2025高考数学一轮复习：直线与圆锥曲线【含答案】

对点练63直线与圆锥曲线

【A级基础巩固】

72

1.直线y=近一左+1与椭圆5+：=1的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

2.(2022.全国乙卷)设R为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若

\AF\=\BF\,则依用=()

A.2B.2^2

C.3D.3y[2

3.(2023・新高考H卷)已知椭圆C：(+y2=i的左、右焦点分别为仍，直线y

=龙十机与C交于A,3两点，若面积是△f'MB面积的2倍，则m=()

A.|B坐

c-或D-2

4.已知直线/的方程为了=近一1,双曲线C的方程为一一y2=i.若直线/与双曲线

C的右支交于不同的两点，则实数左的取值范围是()

A.(一色，也)B.[l,也)

C.[-y[2,72]D.(l,乖

5.双曲线有一个几何性质：从一个焦点射出的光线射到双曲线上一点M,经双曲

线在点M处的切线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.已知双曲线3

丫2

-^2=l(tz>0,人>0)的左、右焦点分别为R1(—3,0),F2(3,0),从人射出的光线

投射到双曲线上一点经双曲线在点〃处的切线/：y=x+l反射后，反射光

线的反向延长线经过点Fi,则«=()

A.3B.小

C.5D.小

6.（多选）已知双曲线C过点（3,乖,且渐近线方程为丁=士坐，则（）

A.双曲线C的方程为［―丁=1

B.左焦点到渐近线的距离为1

C.直线x—也y—1=0与双曲线C有两个公共点

D.过右焦点截双曲线C所得弦长为2小的直线有三条

?2

7.（多选）设椭圆的方程为5+：=1,斜率为左的直线不经过原点。，而且与椭圆相

交于A,3两点，M为线段A3的中点.下列结论正确的是（）

A.直线AB与OM垂直

B.若点M坐标为（1,1）,则直线方程为2x+y—3=0

C.若直线方程为产x+1,则点M坐标为8

D.若直线方程为y=x+2,则发为=发

8.过点P（2,2）作抛物线y2=2x的切线/,切线/在y轴上的截距为..

9.以A（2,1）为中点的双曲线C：2N—产=2的弦所在直线的方程为..

10.（2024.宁波调研）如图，抛物线C：>2=2力防>0）的焦点为RC的准线与x轴交

于点A,过点F斜率为小的直线与C交于点M,N（M在x轴上方），则黑=

11.（2024・烟台测试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为Fi,F2,

离心率为y短轴顶点分别为M,N,四边形的面积为32.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）直线/交椭圆C于A,3两点，若A3的中点坐标为（一2,1）,求直线/的方程.

12.已知双曲线C：，*l(a＞0,人＞0)与双曲线卜弓=1的渐近线相同，且经过

点(2,3).

(1)求双曲线C的方程；

3

(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为A,Fi,直线/经过八，倾斜角为邢，/与

双曲线C交于A,3两点，求的面积.

【B级能力提升】

13.(2022.新高考I卷改编)已知椭圆C：泌＞0),C的上顶点为A,两个

焦点为乃，Fi,离心率为去过人且垂直于的直线与。交于。，E两点，\DE\

=6,则△ADE的周长是()

A.8B.10

C.13D.16

14.(2021.新高考I卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点Fi(—5,0),放(，行,

0),点M满足|MR|一|“冏=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

⑵设点T在直线x=T上，过T的两条直线分别交C于A,3两点和P,。两点,

^.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

对点练63直线与圆锥曲线答案

1.A[直线丁=入一左+l=-x—1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,

故直线与椭圆相交.]

2.B[由题意可知"1,0),

抛物线的准线方程为x=-l.

设A(*yo),则由抛物线的定义可知

\AF]=^+1,

又|3网=3—1=2,

故由|4川=|3W，可得,+1=2,

解得州=±2,所以A(l,2)或A(l,-2).

不妨取A(l,2),

故|A3|=y/(1-3)2+(2-0)2=272.]

3.C[由题意，品(一爽，0),F2(^2,0),△BAB面积是△放A3面积的2倍，

所以点Fi到直线A3的距离是点仍到直线A3的距离的2倍，

l-y/2+ml|啦+词

即也=2义2

、历

解得加=—半或机=—3班(此时直线与椭圆。不相交，舍去).]

y—kx一19

整理得(1一广]+2区一2=0,

因为直线丁=履一1与双曲线f—产=1的右支交于不同的两点,

1一以0,

4=4后+8(1—公)＞0,

所以＜—dO＞k0，解得1＜左＜出r-，

1K

-2

所以实数上的取值范围为(1,陋).]

5.D［联立“2—庐一，

y=x+l,

得（"—i/2）%2—2crx—a1—a1b1=Q,

则A=4a4+4（Z?2—a2）（a2+a2b2）=0,

即/+（/—/）（］+尻）=0,

又b2=9—a2,

所以/+（9—2/）（10—/）=o,

即14届+45=0,

解得a=小或a=3（舍去）.］

6.ABD［因为双曲线的渐近线方程为y=±东，且点（3,6）与原点连线的斜率

小于当

Y2

所以可设双曲线方程为了一丁2=加（加W0）.

又双曲线过点（3,地），所以加=不一（地＞=1,

所以双曲线C的方程为弓一y2=l,A正确；

由双曲线方程知次=3,b2=l,c=N次+4=2,

则左焦点为（一2,0）,渐近线方程为x±^y=0,

1—21

则左焦点到渐近线的距离d=1J।厂，=1,B正确；

y/i2+（±V§）2

将直线与双曲线C的方程联立并消x整理得

y2-2yj2y+2=0,

因为/=（—2^）2—4X1X2=O,

所以直线与双曲线只有一个公共点，C错误；

因为双曲线的通径长为当=1=辛＜2小，

所以过右焦点，两端点都在右支上且弦长为2小的弦有两条,

又双曲线的两顶点间距离为2a=2小,

所以端点在双曲线左、右两支上且弦长为2小的弦只有一条，为实轴.

综上，过右焦点截双曲线C所得弦长为2小的直线有三条，D正确.]

2

7.BD[对于A,设Mx。，泗)，根据椭圆的中点弦的性质知人•%〃=—黑贵

4

一5=—2力一1,A不正确；

对于B,根据左A3•左-2,所以-2,

所以直线方程为y-l=-2(x-l),

即2x~\~y—3=0,B正确；

对于C,若直线方程为y=x+l,点才，

则上AB•左OM=L4=4W—2,C不正确；

22

对于D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程5+1=1联立，整理得3x2+4x=0,

一4I-------44s

解得xi=0,X2=—y所以|AB|=L1+12—^―0=一"，D正确.]

8.1•点P(2,2)在第一象限，由y2=2x,

得y》0,则

V21

则曲线在点处的切线的斜率左=

P(2,2)2也一2,

切线方程为J—2=|(x—2),

令x=0,得y=1,

切线/在y轴上的截距为1.]

9.4x-y-7=0[设A(2,1)是弦P1P2的中点,

且P1（X1,yi）,P2（X2,丁2）,

则XI+X2=4,>1+”=2,

,2%?一兄=2,

VP1,P2在双曲线上,

、2胞一次=2,

•*.2（X1+x2）（xi-X2）—（yi+y2）。1一丁2）=0,

2X4(xi-X2)—2(yi~yi),

X1~X2

：.以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y—l=4(x—2),

整理得4x—y—7=0.

4x—y—7=0,

2

联立J99得14%—56x+51=0,

•；/=(—56)2—4X14X51>0.

/.以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x-j-7=0.]

10.3[由题可得，堵，0),A(一多0；

直线MN：尸小(x一百，与抛物线方程联立，

消元后化简可得3/—5川+%2=0,

解得碰=呼>,XN=g,

所以a=\[2c,

因为a2=b2-\~c2,

所以b=c.

因为四边形MFiNF2的面积为32,

所以2A=32,

所以Z?=c=4,a=4巾,

22

故椭圆C的标准方程为套+£=1.

321O

(2)由题意得，直线/的斜率存在.

设A(xi,yi),3(x2,yi),

两式相减得营十三=。

>2___1__X_I__+_1__2_

所以一一9'_L-

XI—X22yl十'2

因为A3的中点坐标为（一2,1）在椭圆内部,

所以“昔=1,所以直线/的斜率为1，

故直线I的方程为y—1=x+2,即x—y+3=0.

12.解(1)设所求双曲线C的方程为卷=九

3222

代入点(2,3)得石■一了=4,

即A=—1,

v2Y21

・•.双曲线C的方程为高一、=—/

o22

即X2—^-=1.

(2)由(1)知，Fi(-2,0),F2(2,0),

由题意得直线A3的方程为y=~(x-2),

即x~\~y—2=0.

设A(%i,yi),B(X2,⑼，

x~\~y—2=0,

2

联立|9y得2f+4x—7=0,

[-3=1，

满足/>0且％1+%2=-2,X1X2=-29

由弦长公式得|AB|=71+修田一工2|

=W+(-1)2xyJ(-2)2—4X(g

=72X3^2=6,

点尸1(—2,0)到直线Ab冗+y—2=0的距离

|—2+0-2|I—

4^^=2隹

所以SAFiAB=g[ABM=gx6X2@=6道.

13.C[如图，连接AB,DFi,EF2,

因为。的离心率为3,

所以c冷1，

所以a=2c,所以52=4—°2=302.

因为|=\AF2\=a=2c=IF1F2I,

所以△ABg为等边三角形，

又DE±AF2,

所以直线DE为线段AR2的垂直平分线,

所以区。|=储园，\AE\=\EFi\,

且NEfYF2=30°,

所以直线DE的方程为y=3(x+c),

22

代入椭圆C的方程上十*=1,

得isr+gcx—32c2=0.

设£>(xi,yi),E(X2,yi),

32c2

则Xl+X2=­X1X2

所以。=2。=彳，

所以△ADE的周长为|AD|+\AE\+\DE\=

|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13.]

14.解⑴因为|MB|一|M园=2＜下而|

=2后

所以点M的轨迹C是以尬分别为左、右焦点的双曲线的右支.

设双曲线的方程为，=1(。＞0，b＞Q),

半焦距为c,则2a=2,c=yl~n,

得a=1,b