2025届中考数学一轮复习 平面直角坐标系与函数 综合测试（含解析）

专题九平面直角坐标系与函数（综合测试）——中考数学一轮复习

备考合集

【满分：120】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.铜仁市少数民族众多，如图是带有苗族元素的刺绣花,它是一个轴对称图形，将其放置在平面直

角坐标系中，如果图中点Z的坐标为（-3,〃），其关于y轴对称的点8的坐标为（m,2），则m-n的值

为（）

A.-5B.-lC.5D.1

2.向一个容器内均匀地注入水，液面升高的高度了与注水时间x满足如图所示的图象，则符合图

象条件的容器为（）

3.在函数>=4三中，自变量x的取值范围是（）

X

A.x>3B.x>-3C.x23且xwOD.x>-3Mx^0

.已知那么点尸（）关于>轴的对称点。在（

4,a<0,-/,2"i)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.尸TC是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低

于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增

大用尸TC材料制成的电热器具有发热控温双重功能，应用十分广泛.如图1是某款家用电灭蚊

器，它的发热部分就使用了PTC发热材料，其电阻值R（KC）随温度7（C）变化的关系图象如

图2所示，下列说法不正确的是（）

M/KC

02040""60""80100120本C

图1图2

A.由图2可知，该尸TC发热材料的“居里点温度”是30℃

B.当T=80℃时，该PTC发热材料的电阻值为14kQ

C.当R=10kQ时，T=60℃

D.发热部分的电阻值随温度的升高而增大

6.如图，将正方形48。先向右平移，使点8与原点。重合，再将所得正方形绕原点。顺时针方向

旋转90。,得到四边形HQC。,则点Z的对应点H的坐标是（）

A.(-1,-2)B.(一2,-1)C.(2,l)D.(l,2)

7.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是(-3,0),(-1,0),(3,0),

对此，小华认为：

①当y〉0时，一3<x<—1；

②当x>-3时，y有最小值；

③点尸(切，-加-1)在函数y的图象上，符合要求的点尸只有1个;

④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.

其中正确的结论有()

A.①②③B.②③④C.②④D.③④

8.在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论:

①第一象限内有无数个“吉祥点”；

②第三象限内不存在“吉样点”；

③已知点4(-2,1),5(-2,-3),若点尸是“吉祥点”且在坐标轴上，则点尸到直线48的距离为

8；

④已知点C(-1,-1),D(3,-1),若点。是第一象限内的，吉祥点”三角形。CD的面积记为S,则

2<S<14.其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，04=8,48=3,0C=5,如果在梯形04BC内有一点

D（x,y）,使得二SABCD9SMBD=SMCD，那么孙的值为（）.

10.在平面直接坐标系中，点/（私0）,3（2加+3,0）P（2m+l,0）,尸轴，点0的纵坐标

为利则以下说法错误的是（）

A.当用=-5,点8是线段4P的中点

B.当加2-1,点尸一定在线段48上

C.存在唯一一个机的值，使得48=P。

D.存在唯---个机的值，使得48=2尸。

11.如图1,点。在△4SC边ZC上，点E是AD上的一动点，点尸是CE的中点，连接//,设

BE=x,=y，图2是点E运动时y随x变化的关系图像,其中点H是函数图像的最低点，则〃

的值为（）

图1图2

A.24B.26C.28D.30

12.如图,在平面直角坐标系中，48，y轴,垂足为点瓦将△450绕点A逆时针旋转到△4801

3

的位置，使点8的对应点与落在直线y=-上，再将△480］绕点用逆时针旋转到△Z4Q

的位置，使点a的对应点&也落在直线v=-上，如此下去，……，若点8的坐标为

（0,3）,则点名7的坐标为（）.

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

二、填空题(每小题3分，共15分)

13.在平面直角坐标系中，若点M（a-2,a+3）在y轴上，则点N（a+2,a-3）在第象限.

14.如图1,在AABC中,动点尸从点幺出发沿折线ABfBCfCA匀速运动至点/后停止.设点产

的运动路程为x,线段4尸的长度为、图2是了与x的函数关系的大致图象，其中点尸为曲线OE

的最低点，则△48C的高CG的长为.

15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如（1,0）,

（2,0）,（2,1）,（3,2）,（3,1）,（3,0）,（4,0）……，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标

是.

,・(5,4)

/士

23)・(5,3)

(:P工4,2±(5,2)

(2，1)；】(3,吸(4,1)»(5,1)

O\(6)*2*0)(3,0)(4,0)(5,0*~x

16.小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前

行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的1.5倍返回家中，取完东西后仍以

返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍

以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇.假设小华掉头、取票时间均忽略不计.

两人之间的距离y(米)与小华出发时间x(分钟)之间的关系如图所示，则当两人相遇时，

小兰距离剧院有米.

斗

2400\

1400—\一小

->

%

17.如图，在平面直角坐标系中，点8坐标(8,4),连接。瓦将08绕点。逆时针旋转90。，得

到OB'，则点B'的坐标为.

三、解答题(本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程)

18.(6分)如图,△48C三个顶点的坐标分别为4(1,1),5(4,2),。(3,4).

⑴请写出△48。关于x轴对称的△4^G的各顶点坐标;

(2)请画出△45。关于j轴对称的；

⑶在x轴上求作一点尸，使点尸到Z、B两点的距离和最小,请标出P点.

19.(8分)阅读下列材料

材料一：我们知道，求数轴上两点之间的距离，可借助这两个点所表示的数来求.

例如：如图1,数轴上点A表示的数是苞，点B表示的数是9,则点48之间的距离为

AB=|xj-x2|.

问题：如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离？

AB

0X1为

图I

探究：如图2,，(占,%),%)是平面直角坐标系中任意两点，过幺乃两点分别向x轴、y轴作

垂线，过Z垂直于y轴的直线与过8垂直于x轴的直线相交于点C在RtA^C

22

中,•rNC=ki_q,80=|凹-刃,4炉=力。2+BC,:.AB-=(%1-x2)+(%_%)>

AB=

结论：平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式为：

22

AB=yj（xl-x2）+（yl-y2）.

材料二：如图，在平面直角坐标系中,以点尸（。力）为圆心，以r为半径的圆上有任一点。（xj）,由

材料一:及圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”可得r=PQ=，（iy+（一）2

整理得：｛x-a）1+（y-bY=r2.

我们称此等式为以点尸（。力）为圆心，以r为半径的圆的方程.

⑴填空：以点（2,-3）为圆心，以3为半径的圆的方程是；

（2）求点M（2,-6）,N（-1,8）之间的距离；

⑶判断f+V+Sx—8了+16=0是否是表示圆的方程？如果是，求出圆的圆心坐标与半径；如果

不是,请说明理由.

20.（8分）阅读与思考

在函数的学习过程中，我们利用描点法画出函数的图象，并借助图象研究该函数的性质,最后运

用函数解决问题.现我们对函数y=|x-l|（x的取值范围为任意实数）进行探究.

(1)请将下面的表格补充完整.

X-3-2-10123

y=\x-i\4—210—2

(2)请根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并填写：当x〉l

时J的值随x值的增大而.

⑶请在如图所示的平面直角坐标系中画出正比例函数y=x的图象，并直接写出不等式

x<|x-l|的解集.

，「6

4

一;

一」一2343一6%

21.(10分)问题背景：某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方

米，深为1米.已知底面造价为上千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.

图①

⑴设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为米，可得y

与x的函数关系式为：.

(2)若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为.

问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数^=》+左的图像可以由正比例函数y=x的图像向

上(下)平移出个单位得到：受此启发，给定一个函数：了=》+l+《(》〉0)为了研究它的图象与

性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对〉=》+工+1（》〉0）进行如下图象探索：

图②

⑶请直接写出机，〃的值：

（4）请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.

⑸请结合函数的图象，写出当x=，了有最小值为;

学以致用

根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：

（6力与x的函数关系式为.

（7）当水池底边长分别为米时，水池总造价的最低费用为千元；

⑻若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？

22.（12分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力x阻力臂=动力x动力臂），小明利

用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图（1））.制作方法如下：第一步：在一

根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）,确定支点。，并用细麻绳固定，在支点。

左侧2cm的Z处固定一个金属吊钩，作为秤坨；

第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤蛇.

（1）图（1）中，把重物挂在秤钩上，秤蛇挂在支点。右侧的5处，秤杆平衡，就能称得重

物的质量.当重物的质量变化时，08的长度随之变化.设重物的质量为xkg,08的长为ycm.

写出y关于x的函数表达式；若0<y<48,求x的取值范围.

图⑴图⑵

（2）调换秤坨与重物的位置，把秤蛇挂在秤钩上，重物挂在支点。右侧的8处，使秤杆平衡，

如图（2）.设重物的质量为xkg,08的长为”m,写出了关于x的函数表达式，完成下表,

画出该函数的图象.

x/kg0.250.5124

y/cm

—————

23.（13分）对于平面直角坐标系xOy中的点Z和点P,若将点尸绕点幺逆时针旋转90。后得

到点Q,则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点尸关于点A的“垂链点”0的示意图.

x

图3

（1）已知点/的坐标为（0,0）,点尸关于点幺的“垂链点”为点0;

①若点尸的坐标为（2,0）,则点0的坐标为

②若点Q的坐标为(-2,1),则点P的坐标为；

(2)如图2,已知点。的坐标为(1,0),点。在直线了=gx+l上，若点。关于点C的，垂链点”

在坐标轴上，试求出点。的坐标；

(3)如图3,已知图形G是端点为(1,0)和(0,-2)的线段，图形〃是以点。为中心，各边分

别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点/为图形G上的动点，点N为图形〃上的动点，若

存在点7(0,7),使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N,请直接写出t的取值范围.

答案以及解析

L答案：D

解析：•••点Z的坐标为(-3,〃),其关于了轴对称的点3的坐标为(九2),

・•,加=3,〃=2,

・•・加一〃=3—2=1.

故选：D.

2.答案：B

解析：由图象可知有两个阶段，相比较而言，后一个阶段用时较少，高度增加较快,那么上面的物

体应较细.

所以符合图象条件的容器为B.

故选：B.

3.答案：D

解析：由题意得：x+320且xwO,

解得：x>-3<x*0,

故选：D.

4.答案：C

解析：：”。，

/>o,2a—1<0,

•・•点尸(—CI3,2”1)位于第四象限，

.••点0(-/,2a-1)关于了轴的对称点在第三象限.

故选：C.

5.答案：D

解析：A、由图2可知，该尸TC发热材料的“居里点温度”是30℃,说法正确，不符合题意；

B、由题图2可知，当7=80。(2时，该尸TC发热材料的电阻值为14kQ,说法正确，不符合题

思；

C、由题图2可知，当R=10kQ,T=60℃说法正确，不符合题意；

D、当高于30℃时，发热部分的电阻值随温度的升高而增大，故说法错误，符合题意，

故选：D.

6.答案：A

解析：由正方形48co先向右平移，使点8与原点。重合,

得£(2,-1),

由再将所得正方形绕原点。顺时针方向旋转90°

解析：由函数图象可得：

当y〉0时，-3<x<-1或x>3；故①错误；

当x>-3时，y有最小值；故②正确；

点尸(加，-机-1)在直线y=-x-l上，直线y=-x-l与函数图象有3个交点，故③错误;

将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确;

故选：C.

8.答案：D

解析：由横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，

则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确;

②•.•第三象限的横、纵坐标都为负数，

・•.第三象限内不存在“吉样点”，故说法②正确；

③•.7(-2,1),5(-2,-3),

48/加轴，

•.•点P是“吉祥点”且在坐标轴上，

.•.点P(0,6)或尸(6,0),

则尸到直线N5的距离为2或8,故说法③错误；

£>(3,-1),

,CZ)//x轴，0)=4,

•・•点0是第一象限内的“吉祥点”，

.,.设Q(6—a,a),则有：0<a<6,

根据题意可知：SA”"=,xCZ)x(a+l)=2a+2,

则：2<S<14,故说法④正确；

综上可知，说法①②④正确；

故选：D.

9答案:D

解析：如图，过点。作。于点E,

梯形CMBC的面积为：：（N5+OC）.CM=gx（3+5）x8=32,

••V-V

.°AABD_G4OCD，

/.-AB-AE=-OCOE，AB（OA-OE\=-OC•OE，

222v72

/.一x3x（8—x）=—x5x,

2v72

解得x=3,

S^ABD=S^OCD--X5x3=—,

S^OAD=S4BCD=；x132_2x£）,

SMAD=—04,DE,

117

..—x8oy——,

22

解得片u,

■8

.—17_51

•.xy—3x—=—，

'88

故选D.

10.答案：D

解析：\•点/（加,0）,8（2加+3,0）,P（2m+l,0）,

当加=一5,则2（—5,0）,5（-7,0）,尸（一9,0）,

0=_7,即点8是线段N尸的中点，故A选项正确;

2

•・•点/（私0）,5（2加+3,0）,尸（2加+1,0）,

当加2-1,则2加+12-1,则点尸在4点的右侧，

又2加+3>2加+1,即点尸在店5的左侧，

・•.当加2-1,点尸一定在线段45上，故B选项正确；

Q2_Lx轴，点。的纵坐标为加，尸（2加+1,0）

AB=12m+3—m|=|m+3|,PQ=同，

当48=尸0时，

则加+3=加（无解）或m+3=—m

解得：m=—,故C选项正确；

2

当48=2尸0时，则m+3=2机或机+3=—2加

解得：m=3或加=-1,故D选项错误，符合题意,

故选：D.

11.答案:C

解析：如图，

取8C中点P,取CD中点°,连接PQ,AP,

由图2可知，当x=0时,y=13,

.•当BE=0时,4尸=13,即当E与3重合时,AF=13,

••・此时E马B重合下为EC的中点，即尸为8C的中点,

.-.AP=\3,

同理当E与。重合时，即BD=〃时,4F==15,

-.P,Q分别为BC,CD的中点，

•••2尸为△BCD的中位线，

：.PQHBD,PQ=；BD,

同理可证QF是△EOC的中位线，

:.EDHQF,QF=；ED,

•••点尸在尸。上，

・•.当4F±PQ时,AF的值最小，即此时的y值最小，

过点Z作尸。于P,连接。7'并延长交AD于由图2可知NP=12,

22

F'Q=[A。2_AF'2=9,F'P=^AP-AF'=5,

•••尸。=14,

BD=28,

•••点E与点。重合时,BE取得最大值n,

*'•n=BD=28,

故选：C.

12.答案:C

解析：••・48J.y轴，点8的坐标为（0,3）,

・•.OB=3,则点Z的纵坐标为3,代入y=-

得：x=-4,则点Z的坐标为（-4,3）.

OB=3,AB=4,

CM=打+42=5,

由旋转可知，OB=OXBX=O2B2=...=39OA=OXA=O2AX=...=5,

AB=ABX=A[B]=A2B2=…=4,

.•.081=04+481=4+5=9,用用=3+4+5=12,

BiB3=B3B5=…=B35B37=12,

/.OB31=OB1+=9+-----x12=225.

设点27的坐标为,

贝I]0Bv=J/+D=225,

解得a=-180或180（舍去），则-1。=135,

4

•・•点员?的坐标为（T80J35）.

故选C.

13.答案：四

解析：•.•点(a-2,a+3)在y轴上,

二.Q—2=0

Q=2,

.•.点N(a+2,a—3),即(4,—1),

.♦•点N在第四象限，

故答案为：四

14.答案：拽

22

解析：如图过点/作于点。，当点尸与。重合时，在图2中尸点表示当48+80=12

时，点P到达点0,此时当产在8C上运动时,4?最小,

：.BC=1,BQ=A,QC=3

在Vi^ABQ中,=8,80=4

：.AQ=^AB2-BQ2=A/82-42=4G

■■S^,=-ABXCG^-AQXBC,

ZA?!-£R>(_C/22

“BCxAQ7x4737G

CCJ=-----------=----------=------,

AB82

773

故答案为:

2

15.答案:（64,4）

解析：把第一个点（1,0）作为第一列，（2,1）和（2,0）作为第二列，

依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，

第〃列有〃个数.则〃列共有30个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺

2

序由下到上.

因为1+2+3+...+63=2016,则第2021个数一定在第64歹U，由下到上是第5个数.

因而第2021个点的坐标是（64,4）.

故答案为：（64,4）.

16.答案:120

解析：由题意得15V华=1.5v华家，

・••小华从发现没带门票到返回家中拿到票所用时间为10分钟，

当小华拿到门票时，小兰用25分钟走了2400-1400=1000（米），

.,・小兰的速度：v兰=1000+25=40（米/分），

.,・小兰家与剧院的距离为40x30=1200（米），

.•.小华家与剧院的距离为2400-1200=1200（米）；

又•••他们从家出发15分钟后，两人相距1200米，

,15“华+v兰）=1200,即15（v华+40）=1200,

解得，y=40（米/分），

•••小华后来的速度为v=L5x40=60（米/分）；

设小华再次从家出发到两人相遇所用时间为/分，

则40（7-10）+607=1400,

解得，:18,

・•.两人相遇时，小兰与剧院的距离为1200-60x18=120（米）.

故答案为：120.

17.答案：（-4,8）

解析：如图，过点8作氏轴于点/,过点5'作夕轴于点C,

5

<

H

4

/

••・将0B绕点0逆时针旋转90°,得到OB，,

ZBOB'=90°,BO=B'O,

:.NBOC+NCOB'=90°,

ZAOB+ZBOC=90°,

NAOB=NCOB',

又：NOAB=ZOCB'=90°,

..△0/8之△OCB'(AAS),

OC=OA=8,B'C=AB=4,

.•.9(-4,8).

故答案为：(-4,8).

18.答案:(1)4。,—1)，4(4,一2)，G(3,—4)

(2)图见解析

(3)(2,0)

解析：(1)「△48。与△44。关于轴对称,2(1,1),5(4,2),。(3,4)

••・4(1,—1),片(4,—2)6(3,—4)；

(2)如图，点4,反，G分别为点4民c的对应点，

连接482,32。2,4。2，

则△48C,即为所作；

(3)如图，作点Z关于X轴的对称点4，连接4B，与X轴交于点P,连接AP,

：.AP+BP=A/+BP=AXB,

此时点尸到Z、8两点的距离和最小，则点P即为所作，且点P的坐标为(2,0).

故答案为：(2,0).

19.答案：(l)(x—2>+3+3)2=9

(2)MN=2)2+(8+6)2=

(3)是，圆心坐标为［-q4；圆的半径为g

解析：⑴根据题意,得以点(2,-3)为圆心,以3为半径的圆的方程是(尸2)2+3+3)2=9,

故答案为：(x—2)2+(y+3)2=9.

(2)根据题意，得MN=+(8+6/=0区.

⑶是，

■:f+y2+5x—8jv+16=0,

4臼+(-)、］［,

故是圆的方程，

且圆心坐标为圆的半径为今

20.答案：(1)见解析

(2)图见解析，增大

(3)图见解析,解集为x<；

解析：(1)由题意，填表得,

X-3-2-10123

歹=|x-1|4321012

⑵根据题意，画图象,如图；

由图象可知，当x>l时/的值随x值的增大而增大.

故答案为：增大；

(3)如图，画出直线y=x的图象，

由图象可知，

当x<l时/=1一X,

当］_X=X时,X=—,

2

(3)机=一，n=一

23

(4)见解析

(5)1,3

(6)=x+—+3(%>0)

(7)L5

(8)1<x<2

解析：(1)、•水池底面一边长为x米，底面积为1平方米，

水池的另一边长工米；

X

1.1底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，

y=(x+—)x2xlxO.5+lxA:=x+—+A:.

xx

17

y—xH---Fk

.x

故答案为：—,y=x+—+k；

xx

(2>.•底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米,

y—(xH—)x2x1x0.5+1x1—x1.

XX

故答案为：y=x+—+l；

x

(3)当x=1■时，冽=3.5；

故答案为：1,3；

(6)v底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，

y—(xH—)x2x1x0.5+1x3—xF3.

xx

故答案为：y=x+—+3；

x

⑺由函数平移的性质可得：函数>=》+1+3是由函数y=、+1+1向上平移2个单位得到的,

XX

函数y=》+1+1的最低点的坐标为(1,3),

x

：.函数y=x+'+3的最低点的坐标为(1,5).

x

•.•该农户预算不超过5.5千元，函数y=x+l+3是由函数y=x+'+l向上平移2个单位得到

xx

的，

••・找到函数>='+工+1图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的x的值即可.

X

—<x<2.

2

22.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)•.・阻力x阻力臂=动力x动力臂,

重物重力xOA=秤花重力xOB.

•.tOA=2cm,重物的质量为xkg,08的长为ycm,秤蛇的质量为0.5kg,

2x