2025高考数学二轮复习 空间几何体 专项训练【含答案】

专题四立体几何

微专题25空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

思维导图

几何体的结构特征一—空间几何体的折展问题

空间几何体的表面积公式-必备常见—空间几何体的表面积、体积问题

题型

空间儿何体的体积公式一知识-一多面体与球

导数在求函数最值时的应用」空

间一空间几何体表面积、体积的最值问题

几

何

体

一般求比较规则的几何体采用公式法］一—空间几何体的表面积、体积公式记忆混淆

必备常见

对于不规则的几何体采用割补法一一——忽略组合体衔接部分的表面积

解法误区

求多面体体积时可采用等体积法一—几何体折展时点的位置、边的长度计算错误

典型例题

考点一表面积与体积

【典例11（1）（多选）（2023・新高考全国H）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。,42为底面直径,

ZAPB=120°,E4=2,点C在底面圆周上，且二面角「一4。一。为45。，则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4小兀

C.AC=2小

D.△必C的面积为由

答案AC

解析依题意，ZAPB=120°,B4=2,

所以。尸=1,0A=0B=p

A项，圆锥的体积为品介（/）2乂1=%，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀X4§X2=2小兀，故B错误；

C项，取AC的中点。，连接。。，PD,如图所示，

则AC_L。。，AC1PD,所以NP。。是二面角「一AC-0的平面角，

则/P£>0=45。，所以。尸=。。=1,

故AD—CD—\）3—1—y/2,

则AC=2吸，故C正确；

D项，PD=y/"12=巾,

所以S△阴c=]X2，^X，^=2,故D错误.

（2）（2023・新高考全国I）在正四棱台ABCO—AiSCQi中，AB=2,4出=1,AAi=p,则该

棱台的体积为.

宏安7班

口木6

解析如图，过4作4MLAC,垂足为

D,G

易知A1M为四棱台ABC。一A1B1GA的高,

因为AB=2,AiBi=l,AAi=5

则AiOi=^AiCi=^Xy[2AiBi=-^,

AO=^AC=g义于AB=也,

故AM=1（AC-AiCi）=^-,

则AiM=y/AAq_AM2=N2s坐,

所以所求体积为V=gx（4+1+?1）又坐=乎.

跟踪训练1（1）（2023・广州模拟）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴

截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

A.1：2B.1：y[2C.1：y[3D.小：1

答案C

解析设圆锥和圆柱的底面半径为广，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长/=2厂，

则圆锥和圆柱的高h=y]4r2—>2=y[3r,

所以圆锥的侧面积5i=nr/=2nr,

圆柱的侧面积S2=2nrXh=2y[37ir,

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为S1：S2=l：木.

⑵（多选）（2022・新高考全国II）如图，四边形ABC。为正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,

A3=Er>=2EB.记三棱锥E—AC。，F-ABC,下一ACE的体积分别为％,V2,匕，则（）

A.匕=2匕B.%=%

C.V3=V1+V2D.216=371

答案CD

解析如图，连接83交AC于。，连接OE,OF.

设AB=ED=2FB=2,

则AB=BC=CD=AD=2,

FB=1.

因为ED_L平面ABCD,FB//ED,

所以平面ABCD,

所以Vi=VE-ACD=JSAACD-ED=WX^ADCDED^X1X2X2X2=T,

V2=VF-ABC=^SAABC-FB=^X^ABBCFB=^XyX2X2X1=弓.

因为ED_L平面ABCD,ACU平面A8CD,

所以EDLAC,

)LACLBD,

且EDCBD=D,ED,BDU平面所以AC_L平面BDEE

因为OE,OFU平面BDEF,

所以AC_LOE,ACLOF.

易知AC=BD=pAB=2小,

OB=OD=^BD=y[2,

0F^yj0B2+FB2=小,

OE^y]OD2+ED2=y[6,

EF=7BD2+(ED—FB¥

='(2限)2+Q_1)2=3,

所以EF2=OE2+OF2,所以OFLOE.

又OECAC=。，OE,ACU平面ACE,

所以。尸，平面ACE,

所以V3—VF-ACE—^S/\ACE-OF

=§*]><2^X,X5=2,

所以％W2L,Vi^V3,丫3=%+匕,2匕=3匕，

所以选项A,B不正确，选项C,D正确.

考点二空间几何体的折展问题

【典例2】（1）“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢.”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨

炊漆公店》.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为40km,山高为

40V15km,8是山坡SA上一点，且A2=40km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环

山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（）

S

A.60kmB.12加km

C.72kmD.12vBkm

答案C

解析该圆锥的母线长为'（40\氏）2+4（）2=160（km）,

所以圆锥的侧面展开图是圆心角为2义/4。=1的扇形,

如图为圆锥的侧面展开图，连接A'B,

由两点之间线段最短，知观光公路为图中的A'B,A'B=yjSA'2+SB2=^/1602+1202=

200(km),

过点S作A'5的垂线，垂足为“，

记点尸为A'8上任意一点，连接PS,当上坡时，尸到山顶S的距离PS越来越小，当下坡

时，P到山顶S的距离PS越来越大，

则下坡路段为图中的H8,

由RtZkSA'BsRtdHSB,

22

zBSB120

^HB-A，g-200-72(km).

(2)(2023・黄山模拟)如图1,将一块边长为20的正方形纸片A8CD剪去四个全等的等腰△PEEi,

△PFFi，APGGi，△PHHi，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥P—EFGH,使E与

Ei重合，尸与Q重合，G与Gi重合，”与M重合，点A,B,C,。重合于点。，如图2.

则正四棱锥P—EFGH体积的最大值为()

图1图2

32Vl564vl5128^10256vl5

/A..3D.33.3

答案D

解析根据题意，PG是侧棱，底面正方形EFGH的对角线的一半是GC,

设GC=x,0<x<10,则有尸62=(10—尤)2+1()2,OF=OG=x,

四棱锥的高〃KPC—OG?=N200—20X,

底面正方形EFGH的面积5=45△0«；=2^,

，四棱锥P-EFGH的体积

V—^x\]200—20x,

.I------------.200—Z2,

令f=q200—20x,则x=。0,0</2<200,

则7=3<20）1,V，=焉（20°—产）（20。—5户），

当40<-<200时，V<0,V=|（2°；0,2/单调递减;

当0<440时，V'>0,V=|（殁声2f单调递增，

.•.当产=40时，丫取最大值，

・•.y|x曰）x通=乎.

跟踪训练2（1）（2023•广东大湾区联考汝口图为三棱锥A-BCD的平面展开图，其中AC=C。

=CB=2,AELBD,垂足为C,则该三棱锥的体积为.

宏安—4

口木3

解析由三棱锥A—BCD的平面展开图可得其直观图，如图所示.

其中AC_LC。，ACLCB,CD±CB,AC=CD=CB=2,

又BCCCD=C,BC,CDU平面BCD,所以AC_L平面BCD,

1114

所以VA-BCD^SABCD-AC^X^X2X2X2=^.

（2）如图所示是一个底面半径和高分别为1和4的圆柱形开口容器（下表面密封），尸是母线BC

的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边缘再

爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）

B.、兀2+16

。、4兀2+36D.^/4K2+1

答案A

解析依题意可得圆柱的底面半径r=l,高/i=4,

将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABC。，其中48=无，AD=4,

问题转化为在CD上找一点0,使AQ+P。最短，

作尸关于C。的对称点E,连接AE,4E与。。交于点。,

则得AQ+PQ的最小值就是

&上=、兀2+（4+2）2=、无2+36.

考点三多面体与球

【典例3】⑴（2022・新高考全国I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若

该球的体积为36%，且3W/W3小，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

「，c81]「2781]

A[18,yjB.[不,y

「2764]

C.彳，—D.[18,27]

答案C

解析方法一如图，设该球的球心为。，半径为R,正四棱锥的底面边长为。，高为

4

依题意，得36兀=§兀7?3,

解得R=3.

P=层+

由题意及图可得

R2=(/J—R)2+

尸/2

仁丽=不

解得，

74

*=2?—床,

io

所以正四棱锥的体积V=1«2/z

货展藕=*d）（3W/W3小）,

所以V'=副一==/（4—§（3W/W3回

令『=0,得/=2加，

所以当3Wk2、同时，V'>0；

当2玳<±3小时,V<0,

所以函数丫=嘲2—5）（3W£3小）在［3,2#）上单调递增，在（2#,3小］上单调递减,

27

又当1=3时，V=q-；

当/=2这时，V=早；

Q1

当/=3仍时，V=Y»

所以该正四棱锥的体积的取值范围是［引，y］.

方法二如图，设该球的球心为。，半径为R,正四棱锥的底面边长为.，高为h,

4

依题意，得36兀=驴7已

解得R=3.

12+

由题意及图可得

R2=(/l—殍+

又3WIW3小,

所以该正四棱锥的体积V=^a2h

（当且仅当《=2—即/=2讹时取等号），

所以正四棱锥的体积的最大值为6号4，排除A,B,D.

方法三如图，设该球的半径为R,球心为O,正四棱锥的底面边长为小高为心正四棱锥

的侧棱与高所成的角为0,

4

依题意，得36兀=1兀&,

解得R=3,所以正四棱锥的底面边长a=p/sina高h=/cosd.

在△。尸C中，作OELLPC,垂足为区

则可得cos^H^坐］,

所以Z=6cos3,

所以正四棱锥的体积

丫="力=^（也/sin9）2./cos0

设sin<9="易得/£5，

则y=sin0cos20=Z（l—^）=^—Z3,

贝ly'=1—3/.令<=0,得看乎,

1S

所以当为-时，y>o；

当坐〈卜当时，<<0，

所以函数尸LZ3在任，半）上单调递增，在半）上单调递减.

又当/=当时，尸?¥；当时，J=|；

M2亚Li2必,2764

所以比-WyW—T，所以彳WVW^.

所以该正四棱锥的体积的取值范围是［金，y.

（2）（2023•南昌模拟）如图，在正四棱锥P—A8C。框架内放一个球。，球。与侧棱抬，PB,

7T

PC,PQ均相切.若NAP8=?且。尸=2,则球。的表面积为.

D

p

答案8兀

7T

解析在正四棱锥P—48C。中，AAPB=y则△B4B是正三角形,

于是叱=44+"2=巩2+小2,所以NAPC=$

因为球。与侧棱加，PB,PC,尸。均相切，

则由对称性知，平面B4C截正四棱锥得等腰直角三角形，

截球。得球。的大圆，且圆。与直角边B4,PC都相切，如图，

显然OP平分NAPC,因此球。的半径R=OPsin去=r,

所以球。的表面积为4疝?2=8兀

跟踪训练3（1）（2022.全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

答案C

解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.

设圆锥的高为底面半径为r,

则圆锥的体积/=3兀产〃=〃兀（1—8）〃，

则V=%(l—3/i2),

令V'3/Z2）=0,得。=坐，

所以v=*（i一小）,在（。，坐）上单调递增，

在1）上单调递减，

所以当〃=半时，四棱锥的体积最大.

（2）已知在三棱柱ABC—A/1G中，CCi±AC,AAXLBC,平面AJ5C_L平面A4/,AC=5,

若该三棱柱内存在体积为4苧7r的内切球，则三棱锥A-AiBC的体积为（）

24

A.qB.gC.2D.4

答案D

解析如图所示，

因为CG_LAC,A4i±BCOCCi±BC,AC^BC=C,AC,BC<=平面ABC,

所以CC」平面ABC,

又因为平面AiBC_L平面AA\B,

平面AiBCn平面AAiB=AiB,

过点A作

则AE_L平面ABC,

则AE±BC,

又因为44」8C,AAiAA£=A,AAi,A£u平面ABB4,

所以BC,平面48314,

又ABU平面42814,

所以AB_LBC

设AB=c,AC—b,BC—a,

则b2=a2+c2,

47r

又因为三棱柱内切球的体积为可,

设内切球的半径为R,

贝停=泰店,

—h

解得R=1,又R=，即c+a~b=29

a12+c2—25,

则

。+c=7，

解得ac=12,因为棱柱的高等于内切球直径2,

所以^A-\BC—^A-ABC~3X2X12X2=4,

故三棱锥A-AiBC的体积为4.

［总结提升］

空间几何体在高考题中主要考查表面积、体积问题，常见题型求解思路有两种，一是对于规

则的几何体直接使用公式法求解，二是将不规则的几何体分解成基本的柱、锥、台体，先求

这些柱、锥、台体的表面积或体积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积或体积.

提醒：组合体的表面积问题注意衔接部分的处理.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的

应用.

热点突破

1.（2023•深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。，底面圆的半径为8,则圆锥的侧面

积为（）

A.384兀B.392兀C.398兀D.404兀

答案A

解析设圆锥的半径为广，母线长为/,则r=8,

兀

由题意知，2nr=1l,

解得/=48,

所以圆锥的侧面积为兀"=8X48兀=384兀.

2.（2023•惠州模拟）如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC—A/1Ci中，AB=AC=2,ABLAC.

现往该容器内灌进一些水，水深为2,然后固定容器底面的一边A2于地面上，再将容器倾斜,

当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2）,则容器的高〃为（）

图1图2

A.272B.3C.4D.6

答案B

角牛才2矢口A|B|C]二5s△Age/，

其中。表示三棱柱的高，

故^C-AA^B~^ABC-&B1G-K?-4]B[G

^△为耳。1八一§S△ABic[i=]S^ABIGh,

因此，无水部分体积与有水部分体积之比为1：2,所以图1中高度之比为1：2,则h=3.

3.（2023・日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为九则球冠的面积5=2兀7吸如图1,已知该灯笼的高

为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需

布料的面积为（）

14cm

图1图2

A.1940兀cm2B.235071cm2

C.2400兀cm?D.2540兀cm2

答案C

解析由题意得，烂—用*2=72,所以R=25cm,

”,58-10

所以/?=25———=1(cm),

所以两个球冠的面积为2s=2X2成〃=2X2X71X25X1=100兀（cn?）,

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为ATIR2-25=4XnX252-1007t=24007c（cm2）.

4.（2023•娄底模拟）如图，在三棱柱ABC—A18C1中，AA」底面ABC,AB=BC=CA=AAi，

点。是棱AAi上的点，AD^AAr，若截面BOG分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比

为（）

C.4：9D.5：7

答案D

解析不妨令A3=8C=CA=AAi=4,且上、下底面为等边三角形，

又A4_L底面A5C,易知三棱柱ABC—A/1G为直三棱柱，所以侧面为正方形，

2

所以三棱柱ABC—481G的体积V=AAVS^ABC=4X1X4X^=16V3,

而AO=1,CC,=4,故%边形ACGD=%C（AO+CG）=10,

所以％—ACCQ=gx2/X10=呼，故VCi_AiBtBD=V-匕―ACCQ=喈，

所以匕-ACG。=）

5.（2023•佛山模拟）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之

重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.截至2022年

5月，“极目一号”皿型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050m,超

过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实

力.“极目一号”III型浮空艇长55m,高19m,若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一

个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（参考数据：

9.52-90,9.53弋857,315XI005弋316600,兀仁3.14）（）

ri

1r22Z22m

14m*',31.5m——H

图1图2

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m3

答案A

i(9

解析由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径R=tr=9.5(m),而圆台另一个底面

1417147r

的半径r—l(m),贝!]V半球一2义3义兀义9.53^(m3),

V圆柱=兀X9.52X14^1260兀(nP),

VM&=1'X（9.527t+A/9.527CXTI+71）X31.5^^（m3）,

所以V=V芈球+V酶260n+江警-9064（曲）.

6.（2023・西宁模拟）已知矩形ABC。的顶点都在球心为。的球面上，AB=3,BC=小，且四

棱锥。一ABCD的体积为4小，则球。的表面积为（）

A.76兀B.112TI

D224由兀

答案A

解析由题可知矩形A2C。所在截面圆的半径r即为矩形ABCD的对角线长度的一半,

VAB=3,BC=木,

73z+画

又矩形ABCD的面积S=ABBC=3y[3,

则0到平面ABCD的距离h满足卜34/?=44，

解得/?=4,故球的半径R=7户+附=遮,故球的表面积为4TIR2=76兀

7.（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台。。2，在轴截面A8C。

中，AB=AD=8C=2cm,且CD=2AB,则（）

A.该圆台的高为1cm

B.该圆台轴截面面积为外。cm2

C.该圆台的体积为Z季cm3

D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm

答案BCD

CD—AB_____

解析如图1,作BE,CO交8于点E,易得CE=-2—=l（cm）,则8£=转=d§（cm）,

图1

则圆台的高为小cm,故A错误；

圆台的轴截面面积为Bx（2+4）X，5=3，5（cm2）,故B正确；

圆台的体积为3义＜§＞＜（兀+4兀+如Zi）=4^（cm3）,故C正确；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm,底面半径为2cm,侧面展开图的圆心角夕=

2TIX2

-4-=兀，

TT

设P为的中点，连接CP,如图2,可得NC0£＞=2，0C=4cm,0P=3cm,

CBO

则CP=、42+32=5（cm）,从点C沿着该圆台的侧面爬行到A。的中点，所经过的最短路程为

5cm,故D正确.

8.（多选）（2023・新高考全国I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器

（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

答案ABD

解析对于A,因为0.99m＜lm,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于B,因为正方体的面对角线长为啦m,且啦＞1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于C,因为正方体的体对角线长为3m,且木＜1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C错误；

对于D,

因为可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，

4,______G

n51

4MEC

过AG的中点O作OE_LAG,

设OEHAC=E,

可知AC=W，CCi=l,ACi=V3，OA=坐,

那么

tan/CACi=/i1Czg=/会icy，

2

解得°E=乎,且普＞=亮=4卷Re?,

即乎＞0.6,

所以以ACi为轴可能对称放置底面直径为1.2m的圆柱,

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切,

设圆柱的底面圆心为01,与正方体下底面的切点为

可知OtM=0.6,

那么12»。。=泰=瑞，

%瑞

解得4。1=0.66，

根据对称性可知圆柱的高为

小一2X0.6啦21.732—1.2X1.414=0.0352＞0,01,

所以能够被整体放入正方体内，所以D正确.

9.(2023・辽阳模拟)将3个6cmX6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方

形均分成两个部分，如图(1)所示，将这6个部分接入一个边长为3gcm的正六边形上，如

图⑵所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为

________cm3.

图⑴图⑵

答案108

解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体,

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积

为正方体体积的一半，即gx63=108(cm3).

10.棱长为2的正方体ABC。-AiBiCid中，M,N分别为棱8S，的中点，则三棱锥4

一DiMN的体积为

答案1

解析如图，由正方体棱长为2,

113

得SJMN=2X2—2XgX2Xl-

又易知DiAi为三棱锥Di—AiMN的高，且。14=2,

,\7—

•・了三棱锥^一口脑v