2024学年辽宁省高二数学上学期12月联考试卷（附答案解析）

2024学年辽宁省名校高二数学上学期12月联考试卷

一、单选题(本大题共8小题)

1.90x91x.......xlOO可表示为()

・；

A.A；：。B.A；；。CA*D.A100

22

2.已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的左焦点为尸(-1,0),且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三

ab

角形的面积的最大值为6收，则椭圆。的方程为()

222222

22rXyY

A.二+匕=1B.±+Jc.土+匕=1D.—+—=1

98968765

3.若C：76=c：「2,则〃=()

A.2B.8C.2或8D.2或4

4.已知直线/：丘-丁-2左+2=0(0R)过定点0,若尸为圆C:(x-5)2+(尸6)2=4上任意一点，则

卢。|的最大值为()

A.3B.5C.7D.9

5.已知向量值=(2,-1,2),5=(一1,3,-3),?=(13,61),若一已忑共面,则4=()

A.2B.3C.4D.6

22oc

6.已知双曲线C：土+匕=1,则C的渐近线方程为了=咛》是C的离心率为9的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.如图，在正方体N8CD-44GA中，E是棱。2的中点，点尸在棱上，且取方高,

若4尸〃平面48E,则4=()

8.据典籍《周礼•春官》记载，"宫,商、角、徵‘羽"这五音是中国古乐的基本音阶，成语"五音不

全"就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求"宫"不为末音阶，"羽"

不为首音阶，"商""角"不相邻，则可以排成不同音序的种数是（

A.50B.64C.66D.78

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知在卜+亍J的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）

A.n=6B.展开式的各项系数和为243

C.展开式中奇数项的二项式系数和为16D.展开式中不含常数项

10.已知空间中三点/（2,0,1）,8（2,2,0）,C（0,2,1）,则（）

A.与向量方方向相同的单位向量是0,——,--—

（55J

B.池在刀上的投影向量是（TL0）

C.冠与瑟夹角的余弦值是:

D.坐标原点0（0,0,0）关于平面/3C的对称点是

11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点£处发出的光线,

经过双曲线在点尸处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点招，且双曲线在点P处的切线

平分/耳尸耳.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线。过点（3,-1）,其左、右焦点分别为

若从月发出的光线经双曲线右支上一点尸反射的光线为PQ,点尸处的切线交无轴于点T,

FX,F2.

则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的方程为/-/=8B.过点尸且垂直于PT的直线平分/月尸。

贝»尸刀=生兽

C.若PFJPQ,则附|.飓|=18D.若夕与=60。

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知P为抛物线丁=以上任意一点，F为抛物线的焦点，M（4,2）为平面内一定点，则

2

|尸川+|尸则的最小值为.

13.若直线x+(l+〃?)y-2=0和直线机x+2y+4=0平行，则加的值为.

14.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，分别是的中点，且

VA=VD=VE=\,则直线以与平面EBC所成角为四棱锥忆-8CDE的外接球的表

面积为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知（1+2x）~+（1+2x）3+…+（］+2x）"=9+%尤+a?x~+…+a.x".

⑴求〃的值；

a

⑵求^—）—（a2+a4+6—）的值；

⑶求。2的值.（结果用数字表示）

16.如图，在平行六面体/BCD-44GA中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的

夹角都是60°,M为4cl与3Q的交点.若9=万，AD=b,441=3,

(1)用瓦8,5表示而7;

(2)求对角线/G的长;

(3)求cos〈/8,/C］〉

17.在平面直角坐标系xQy中，已知动圆M与圆f+黄一2》=0内切，且与直线x=-2相切，设动

圆圆心M的轨迹为曲线£.

⑴求曲线E的方程；

⑵过点尸(1,0)作两条互相垂直的直线与曲线E相交于A,8两点和C,。两点，求四边形/CBD

3

的面积S的最小值.

18.在四棱柱N3CD—&BC]Z)]中，已知3c，平面48CZ),AD//BC,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,

BB『下,E是线段4。上的点.

(1)点G到平面与力的距离;

⑵若E为4。的中点，求异面直线。2与NE所成角的余弦值；

⑶在线段4。上是否存在点E，使得二面角的余弦值为亭？若存在，请确定£点位

置；若不存在，试说明理由.

19.通过研究发现对任意平面向量方=(x,y),把刀绕其起点A沿逆时针方向旋转。角可得到向

量4P=(xcos6-jsin仇居in6+广os。)，这一过程叫做把点8绕点A逆时针方向旋转(9角得到点尸.

⑴已知平面内点川-后2码,点8陵,-2@,把点B绕点A逆时针旋转三得到点P,求点P的

坐标；

22

⑵已知二次方程f+/-xy=l的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆1r+}=l(a>6>0)绕

原点。逆时针旋转三所得的斜椭圆C.

4

(i)求斜椭圆。的离心率；

//—i—\

(ii)过点。半，半作与两坐标轴都不平行的直线4交斜椭圆。于点过原点。作直线人与

J71

直线4垂直，直线乙交斜椭圆。于点G,",判断』+R3是否为定值？若是，请求出定值，

\MN\|OHI

若不是，请说明理由.

4

参考答案

1.【答案】B

【分析】根据排列数公式判断.

【详解】90x91x……xlOO=A；*o.

故选B.

2.【答案】A

【分析】根据题意列式求Ac,即可得方程.

【详解】因为椭圆C的左焦点为b（-L0）,所以c=L

又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为6板,

所以、2ax6=ab=642,

2

结合/=/+/=/+i,可得°=3,6=2^/^,

故椭圆C的方程为1+4=1.

9o

故选：A.

3.【答案】A

【分析】利用组合数的性质求出〃的值.

[3力+6V18

【详解】由组合数的性质可得而_2<18'解得“V4，

又C；16=c*2,所以3〃+6=4〃-2或3〃+6+4”—2=18，

解得〃=2或〃=8（舍去）

故此题答案为A.

4.【答案】C

【详解】由/:日一了一2左+2=0（左eR）,得了一2=左卜一2）,

所以直线/过定点。（2,2）,

由C:（尤-5）2+（y-6）2=4,知圆心坐标（5,6）,半径为2,

所以。到圆心的距离为d=J（5-2）2+（6-2）2=5>2,

所以。在圆外，故|PQ|的最大值为d+2=7.

故选：C.

5.【答案】B

5

【详解】因为a=(2,T,2),6=(-1,3,-3)3=(13,61),三个向量共面,

所以存在唯一实数对(尤)),使得》=拓+企，

-x+13y=2

所以(2,T2)=x(-l,3,-3)+y(13,6㈤，所以，3x+6y=-l,解得

-3x+yA=2

故选；B.

6.【答案】D

【详解】充分性：当双曲线c的焦点在x轴上时，由渐近线方程为歹=£》，知

4a4

所以离心率e=£5

4

当双曲线C的焦点在夕轴上时，由渐近线方程为了=±|》，知£=3，即2=:，

4b4a3

所以离心率e=?=jl+t：=,所以充分性不成立.

必要性：由离心率为知《=£=11+[2丫=3,所以2=?，

当双曲线C的焦点在x轴上时，渐近线方程为y=±2x=±：x；

a4

a4

当双曲线C的焦点在V轴上时，渐近线方程为y=±：x=±;X,所以必要性不成立.

b3

35

综上所述，C的渐近线方程为＞=与》是C的离心率为二的既不充分也不必要条件.

44

故选：D.

7.【答案】C

【详解】解法一：以A为坐标原点，工。,44所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,

6

则8(1,0,0),2(0,1,1),G(1,1,1),4(0,0,1),可得萩=(一1,0,1),砺=(一1,1,；

n-BA^=-x+z=0

设元=(x,y,z)是平面AXBE的法向量,则

n-BE=-x+y+^=0

令z=2,则x=2,y=l,BP«=(2,1,2),

由配'=(1,0,0),且取^2万高，可得尸(2,1，D(OV4V1),

又因为耳(1,0,1),则率=(2-1,1,0),

由Bp//平面&BE,可得人率=2("1)+1x1+2x0=0,

解得八！.

2

解法二：如图，取C£＞中点M,连接BM,EM,易证AR//EM,

所以平面4BE即为平面A.BME,

易知当下为G°i的中点时，B\F11BM,"Fa平面々BE,BMu平面48£,

从而用户//平面48£,所以2=：.

故选：C.

8.【答案】A

【详解】①若"宫"为首音阶，"商""角"可取24,25,35音阶，

排成的音序有C；A：A：=12种；

②若"宫"为第2音阶，"商""角"可取13,14,15,35音阶,

排成的音序有C；A；A；+A；=14种;

③若"宫”为第3音阶，"商""角"可取14,15,24,25音阶,

排成的音序有C；A；A；+C；A；=12种;

④若"宫"为第4音阶，"商""角"可取13,15,25,35音阶,

7

排成的音序有c；A；A；+C；A；=12种.

由分类加法计数原理可知，一共有12+14+12+12=50种排法.

故选：A.

9.【答案】BCD

【详解】A项，在龙+彳的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大,

C/C：是展开式的中间两项的二项式系数,

则”为奇数，且ck与C丁最大，

JnJn

M+1

所以〒=3,解得"5,A项错误;

B项，=35=243,故展开式的各项系数和为243,B项正确;

C项，的展开式中的二项式系数和为25=32,其中奇数项和偶数项的二项式系数和

相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16,C项正确;

D项，的展开式的通项公式为且,为整数,

cy-2小=C5-TXF<r<5

令5-彳3r=0,解得〃=1；0,不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确.

23

故选：BCD.

10.【答案】ABD

【详解】AB=(0,2,-1),AC=(-2,2,0),SC=(-2,0,^,

对于A,与向量与方向相同的单位向量是故A正确;

_AB-ACAC4(-2,2,0)/一小

对于B,冠在NC上的投影向量是:甲,府=翁已宕=(-1，1，°)，故B正确;

—rrcAB,BC1

对于C,cosAB,BC==--故c错误;

\ABrc\'f

对于D,设平面的法向量是五二(%,y,z),

8

AB•万=0\2y-z=0

则一，即:c八，令x=l，可得y=i,z=2,

AC-n=0[-2x+2y=0

所以平面的一个法向量是为=。,1,2）,

原点。（0,0,0）至1」平面/3C的距离d==1（2，。」）,，1,2.迈,

同V63

n「448、

坐标原点。（0,0,。）关于平面的对称点是2"同=[§，§，1），故D正确.

故选：ABD.

11.【答案】ABD

22

【分析】选项A,利用条件，设双曲线方程为=再利用双曲线过点（3,-1）,即可

aa

求解；选项B,根据条件，借助图形，即可求解；选项C,利用余弦定理及双曲线的定义，得到

2

v-___________cb

△取格一NRPF,，再结合条件，即可求解；选项D,利用C中结果七国巡ZF.PF,，

tan!——-tan--1———

22

再结合条件，即可求解.

22

【详解】对于A,因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为三-<=l（a>0）,

aa

a1

所以=-二=1,解得标=8，得到双曲线的方程为一一/=8,正确,

a'a"

对于B,如图，由题知/月尸7=/心尸7,NRPT=NQPM,所以/MPQ=NF?PT,

若HP1TM,所以NFFH=NQPH,正确，

对于C,记|尸甲=叫尸耳=〃，所以

222

闺闻2=m+n_2mncosZFxPF2=(m-n)+2mn-2mncosAFXPF2,

2/721

又由闾=2c,m-〃=2。，得到小"=—os/—，又$△尸0=不加〃sin//尸尸2，

lx24

9

所以S△及%=^x］嬴2正义51必77里=京三百，又4”三,

一2

由工加〃=-——=8,得加〃=16,错误，

2tan45°

对于D,因为4尸6=60。，|尸白卜叫尸闾=〃，

由—mHsin60°=--—，得mn=32，

2tan30P

又m—n=Aypi，得至iJ加之—2加〃+/=32,得至ll加之+/=95,

从而有(冽+=160,得到m+n=4V10,

b2[Z)2

由—m|P7|sin30o+—n.pT|sin30°=得至！J-(m+力I尸外sin300=-----

2112tan302V711tan3(F

从而有3（机+〃）|尸小①30°=—=873,解得户7|=生?

正确,

故选ABD.

12.【答案】5

【分析】

利用抛物线的定义，将|尸尸|转化为P到准线的距离，再由三点共线求最小值.

【详解】

由题意，抛物线的准线为x=-l,焦点坐标为尸。,0）,过点尸向准线作垂线，垂足为A,则

\PF\+\PM\=\PA\+\PM\,

当P,M,/共线时，和最小；过点尸向准线作垂线，垂足为8,则归人+|尸闾=|尸/|+|9闺九@=5,

所以最小值为5.

故答案为：5.

13.【答案】1

【详解】由于两直线平行，所以1x2=0+〃。加，

10

解得加=1或加=-2,

当加=1时，两直线方程为％+2>—2=0、、+2>+4=0,符合题意.

当冽=—2时，两直线方程为x—y—2=0、—2x+2y+4=0,

即x—y—2=0、x—>―2=0,两直线重合，不符合题意.

所以加的值为1.

故答案为：1

■■71117T

14.【答案】--

22

【详解】以3c中点。为原点，直线CM为X轴，直线。3为V轴，过点O与平面A8C垂直的直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

底面ABC是边长为2的等边二角形，AB=BC=AC=2,AO=V3,

分别是的中点，且以=ED=J7£=1,

所以三棱锥忆-/E。为正四面体，作物，平面4BC于点石，

则H为等边三角形4ED的重心，AH=-AM=-AO=—,HM=-,VH=yJVA2-AH2

33363

则。(0,0,0),4(6,0,0),5(0,1,0),c(o,-i,o)，H半0,事,

则数=(0,-2,0),VB=廿士=(-V3,l,o).

1—7

设为=(%//)为平面阳C的一个法向量,

-2y=0

BC,元=0

则r一，即＜V6_

VB-n=0-----x+V----z=0

133

令X=1,则y=0,z=-V2，

则元=(1,0,-收)为平面EBC的一个法向量,

11

n付

又以=----

所以归〃为,

所以直线以与平面EBC所成角为£

2

因为ADOCQEOB都为等边三角形，DO=OC=OB=OE=l,

所以球心在过BC中点与平面4BC垂直的直线上，

（2巧后、

设球心G（O,OM）,半径为R,则％G=GC=R,忆,C（0,-1,0）,

所以「痣丫22

m------=1+m=Rf解得加==

3744

.11兀

故四棱锥忆-5CDE的外接球的表面积为手.

故答案为：生方

15.【答案】（1）10；

(2)8；

(3)660.

【分析】（1）利用给定等式，取x=0求出"值.

（2）根据给定等式，取尤=-1即可得解.

（3）求出（l+2x）〃展开式的通项公式，再结合组合数的性质求出外.

【详](1)(1+2x)2+(1+2x)3H----F(1+2%)”=9+ci^x+a2%?H—+a/"中，

令x=0,得〃-1=9,所以〃=10.

(2)在(1+2x)2+(1+2x)3+,,,+(1+2x)1。=9+qx+CL^X^+…+cinx^中，

令X=—1,得9—Q]+2一％----。9+。10=1—1+1—1+，bl—1+1=1,

月f以(%+%+〃5)一(“2+%+4)=8,

(3)(1+2x)n的展开式的通项公式&]=C；(2%丫=才CJX,

因止匕的=22(C；+C；+C；+…+C：o)=4(C；+C；+C；+…+C；o)=4C：i=66O.

所以的=660.

16.【答案】(1)—5H—b+c•(2)yj~6;(3).

223

12

【详解】（1）连接/0/c,/G，如图:

在,根据向量减法法则可得：BAX=AAX-AB=c-a

因为底面45cZ）是平行四边形

故/=次+而=五+B

因为4。//44且|4C|二|4G|

A^Cx=AC=a+b

又M为线段4G中点

——►1——►1一

・•.AXM=-AxCx=-(a+b)

在AA[MB中

BM=BA{+A^i=c-a+^+b)=-$+/+(?

(2)因为顶点A为端点的三条棱长都是工，且它们彼此的夹角都是60,

故5.B=同同coMO。=；

a-c=\a\-\c\cos600=g

一一„1

b-c=\b|-|c|cos60=-

由(1)可知/C=a+6

故平行四边形44CG中

故：IC^AC+TA^a+b+c

|1C|2=(^C)2=(a+ft+c)2

=(a)2+(b)2+(c)2+2a-b+2a-c+2b-c

13

=|5|2+1|2+|c|2+215|•||cos60°+215|•|c|cos60°+2\b\-\c\cos60°

=l+l+l+2x-+2x-+2x-=6

222

故|ACX|=V6

（3）因为=N+B+AB=a

a-（d+b+c）

又cos(屈就.皿-

1.V6

_（a）2+a-b+a-c_^+2+2_2_&>

V6V6-V6-3

17.【答案】（l）/=4x

(2)32

【分析】(1)利用圆和圆，圆和直线的位置关系的性质和抛物线的定义即可求解.

(2)设直线的方程为1=切+1,加。0,联立方程组得力IPi+为V?-4m,，，再利用抛物线的的性质

1yM=-4，

求|/同，同理求最后利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)设圆M的半径为「，圆龙2+「-2x=0的圆心尸(1,0),半径为1,

因为圆”与圆尸内切，且与直线尤=-2相切,

所以圆心W到直线x=-2的距离为「，因此圆心M到直线x=-l的距离为一1,且VR=r-l,

故圆心/到点尸的距离与到直线x=-l的距离相等,

据抛物线的定义，曲线E是以尸。,0)为焦点,直线产-1为准线的抛物线，所以曲线E的方程为

y2=4x.

(2)设直线的方程为x=〃9+1,〃-0,」（"J,B（x2,y2）.

x=my+1,乂+%=4"?,

联立方程组2_4整理得y-4加了-4=0,故

.弘力=一4

所以AB=AF+BF=x{+l+x2+\=myx+1+l+mj2+1+1

=冽（必+»2）+4=4m2+4.

因为直线。的方程为x=-Ly+l,

m

14

4

同理可得C0=F+4.

m

所以$机2+4)[=+4)=812+TT?+1)

28(2+2jl」]=32,

Vm

当且仅当加=4，即加=±i时，取等号.

"T

⑵回

10

⑶存在，点E在Z）处或在靠近耳的三等分点处

【详解】（1）过/作直线z,平面NBCD,

则可以点/为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则有4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,2,0),巴(1,1,2),G(1,1,2),

则西=(0,0,2),CD=(-l,l,0),西=西=(0,1,2),

n-CB,=2w=0

设面B】CD的一个法向量为五=（〃,％•）,贝!J__J

nCD=-u+v=0

15

令式=1,则v=l,w=Q,所以元=(1,1,0),

CC.-ni

所以点。到面却力的距离d=

n飞=2

1313

(2)因为E为稣D的中点，所以E，1，所以/E=,1DD=函=(0,1,2),

2'22'2t

3+2

V70

所以cos(4E,£>〃>=]AE-DQ2

AE\10

DDXlxVi+4

所以异面直线与所成角的余弦值为画.

10

(3)设瓦=2函=2(1,-1,2)=(九一九22),其中0VXW1,

则/E=AD+DE=(42-422),=(1,1,0),AD=(0,2,0),

设平面/CE的一个法向量为力=(x,y,z),

•AE=Xx+(2-2)y+2Az=0

则有令x=A,贝1]>=一4,z=l-A,

n•AC=x+y=0

所以平面NCE的一个法向量为为=(九-2,1-刈,

设平面/DE的一个法向量为所=(a,6,c),

m-AE=Aa+(2—A)b+2Ac=0

则_，令。=1,则b=0,a=—2,

m-AD=2b=0

所以平面/DE的一个法向量为丽=(-2,0,1),

/一一\m.几1-32

所以c°s施〃人而

>/5-^22+22+(1-2)2

若存在点E,使得二面角C-/D-E的余弦值为9，

则——「3%二呼,所以3%—22=0,解得2=0或2=2,

V5j22+22+(l-2)5