高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 1.1 平行线等分线段定理教学实录设计 新人教A版选修4-1

高中数学第一章相似三角形的判定及有关性1.1平行线等分线段定理教学实录设计新人教A版选修4-1授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析高中数学第一章“相似三角形的判定及有关性”中的1.1节“平行线等分线段定理”是本章节的基础内容，旨在帮助学生理解相似三角形的判定方法，掌握平行线等分线段定理，并能够运用该定理解决实际问题。本节课内容与课本紧密关联，符合教学实际，注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。核心素养目标分析学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了基本的几何知识，包括三角形的基本性质、全等三角形的判定和证明方法等。这些知识为本节课的学习奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对几何图形有着天然的兴趣，尤其是在探索图形性质和证明过程中。他们的学习能力较强，能够通过观察、实验和推理来理解新概念。学习风格上，部分学生偏好通过图形直观理解，而另一部分学生则更倾向于逻辑推理和公式证明。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习平行线等分线段定理时，可能会遇到以下困难：一是对定理的理解不够深入，难以将其与实际应用相结合；二是证明过程中逻辑推理能力不足，难以找到合适的证明方法；三是空间想象能力有限，难以直观把握图形之间的关系。因此，教学中需要引导学生通过多种方式理解和应用定理。教学资源-硬件资源：多媒体教学平台、电子白板、投影仪、直尺、量角器、圆规、三角板等几何工具。

-课程平台：学校内部教学网络、在线教学平台。

-信息化资源：相关教学视频、数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）用于图形演示和计算。

-教学手段：实物教具展示、小组讨论、课堂练习、课后作业等。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

详细内容：首先，通过提问的方式复习学生已知的全等三角形的判定条件，引导学生思考如何判定两个三角形相似。接着，展示生活中常见的平行线分割图形的图片，激发学生的兴趣和思考，提出本节课的学习目标：学习平行线等分线段定理，并应用于解决实际问题。

2.新课讲授（用时15分钟）

1）定理讲解（用时5分钟）

详细内容：首先，展示平行线等分线段定理的图形，通过几何画板动态演示平行线如何等分线段，让学生直观感受定理的内涵。然后，详细讲解定理的证明过程，强调证明过程中的逻辑推理和几何语言的应用。

2）定理应用（用时5分钟）

详细内容：通过例题展示定理的应用，引导学生运用定理解决实际问题。例如，给出一个四边形，要求证明其对边平行。

3）定理拓展（用时5分钟）

详细内容：引导学生思考如何将平行线等分线段定理应用于其他几何图形的证明和计算，如证明线段相等、求线段长度等。

3.实践活动（用时10分钟）

1）动手操作（用时3分钟）

详细内容：将学生分为小组，每人准备直尺、量角器、圆规、三角板等工具，进行平行线等分线段定理的动手操作，加深对定理的理解。

2）小组讨论（用时3分钟）

详细内容：让学生在小组内讨论如何将定理应用于解决实际问题，如设计一个实验来验证定理，或者解决生活中的几何问题。

3）课堂展示（用时4分钟）

详细内容：每个小组派代表进行课堂展示，分享小组讨论的成果，教师对学生的展示进行点评和总结。

4.学生小组讨论（用时5分钟）

1）如何运用定理证明三角形相似（举例回答：通过证明三角形ABC和三角形DEF中，角A=角D，角B=角E，根据平行线等分线段定理可知，AB/DE=BC/EF，进而得出三角形ABC和三角形DEF相似）。

2）如何将定理应用于实际问题的解决（举例回答：在建筑设计中，利用定理来确保两块平行板之间的距离相等）。

3）定理在几何证明中的作用（举例回答：在证明四边形ABCD为矩形时，可以利用定理证明对边相等，从而证明四个角都是直角）。

5.总结回顾（用时5分钟）

详细内容：对本节课的学习内容进行总结，强调平行线等分线段定理的重要性和应用价值。同时，指出本节课的重难点，如定理的证明过程、定理在解决实际问题中的应用等。鼓励学生在课后进行复习和巩固，提高自己的几何思维能力。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《几何学的艺术》：这本书提供了丰富的几何图形和定理，包括相似三角形的判定和应用，适合学生深入理解几何学的美感。

-《几何证明的技巧》：这本书详细介绍了几何证明的各种技巧和方法，包括构造辅助线、运用对称性等，有助于学生提高证明能力。

-《几何学的历史》：通过了解几何学的发展历程，学生可以更好地理解相似三角形判定定理的历史背景和演变过程。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-学生可以尝试证明平行线等分线段定理的逆定理，即如果一条线段被两条平行线等分，那么这两条平行线是平行的。

-探究平行线等分线段定理在不同类型的几何图形中的应用，例如在梯形、平行四边形中的应用。

-通过几何软件（如GeoGebra）探索相似三角形的性质，例如相似三角形的对应边成比例、对应角相等。

-设计一个实验，利用平行线等分线段定理来测量不规则图形的长度或面积。

3.实际应用案例

-在建筑学中，使用平行线等分线段定理来确保窗户的对称性和门的对齐。

-在工程学中，利用定理来设计桥梁和结构，确保支撑点的均匀分布。

-在艺术设计中，运用相似三角形的性质来创建和谐的比例关系，增强视觉吸引力。课堂1.课堂评价

-提问环节：在课堂教学中，通过提问的方式检验学生对平行线等分线段定理的理解和应用能力。例如，提出一些基础问题，如“请解释平行线等分线段定理是什么？”和“你能举一个应用这个定理的例子吗？”通过学生的回答，教师可以评估他们对概念的理解程度。

-观察环节：教师在课堂上观察学生的参与度和互动情况，注意学生的眼神、表情和动作，以判断他们对学习内容的兴趣和掌握程度。

-测试环节：在课堂结束前，进行小测验或随堂练习，检验学生对定理的掌握和应用能力。测试题可以包括选择题、填空题和简答题，题目难度适中，既能覆盖基础知识，又能考察学生的综合运用能力。

-反馈环节：针对学生的回答和测试结果，教师及时给予反馈，肯定学生的正确答案，纠正错误，并解释其中的原因。这种及时的反馈有助于学生巩固知识点，提高学习效果。

2.作业评价

-批改作业：对学生的作业进行认真批改，确保每份作业都得到关注。批改时，注意作业的正确性、逻辑性和美观性。

-点评作业：在作业批改过程中，不仅指出错误，还要对学生的解题思路和步骤进行点评，鼓励学生独立思考和探索。

-反馈沟通：通过作业反馈，与学生进行沟通，了解他们在学习过程中遇到的问题和困惑。对于共性问题，可以在课堂上进行讲解和解答；对于个别问题，可以个别辅导或提供额外的学习资源。

-鼓励学生：在作业评价中，对学生的进步和努力给予肯定，鼓励他们在接下来的学习中保持积极的态度，继续努力。

3.教学评价的具体实施

-在课堂提问环节，教师可以设计不同难度的问题，以适应不同层次学生的学习需求。

-观察环节中，教师可以记录学生的课堂参与度和学习态度，这些信息对于调整教学策略和改进教学方法至关重要。

-测试环节的题目设计要贴近实际，避免过于简单或复杂，以确保能够有效评估学生的学习效果。

-作业评价要注重过程和结果，通过作业反馈帮助学生建立正确的学习方法和态度。

-教学评价的结果要用于指导教学，教师应根据评价结果调整教学计划，提高教学效果。典型例题讲解1.例题：在平行四边形ABCD中，E、F是AD和BC的中点，求证：三角形ABE和三角形CDF全等。

解答过程：

-首先，连接EF，因为E和F分别是AD和BC的中点，根据平行四边形的性质，对边相等，所以AB=CD，AD=BC。

-由于E和F是中点，根据中位线定理，EF平行于AB且EF=1/2AB。

-因此，三角形ABE和三角形CDF都是直角三角形，且它们有一个共同的角∠A=∠C（因为它们是平行四边形的对角）。

-另外，AB=CD，AE=CF（因为E和F是中点），根据SAS（Side-Angle-Side）全等条件，三角形ABE和三角形CDF全等。

2.例题：在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高，E是AC的中点，求证：三角形AED和三角形AEB全等。

解答过程：

-因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-由于E是AC的中点，AE=EC。

-在三角形ABD和三角形ACD中，AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（直角），AE=EC（中点性质）。

-根据SAS全等条件，三角形ABD和三角形ACD全等。

-因为三角形ABD和ACD全等，所以∠AEB=∠AED（对应角相等）。

-因此，三角形AED和AEB全等。

3.例题：在三角形ABC中，点D在边AC上，点E在边AB上，且DE平行于BC，求证：三角形ADE和三角形ABC相似。

解答过程：

-因为DE平行于BC，根据平行线的性质，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。

-在三角形ABC和三角形ADE中，有一个共同角∠A。

-根据AA（Angle-Angle）相似条件，三角形ADE和三角形ABC相似。

4.例题：在平行四边形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，且AE=CF，求证：三角形ABE和三角形DCF相似。

解答过程：

-因为ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AD=BC。

-由于AE=CF，且E和F分别在AD和BC上，所以AE+EF=CF+EF=EF+CD=AB。

-因此，三角形ABE和三角形DCF的对应边成比例，且它们有一个共同的角∠A。

-根据SAS相似条件，三角形ABE和三角形DCF相似。

5.例题：在三角形ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD=DE=EC，求证：三角形ABD和三角形ECD相似。

解答过程：

-因为AD=DE=EC，所以三角形ADE是等边三角形。

-在三角形ABD和三角形ECD中，AD=EC（已知），∠ABD=∠ECD（等边三角形的内角）。

-根据SAS相似条件，三角形ABD和三角形ECD相似。板书设计①平行线等分线段定理

-定理内容：如果一条直线平行于三角形的两边，并且分别与这两边相交，那么它所截得的线段等分这两边。

-证明方法：使用SAS（Side-Angle-Side）全等条件。

-应用条件：两直线平行，三角形的一边与两直线相交。

②相似三角形的判定

-AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

-SAS相似定理：如果两个三角形的两个角和它们夹的边分别相等，那么这两个三角形相似。

-SSS相似定理：如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。

③实际应用举例

-在建筑设计中，使用定理来确保窗户的对称性和门的对齐。

-在工程学中，利用定理来设计桥梁和结构，确保支