2025高考物理一轮复习突破：动态平衡 平衡中的临界、极值

专题突破课2、动态平衡平衡中的临界、极值

目标要求1.学会用解析法、图解法、三角形相似法等解决动态平衡问题。

2.会分析平衡中的临界与极值问题。

考点一动态平衡问题

1.动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个

过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”等字眼。

2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。

3.常用方法

(1)解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平

衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自

变量的变化确定因变量的变化。

(2)图解法

①特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。

②方法

受力化"动"为"静”画不同状态“静”中求“动；|确定力|

分析|1下的平衡图|1的变化|

(3)三角形相似法

①特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化,

且题目给出了空间几何关系。

②方法：对物体在某个位置作受力分析；以两个变力为邻边，利用平行四边

形定则，作平行四边形；找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；利用相

似三角形对应边的比例关系确定力的变化。

EE(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。

一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M相连，系统处于

静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成

45°-已知〃始终保持静止，则在此过程中()

A.水平拉力的大小可能保持不变

B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

解析：BD选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力口缓慢拉

动N的过程中，水平拉力R逐渐增大，细绳的拉力尸r逐渐增大，选项A错误，

B正确；对M受力分析，如图乙所示，受重力GM、支持力FN、绳的拉力五以

及斜面对它的摩擦力Ffo若开始时斜面对M的摩擦力B沿斜面向上，则FT+Ff

=Gwsin0,无逐渐增大，B逐渐减小，当人减小到零后，再反向增大。若开始

时斜面对M的摩擦力历沿斜面向下，此时，F-T=GMsm3+Ft,当尸r逐渐增大时，

B逐渐增大，C错误，D正确。

1.（解析法）如图所示，甲、乙两同学通过定滑轮和细绳将重物从左侧平台运送

到右侧平台，初始甲、乙拉绳使物体静止在图中位置（如实线所示），此时甲所拉

细绳恰好沿水平方向。忽略滑轮与绳子间的摩擦和绳子质量，若甲缓慢释放细绳

的同时保持手中细绳沿水平方向，乙缓慢收绳且始终保持静止，则下列说法正确

的是（）

A.甲手中细绳的拉力不断增大

B.乙手中细绳的拉力不断增大

C.乙对地面的压力不断增大

D.乙受到地面的摩擦力不变

解析：C选结点为研究对象，设刚开始时左侧绳与竖直方向的夹角为a,则

甲手中细绳即水平绳拉力F=mgtana,左侧绳拉力氏=果,物体缓慢向右移动

的过程中a减小，可见甲手中细绳即水平绳拉力/减小，左侧绳拉力尸r减小，

左侧绳拉力与右侧绳拉力即乙手中细绳的拉力大小相等，所以乙手中细绳的拉力

减小，选项AB错误；对乙受力分析，设右侧绳与竖直方向的夹角为人在竖直

方向有RN+RTCOS4=机乙g,绳拉力尸r减小，4不变，则乙受到的支持力变大，

根据牛顿第三定律可知乙对地面的压力不断增大，选项C正确；对乙受力分析，

在水平方向有Ff=FTsin^,绳拉力Fr减小，夕不变，则乙受到地面的摩擦力减小，

选项D错误。故选C。

2.（图解法）在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所

示的方法。已知油桶重力大小为G,斜面的倾角为。。当工人对油桶施加方向不

同的推力R时，油桶始终处于匀速运动状态。假设斜面与油桶的接触面光滑。在

推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的

是（）

A.若力R沿水平方向，R的大小为Gsin。

B.若力R沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为Geos6

C.F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大

D.F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力R的最小值为Gsin。

解析：D当力R沿水平方向时，由于油箱为匀速运动状态，因此受力平衡,

则水平和竖直方向上有R=RNsin。，FNCOS0=G,解得R=Gtan。，FN=^^,故

AB错误；当力R由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析图如

图所示，故支持力在逐渐变小，且推力最小为力R和支持力K垂直，也即沿斜

面方向，此时最小值为Rmin=Gsin6,故C错误，D正确。故选D。

3.（相似三角形法）（多选）如图所示，竖直杆一端固定在地面上，另一端固定一

定滑轮，轻质硬杆A。可绕转轴A在竖直平面内自由转动，细绳悬挂一重物,

细绳C。跨过定滑轮。在细绳C。末端施加一拉力F,初态时重物静止在位置I（如

图中实线所示），现改变拉力R的大小，使重物静止在位置n（如图中虚线所示，

A。水平），不计各处的摩擦，下列说法正确的是（）

A.位置I硬杆A。上的力为拉力

B.位置H细绳C。上的力大于硬杆A。上的力

C.两位置硬杆A0上的力大小相等

D.位置I细绳c。上的力小于位置n细绳c。上的力

解析：BC位置I硬杆A。上的力为支持力，若A。上的力为拉力的话，C。

绳上也为拉力，。点在水平方向无法平衡，A错误；在位置n时，。点的受力如

图所示。设C。绳与水平方向夹角为仇由平衡条件可得T=恚〉F,即在位置

n细绳C。上的力大于硬杆A。上的力，B正确；由相似三角形可得£=翳=£,

解得T=^mg,由于A。、AC长度不变，F不变,即两位置硬杆A。

上的力大小相等，由于C。缩短，T减小，即位置I细绳C。上的力大于位置H

细绳C。上的力，C正确，D错误。故选BC。

4.(动态圆法)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端0固定，其中间某点胫拴一

重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，竖直且被拉直，0M与MN之

间的夹角为a(a>$。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角a不变。在

由竖直被拉到水平的过程中，下列说法正确的是()

TO

1VI

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OAf上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

解析：AD以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、0M绳上拉力F2、

MNk拉力Fi,由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、

放的夹角为兀一。不变，在五2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，

由图可知，上的张力为逐渐增大，上的张力正2先增大后减小，所以A、

D正确，B、C错误。

考点二平衡中的临界、极值

1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物

体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚

好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

(2)绳子恰好绷紧，拉力无=0。

(3)刚好离开接触面，支持力FN=0O

2.极值问题：平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小

值问题。

3.解答平衡中的临界极值问题的三种方法

根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利

图解法

用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值

通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画

解析法出函数图像）,用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、

三角函数极值）

正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值

极限法点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界

问题，要把某个物理量推向极大或极小

EG（多选）日常生活中，放在水平地面上的箱子可能被拖着运动，也可能

被推着运动。一箱子和水平面之间的动摩擦因数为〃，且〃<1,对箱子施加一外

力R方向与水平面的夹角为仇下列说法正确的是（）

A.用斜向上的力拉箱子匀速运动，当tan6=〃时最省力

B.用斜向上的力拉箱子匀速运动，当tan时最省力

C.用斜向下的力推箱子，当tan。小时不可能推动箱子

D.用斜向下的力推箱子，当tan时不可能推动箱子

解析：AD用斜向上的力拉箱子匀速运动，根据受力平衡可得Feos6=Fi

=AFN=ju（mg-Fsin8）,解得R=公詈.〃=~二7，其中sina

=&/,Cos当a+6=90°，力/有最小值，则有tan°=导W=器

=〃，故A正确，B错误；用斜向下的力推箱子，若满足Feos。（〃尸sin〃（bsin。

+mg）=Ffmax,可得cos8<〃sin。，即tan。J,则不可能推动箱子，故C错误，D

正确。故选AD。

【对点训练】

5.（图解法）如图所示，将质量为机的球放在A3和CD两个与纸面垂直的光滑

板之间，两板与水平面夹角6=a=30°并保持静止。A3板固定，CD板与A3板

活动连接，CD板可绕通过。点且垂直纸面的轴转动。在。角缓慢地由30°增大

到75°的过程中（）

A.球对AB板压力的最大值为05冤g

B.球对AB板压力的最大值为mg

C.球对AB板压力的最大值为

D.球对AB板压力的最大值为L5/ng

解析：B小球在重力mg、A3板的支持力FNI>CD板的支持力r&2三个力

作用下保持平衡状态，在。角缓慢地由30。增大到75。的过程中，小球的重力保

持不变，A3板对球的支持力方向不变，只有CD板对球的支持力方向在变化，如

图所示分别是小球在CD与水平面夹角在30。和75。的受力情景图。根据三角形

定则，可知随着。角缓慢地增大，A3板对球支持力也逐渐增大，当9=75°时，

A3板对球的支持力最大，从受力图可知A3板对球的支持力等于小球的重力，根

据牛顿第三定律可得球对A3板压力的最大值为mg,B正确，ACD错误；故选B。

FNIFN1

mgmg

8=3()°0=75°

6.（解析法）一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力

拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为6N,g取lOm/s2,滑动摩擦力等

于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数〃及最小拉力与水平方向的夹角

。的正切值tan8分别为（）

333

tan0=0tan0=4

「3八4「3八3

C.〃=a，tan0=2D.〃=g,tan夕=5

解析：B物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角。不同,

物体与水平地面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分

力与滑动摩擦力大小相等。以物体为研究对象，受力分析如图所示。因为物体处

于平衡状态，在水平方向上有Feos6=〃RN,在竖直方向上有Fsin0-\-F^=mg,

解得尸=一烧.A=/一、，其中tan0=）,当8+9=90°，即。

COSe+〃smeqI+^2sin（。+。）〃

=arctan〃时，sin（0+^）=l,'有最小值居五=J?代入数值得〃=*此时

7.（极限法）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m

和2机的物块A、B,通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、3间的接触面和轻

绳均与木板平行。A与3间、3与木板间的动摩擦因数均为〃，设最大静摩擦力

等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、3刚好要滑动，则

〃的值为（）

解析：C根据题述，物块A、3刚要滑动，可知A、3之间的摩擦力FMB=

〃加geos45°；3与木板之间的摩擦力mgeos45°。隔离A分析受力，由平

衡条件可得轻绳中拉力歹=注记+机gsin45°；对A、5整体，由平衡条件有2R=

3mgsin45°-Ff,联立解得〃=/选项C正确。

限时规范训练8

［基础巩固题组］

1.如图所示，一只蜗牛沿着弧形菜叶从右向左缓慢爬行，下列说法正确的是

，.%|||/."Ui

左端石顺

A.菜叶对蜗牛的弹力大小一定不变

B.菜叶对蜗牛的摩擦力大小先变小后变大

C.蜗牛受到的合力先变小后变大

D.菜叶对蜗牛的作用力大小不断变化

解析：B蜗牛受重力、支持力、摩擦力，设坡角为a,根据平衡条件可得

FN=mgcosa,Ff=mgsina,由于坡角a先变小后变大，故支持力RN先增大后减

小，静摩擦力先减小后增大，故A错误，B正确；蜗牛缓慢爬行，则受到的合力

始终为零，选项C错误；菜叶对蜗牛的作用力是静摩擦力和支持力的合力，始终

与重力平衡，一直不变，故D错误。

2.如图甲所示，某人正在竖直向下拉绳子负重健身，图乙是其简化图，其中

0点是三根轻绳的结点，绳c关于绳a对称，健身者保持。点位置不变紧拉6、

c绳，对称缓慢减小绳。、c间的夹角，此过程（）

乙甲

A.绳子a的拉力逐渐增大

B.绳子c的拉力逐渐减小

C.绳子仄。的合力逐渐减小

D.绳子a、b、c的拉力逐渐增大

解析：B绳子氏c拉力的合力与a的拉力相等，保持。点位置不变，则绳

子a的拉力不变，绳子从c拉力相等且合力不变，设绳。、。间的夹角仇则及

=2见cos3，则当夹角。减小时，绳子氏c的拉力逐渐减小。故选B。

3.（多选）如图所示，竖直墙壁上固定一支架WON,其中水平杆表面粗糙,

倾斜杆ON表面光滑。杆0M、杆ON上分别套有小环尸、Q,两环由不可伸长的

细绳相连，处于平衡状态，现将尸环向右移动少许重新达到平衡。那么移动后的

平衡状态和原来的平衡状态（图示状态）相比较，下列说法正确的是（）

A.杆ON对环Q的弹力一定变大

B.细绳对环Q的拉力可能变大

C.杆对环P的弹力一定变小

D.杆对环P的摩擦力可能不变

解析：AC对物体。进行受力分析，重力大小方向不变，支持力方向不变，

所以根据矢量三角形可知，当将P环向右移动少许重新达到平衡，即拉力无从1

位置处变成2位置处，如图甲所示。可看出杆ON对环Q的弹力一定变大，细绳

的拉力无变小，A正确，B错误；对尸、。整体作受力分析如图乙所示。由于杆

ON对环Q的弹力K变大，所以环P与杆间的弹力变小，杆ON对环

。的弹力人在水平方向上的分力变大，所以杆对环P的摩擦力也变大，C

正确，D错误。故选AC。

mg

甲乙

4.（2022.河北卷）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P

点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持

不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（）

A.圆柱体对木板的压力逐渐增大

B.圆柱体对木板的压力先增大后减小

C.两根细绳上的拉力均先增大后减小

D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变

解析：B设两绳子对圆柱体拉力的合力为T,圆柱体的受力（侧视图）如图所

示，根据正弦定理磊=磊=白，当木板缓慢转动直至水平的过程中，夕保

Dm〃c/miCA

持不变，sin^不变，。由直角逐渐减小，sin0减小，a由锐角逐渐增大变为钝角，

sina先增大后减小，故T减小，人先增大后减小，故A错误，B正确；由于两

绳拉力的合力T减小，而两绳的夹角保持不变，故两绳上的拉力减小，故C、D

错误。

5.港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快

速成岛技术，1600t起重船“振浮8号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到

海底，然后在中间填土形成人工岛（如图甲），每个圆钢筒的直径为22.5m,高度

为55m,质量为5503由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次

试吊将其吊在空中，每根绳与竖直方向的夹角为37°,如图乙所示，每根绳所能

承受的最大拉力为8.0X105N,则至少需要多少根绳子才能成功起吊（sin37°=

0.6,cos37°=0.8)(

A.7根B.8根

C.9根D.10根

解析：C设”根绳拉力在竖直方向的分矢量和与重力大小相等、方向相反。

则mg=nFcos37°,由题知F<8.0XIO5N,得“土。急7。一=8OX产，6,

即至少需要9根绳子才能成功起吊。故选C。

6.（多选）如图所示，小球〃、Z?质量均为根，用细线相连并悬挂于。点。现用

一轻质弹簧给小球。施加一个拉力F,使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直

方向的夹角为6=30。，已知弹簧的劲度系数为总重力加速度为g,则弹簧形变

量可能为（）

鳖

k

n巾mg

JKu-2k

解析：AC根据题意，以小球以6整体为研究对象，分析受力，作出R在

几个方向时整体的受力图如图所示。根据平衡条件可知，R与T的合力与整体重

力2机g总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当R与绳子0a垂直时，

R有最小值，即图中2位置，R的最小值为Rmin=2mgsin6=机g,根据胡克定律有

Fmin=kXrrnn,解得Xnnn=等，即弹簧的形变量的取值范围为X》等，故选AC。

KK

7.如图，滑块A置于水平地面上，滑块8在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B

接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑，已知A与5间的动摩擦因数

为〃1,A与地面间的动摩擦因数为〃2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与5的

质量之比为（）

11—U1L12

A.-----B---------

・〃1〃2・/Z1/Z2

1+//1//22+〃l〃2

,林1林2'林1林2

解析：B对A、3整体分析，受重力、支持力、推力和最大静摩擦力，根据

平衡条件，有歹=〃2（如+/«2）g①，再对滑块3分析，受推力、重力、向左的支

持力和向上的最大静摩擦力，根据平衡条件有：水平方向歹=无，竖直方向机2g

=Ff,其中联立有②，联立①②解得暨=7詈，故选B。

［能力提升题组］

8.北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于

玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。

若支撑点距水平地面的高度为小m,木棍与水平地面间的动摩擦因数为竽，木

棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力,

为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为（）

A.1.5mB.小m

C.2mD.2小m

解析：C设木棍与水平方向夹角为仇木棍长度为L,粮仓对木棍的作用力

大小为F,则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Reos6W〃八in。，由

几何知识有tan。=近，，两式联立解得LW2m,即木棍的长度最大为2m,

故A、B、D错误，C正确。

9.（多选）如图天花板下面用细线0C悬挂一光滑轻质滑轮，小物块A置于斜面

。上，斜面。置于粗糙的水平地面上，A通过细线跨过滑轮与沙漏3连接，滑轮

右侧细线与斜面平行，开始时A、3都处于静止状态，0C与竖直方向的夹角为

在3中的沙子缓慢流出的过程中，A、B、。仍处于静止状态，下列说法正确的是

//

A.地面对斜面D的作用力竖直向上

B.小物体A受到的摩擦力可能先减小后增大

C.细线0C与竖直方向的夹角。一定不变

D.地面对斜面D的摩擦力将缓慢减小

解析：BCD将A和。看成整体可知有左上方的拉力作用，所以地面对。

除了支持力还有摩擦力作用，故地面对斜面。的作用力肯定不是竖直向上，故A

错误；若开始时斜面。对A的摩擦力沿斜面向下，则有机Bg=a+mAgsin仇则

随着5中的沙子缓慢流出，A受到的摩擦力人可能缓慢减小或缓慢减小到0后反

方向增大；若开始时斜面。对A的摩擦力沿斜面向上，则有机Bg+a=/nAgsin仇

则随着3中的沙子缓慢流出，A受到的摩擦力B缓慢增大，故B正确；因为滑轮

两边细线的拉力总是相等的，则两个力合力的方向总是沿着两边细线，细线夹角

不变，则。C与竖直方向的夹角。不变，选项C正确；对AD整体，受到斜向左

上的细绳拉力作用，由题意细绳拉力缓慢减小，夹角不变，所以地面对斜面。的

摩擦力也将缓慢减小，选项D正确。故选BCD。

10.（多选）如图，在水平地面上，某同学拉着一只重量为G的箱子，箱子与地

面间的动摩擦因数为〃，绳子的拉力大小为F绳子与水平方向的夹角为8。下列

说法正确的是（）

A.若箱子始终不动，。一定，R越大，箱子对地面的压力越小

B.若箱子始终不动，。一定，R越大，箱子对地面的摩擦力越小

C.若箱子始终匀速运动，。从0。增大到90°,地面对箱子的支持力和摩擦

力的合力先增大后减小

D.若箱子始终匀速运动，。从0。增大到90。，拉力R先减小后增大，其最

=

小值为Fmm2

解析：AD若箱子始终不动，。一定时，由平衡条件可得，箱子受到的支持

力为FN=G-Fsin6>,箱子受到的静摩擦力为Rf=Rcosa结合牛顿第三定律可知，

R越大，箱子对地面的压力越小，箱子对地面的摩擦力越大，A正确，B错误；

若箱子始终匀速运动，受力平衡，由于滑动摩擦力与支持力成正比，故支持力和

摩擦力的合力与竖直方向的夹角不变，当。从0°增大到90°,如图所示，可知

地面对箱子的支持力和摩擦力的合力不断减小，C错误；结合C解析可得tana

=骨=〃，若箱子始终匀速运动，。从0。增大到90。，拉力R先减小后增大，其

最小值为Fmin=Gsina=,D正确。故选AD。

11.（多选）如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，

3C面与水平地板间的动摩擦因数为〃，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑

动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一个质量为机的光滑球体，

同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC

面倾角6=53°,sin53°=0.8,重力加速度为g,贝女）

A.楔形物体对地板的压力大小为Mg

4

B.当F=qmg时，楔形物体与地板间无摩擦力

C.向右的水平力F的最小值一定是零