2024-2025学年湖南省长沙市高一上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高一上学期第一次月考数学阶段检测试题第I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.且2.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，3.已知，则使成立的充分条件为（）A. B.C D.4.设集合，或x>5，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.5.关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A.B.不等式解集为C.D.不等式的解集为6.已知命题：，，则为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.7.已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.(-4，2) D.8.若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合，，，，则下面说法正确的是（）A.B.C.D.若，则10.给出以下四个判断，其中正确的是（）A.已知函数的值域为B.关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是C.函数，定义域，值域，则满足条件的有3个D.若函数，且，则实数m的值为11.下列说法正确的有A.若，则的最大值是B.若，则最小值为2C.若，，均为正实数，且，则的最小值是4D.已知，，且，则最小值是第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题，的否定是___________．13.函数值域为________.14.已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数a的取值范围.16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．（1）将表示为的函数；（2）当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．17.已知且.（1）求的最小值（2）求的最小值（3）求的最小值18.已知函数，.（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；（2）当时，求不等式的解集.19.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域0,+∞内存在，使函数成立；（1）请给出一个的值，使函数（2）函数是否是集合M中元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数,求实数a的取值范围.2024-2025学年湖南省长沙市高一上学期第一次月考数学阶段检测试题第I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.且【正确答案】D【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解.【详解】由，可得，，则，故且.故选：D.2.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】A【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案.【详解】对于A，的定义域为，，定义域为，定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确；对于B，，定义域为，的定义域为，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，由解得，故的定义域为，由解得或，故的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故D错误.故选：A3.已知，则使成立的充分条件为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质或举出反例，逐项判断即可.【详解】选项A：当时，由得，此时，当时，由得，不一定有，所以不是成立充分条件；选项B：当，时，满足，此时不一定有，所以不是成立的充分条件；选项C：由可得，当，，且时满足，此时不一定有，所以不是成立的充分条件；选项D：由可得，即，此时，所以是成立的充分条件；故选：D4.设集合，或x>5，若，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【正确答案】A【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.【详解】因集合，若，有，解得，此时，于是得，若，因或x>5，则由得：，解得：，综上得：，所以实数的取值范围为.故选：A5.关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为【正确答案】D【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误.【详解】由题知，，且，，即得，故A错；由可得，所以，解得或，故B错；对于C，，故C错；由可得，即，所以，故D正确.故选：D6.已知命题：，，则为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C D.【正确答案】B【分析】通过分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，对A，B，C，D再根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】解：，，在上恒成立，即a>x+令，根据对勾函数的性质：在上单调递减，在上单调递增，当，时，的值均为4，在上的最大值为4，是命题为真命题的充要条件，对A，得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故A错；对B，得不到，而可以得到，故是为真命题的必要不充分条件；故B对；对C，得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故C错；对D，是为真命题的充要条件；故D错.故选：B.7.已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.(-4，2) D.【正确答案】C【分析】因为恒成立，所以转化为，将已知等式改写形式为：，再利用“1”的代换后使用基本不等式得到的最小值为8，从而转化为解不等式.【详解】由题意知：即：∴∴又∵，∴，∴当且仅当即时等号成立.∴当时，取得最小值为8.∴解得：故选：C.8.若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，所以，解得或，①当时，不等式的解集为，因为，所以两个整数解，则，即，解得；②当时，不等式的解集为，因为，所以两个整数解，则，即，解得，综上所述，实数的取值范围为或.故选：B.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合，，，，则下面说法正确的是（）A.B.C.D.若，则【正确答案】ACD【分析】求得集合的关系判断选项A；求得集合判断选项B；求得集合判断选项C；利用为偶数判断选项D.【详解】根据题意，可得集合A表示除以2余数为1的自然数集，集合表示除以3余数为1的自然数集，集合表示除以4余数为1的自然数集，集合表示除以3余数为2的自然数集，或，则，所以选项A正确；或N，选项B不正确；，选项C正确；若，则为偶数，故，选项D正确．故选：ACD．10.给出以下四个判断，其中正确的是（）A.已知函数值域为B.关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是C.函数，定义域，值域，则满足条件的有3个D.若函数，且，则实数m的值为【正确答案】AC【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可.【详解】对于A，在上单调递增，故其值域为，故A正确；对于B，关于“的不等式有解”等价于，即，根据小充分大必要，是充分条件不是必要条件，故B错误；对于C，定义域可以是，故C正确；对于D，，故，若，即，则，故D错误.故选：AC11.下列说法正确的有A.若，则的最大值是B.若，则的最小值为2C.若，，均为正实数，且，则的最小值是4D.已知，，且，则最小值是【正确答案】AD【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．【详解】对于，由可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，所以的最大值为，故正确；对于，，当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故错误；对于，由可得，当且仅当且，即，，时，等号成立，由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；对于，由可得，代入到，当且仅当即时，等号成立，故正确．故选：．第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题，的否定是___________．【正确答案】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】命题“，”的否定形式是“”.故答案为.13.函数的值域为________.【正确答案】【分析】利用换元法直接求解函数值域即可.【详解】令，则，所以，所以，即函数值域为.故14.已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．【正确答案】【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.i.若，则二次函数的最小值为.要使的值域为R，只需：，解得.所以；ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.要使的值域为R，只需：，解得.所以；综上所述：实数t的取值范围是.故四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数a的取值范围.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）求出集合，利用并集、交集的定义可求得结果；（2）分析可知，分、两种情况讨论，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，.【小问2详解】因为，则，当时，，解得，成立；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为.16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．（1）将表示为的函数；（2）当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．【正确答案】（1）（2）米，元【分析】（1）设，求得，结合题意，即可求得关于的函数关系式；（2）由（1）中关于的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，正方形构成的面积为且，矩形的面积为，则阴影部分的面积为，设，则，可得，且，解得，所以，所以关于的函数关系式为.【小问2详解】解：由（1）知，，由，当且仅当，即时等号成立，即的长为米时，总造价为最小，且最小值为元.17.已知且.（1）求的最小值（2）求的最小值（3）求的最小值【正确答案】（1）25（2）10（3）【分析】（1）利用基本不等式得到，求出；（2）利用基本不等式得到，求出；（3）求出，，从而得到，换元后，利用基本不等式得到最小值.【小问1详解】且，由于，故，解得或（舍去），故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为25【小问2详解】且，由于，故，两边平方后，解得或（舍去），故的最小值为10，当且仅当时，等号成立；【小问3详解】，若，此时，不成立，舍去，故，故，因为，故，故，令，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，此时，，故的最小值为.18.已知函数，.（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；（2）当时，求不等式的解集.【正确答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.【小问1详解】函数图象的对称轴为，当，即时，，解得，则；当，即时，，解得，矛盾，所以.【小问2详解】显然，而，因此不等式为，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集，所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.19.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域0,+∞内存在，使函数成立；（1）请给出一个的值，使函数（2）函数是否是集合M中的元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数,求实数a的取值范围.【正确答案】（1）=2；（2）是，（3）或【分析】（1）利用列不等式，由此求得的一个取值.（2）假设存在符合题意，验证，由此判断出的所有可能取值.（3）利用列不等式，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时