BCD三、填空题11．已知函数则函数的所有零点构成的集合为．【答案】【详解】函数的零点，即方程的所有根，令，根据函数，方程的解是，则方程的根，即为方程的根，当时，，由，，当时，，由，，综上，函数所有零点构成的集合是.故答案为：.12．若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是.【答案】【详解】令，可得，即，由函数在区间上存在零点，即方程在区间上有解，设，可得，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题13．已知函数是偶函数.当时，.(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)已知，试讨论的零点个数，并求对应的的取值范围.【详解】（1）设，则，则，因为为偶函数，所以，所以，作出的图象如图：

因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；所以实数的取值范围是.（2）令，即，由（1）作出的图象如图：

由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求函数的解析式；(2)若函数在上有三个零点，求的取值范围．【详解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数，所以可得．又，故函数的解析式为（2）根据题意作出的图象如下图所示：

，，若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根，所以函数与有三个不同的交点，由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点．故的取值范围是．15．记，分别为函数，的导函数.若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“S点”.(1)证明：函数与不存在“S点”；(2)若