2025高考数学二轮复习：空间向量与立体几何（解答题）专项训练【含答案】

2025高考数学二轮复习-专题06空间向量与立体几何（解答题卜专项训练

五年考情1探规律1

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023甲乙卷

2022甲乙卷空间几何体表面积体积问题一

考点01求空间几何体

2021甲乙卷般采用等体积法或者是空间向

表面积体积

2021乙甲卷量解决，一般出现在第一问。

2020全国1II卷

2024甲II卷

2023II乙卷

二面角的正弦余弦值是高考空

20221II卷间几何体的高频考点，也是高

考点02求二面角

考的一盒重要的趋势。

2021甲乙II卷

20201卷

2023甲卷

线面角问题是高考中的常考

考点03求线面角2022甲乙卷点，方法是方向向量与法向量

的夹角

20201II川卷

20241卷

求距离问题是高考I卷的一个

考点04已知二面角，20231卷重大趋势，容易与动点问题相

结合

求点，距离20211卷

点到平面的距离问题是高考的

甲卷

考点05求点到面的距2024

一个重要题型，应加强这方面

禺20211卷

的练习

分考点•精准练

考点01求空间几何体体积表面积

1.（2023•全国•统考高考甲卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=2,

BC=2^l2,PB=PC=6BP,AP,BC的中点分别为3E,。，点尸在AC上，

BFLAO.

A

⑴求证：〃平面ADO；

⑵若NPOF=120。，求三棱锥尸-ABC的体积.

2.（2023•全国•统考高考乙卷）如图，在三棱柱ABC-A4G中，AC1.平面

ABC,ZACB=90°.

（1）证明：平面ACG4,平面BBCC；

⑵设AB=AB,=2,求四棱锥A-BB&C的高.

3.（2022•全国•统考高考乙卷题）如图，四面体ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=NBDC,£为NC的中点.

⑴证明：平面BED_L平面/CD；

（2）设48=3£>=2,44（28=60。，点尸在3。上，当△ART的面积最小时，求三棱锥

E-ABC的体积.

4.（2022•全国•统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装

盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，

AE4B,AKBC,AGCD,AHD4均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

G

⑴证明：£F〃平面ABCD；

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）

5.（2021•全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面

ABCD,M为3c的中点，且尸.

（1）证明：平面RUf_L平面PBD；

（2）若PD=OC=1,求四棱锥尸-ABCD的体积.

6.（2021•全国•高考甲卷题）已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面相2内为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，BF±A,B,.

⑴求三棱锥R-E3C的体积；

(2)已知。为棱4耳上的点，证明：BF±DE.

7.(2020•全国•统考高考I卷题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,

△ABC是底面的内接正三角形，尸为£＞。上一点，乙/0。=90°.

(1)证明：平面外6_L平面PAC；

(2)设夜，圆锥的侧面积为后，求三棱锥"力6。的体积.

8.(2020•全国统考高考II卷)如图，已知三棱柱46G48G的底面是正三角形，侧

面是矩形，M,/V分别为6C,8仁的中点，尸为力M上一点.过8c和0的平

面交力6于£交ZC于尸.

(1)证明：44//AW,且平面4/I/U/V1■平面段&尸；

JT

(2)设O为△ZLfiG的中心，若/。=力6=6,力。〃平面FHGE豆人MPN二G、求四

棱锥以F8G尸的体积.

考点02求二面角

1（2024•全国・高考II）如图，平面四边形/BCD中，AB=8,=3,AD=5A/3,

ZAT>C=90°,/BA£）=30°,点E,尸满足荏==而，AF=-\将△皿沿所翻

52

折至!PEF,使得PC=4A/3.

(1)证明：EFYPD；

⑵求平面PCD与平面尸3尸所成的二面角的正弦值.

2(2024.全国.高考甲卷)如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形

48C。与四边形/。防均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,

££>=V10,FB=2A/3,M为AD的中点.

⑴证明：3M//平面CDE；

⑵求二面角尸-5M-E的正弦值.

3.（2023全国•统考新课标II卷）如图，三棱锥A-3CD中，DA=DB=DC,

BD1CD,ZADB=ZADC=60°,E为BC□中点.

(1)证明：BC1DA；

⑵点F满足而=次，求二面角D-AB-尸的正弦值.

4.（2023•全国•统考高考乙卷）如图，在三棱锥P-A5c中，ABJ.BC,AB=2,

BC=2yll,PB=PC=y[6,BP,AP,3c的中点分别为D,E,O,AD=45DO,点、F

在/C上，BFLAO.

⑴证明：EF〃平面ADO；

⑵证明：平面ADO_L平面BEF；

⑶求二面角。-AO-C的正弦值.

5.（2022・全国•新课标I卷）如图，直三棱柱ABC-A瓦G的体积为4,的面积

为2点.

⑴求/到平面ABC的距离；

⑵设。为AC的中点，AAt=AB,平面ABC,平面,求二面角A-即一C的正

弦值.

6.（2022全国•统考新课标II卷）如图，尸。是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,

AB1AC,£是尸3的中点.

（2）若ZABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—的正弦值.

7.（2021•全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDL底面

ABCD,PD=DC=LM为8C的中点，且.

(1)求BC；

（2）求二面角A-3的正弦值.

8.（2021•全国•统考高考甲卷）已知直三棱柱ABC-A旦G中，侧面为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为AC和C&的中点，。为棱4耳上的点.8F，人与

(1)证明：BF±DE；

(2)当月。为何值时，面3耳GC与面OFE所成的二面角的正弦值最小?

9.(2021全国•统考新课标II卷)在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA==3.

(1)证明：平面平面ABC。；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

10.(2020・全国・I卷)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直

径，AE=AD.A4BC是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，POgDO.

6

(1)证明：如，平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考点03求线面角

1(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱柱ABC-中，4C，底面/3C,

ZACB=90°,A4t=2,A,到平面BCQ用的距离为1.

(1)证明：AtC=AC；

⑵已知AA与8月的距离为2,求A4与平面BCC4所成角的正弦值.

2.(2022•全国统考高考乙卷)如图，四面体ABCD中,

ADLCD,AD=CD,ZADB=NBDC,£为AC的中点.

⑴证明：平面BED_L平面AC。；

⑵设AB=BD=2,NACB=60。，点尸在8。上，当△人■?的面积最小时，求CF与平面

所成的角的正弦值.

3.（2022•全国•统考高考甲卷）在四棱锥P-ABCD中，即_1底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（1）证明：BDYPA；

⑵求尸。与平面R4B所成的角的正弦值.

4.（202。全国•新课标I卷）如图，四棱锥尸-Z5CD的底面为正方形，P/U底面

ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为I.

//D.......\......."/C

kV

⑴证明：/J~平面PZ)C

(2)已知尸D=4D=1,。为/上的点，求尸3与平面。C。所成角的正弦值的最大值.

5.(2020全国•统考新课标II卷)如图，四棱锥？Z6C。的底面为正方形，2ZL底面

ABCD.设平面外。与平面阳。的交线为/.

(1)证明：/_!_平面PDC

(2)已知"。=力。=1,。为/上的点，。族应，求阳与平面QC。所成角的正弦值.

6.(2020全国•统考新课标II卷)如图，已知三棱柱力6C-4员a的底面是正三角形，

侧面是矩形，M,/V分别为6C,的中点，尸为4U上一点，过a仁和0的

平面交Z6于£交ZC于月

(1)证明：且平面4Z/IWJ_四&，

(2)设。为的中心，若〃平面RAO^AB,求直线8f与平面

/L4AW所成角的正弦值.

考点04已知二面角求点距离

1(2024・全国・高考I卷)如图，四棱锥尸-ABCD中，PAA.&ABCD,

PA=AC=2,BC=1,AB=6.

(1)若相)，PB,证明:AD〃平面P8C；

(2)若ADLOC,且二面角A-CP-。的正弦值为产，求AD.

2.(2023・全国•新课标I卷)如图，在正四棱柱ABCD-ABCQ中,

AB=2,AA=4.点&,与6,2分别在棱44*4,C£,DA上,

AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3

⑴证明:82c2〃42；

⑵点尸在棱B片上，当二面角尸-4G-2为150。时，求鸟尸.

3.(2021•全国•新课标I卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OAVCD；

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小为45。，求三棱锥A-3CD的体积.

考点05点到面的距离

1（2024•全国•高考甲卷）如图，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD=BC=M,A£=2A/J,河为CD的中点.

EF

⑴证明：EM〃平面8CF；

⑵求点M到ADE的距离.

2(2021・全国•新课标I卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD,。为8。的中点.

(1)证明：OAA.CD；

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.

参考答案与详细解析

五年考情­探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023甲乙卷

2022甲乙卷空间几何体表面积体积问题一

考点01求空间几何体

2021甲乙卷般采用等体积法或者是空间向

表面积体积

2021乙甲卷量解决，一般出现在第一问。

2020全国1II卷

2024甲II卷

2023II乙卷

二面角的正弦余弦值是高考空

20221II卷间几何体的高频考点，也是高

考点02求二面角

考的一盒重要的趋势。

2021甲乙H卷

20201卷

2023甲卷

线面角问题是高考中的常考

考点03求线面角2022甲乙卷点，方法是方向向量与法向量

的夹角

20201II川卷

20241卷

求距离问题是高考I卷的一个

考点04已知二面角，20231卷重大趋势，容易与动点问题相

结合

求点，距离20211卷

点到平面的距离问题是高考的

考点05求点到面的距2024甲卷

一个重要题型，应加强这方面

离20211卷

的练习

分考点•精准练

考点01求空间几何体体积表面积

1.(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB_LBC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=46,3尸,AP,3c的中点分别为。，及。，点R在AC上，

BF1AO.

⑴求证：〃平面ADO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱锥P-MC的体积.

【答案】(1)证明见解析(2)当

【详解】⑴连接。E,QF,设A^=ZAC,^]BF=BA+AF=(l-t)BA+tBC,

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

则访.而一洒+血(-丽+厚=1南+?而=32=。,

解得/=；,则/为AC的中点，由。,瓦0,尸分别为尸民尸ABC,AC的中点，

于是。石〃AB,DE=gAB,OF//AB,OF=^AB,即DEHOF,DE=OFt

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又EVa平面A£»0,00u平面ADO,

所以跖〃平面ADO.

(2)过尸作PM垂直尸。的延长线交于点

因为P3=PC,O是BC中点，所以PO,3C,

在Rt△尸30中，PB=®BO=；BC=丘,

所以pdpB2-OB。=-J^.=2,

因为A3_L3C,OP//AB,

所以。尸_L3C,又POcOF=O,P。,。尸u平面尸。/，

所以8cl平面尸0£又PMu平面尸0尸，

所以3C_LPAf,XBCn™=O,BC,FMu平面A3C,

所以PM_L平面ABC,

即三棱锥P-ABC的高为PM,

因为NPOF=120。，所以NPOW=60。，

所以PM=POsin60°=2x—=乖),

2

XSAABC=；AB-BC=gx2x2&=2垃,

所以Vp_ABC=:$掺般尸"=gx20X有

2.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC，平面

ABC,ZACB=90°.

⑴证明：平面ACGA，平面BBCC;

(2)设A8=A2,AA=2,求四棱锥A-BBCC的高.

【答案】⑴证明见解析.(2)1

【详解】(1)证明：因为AC，平面ABC,3Cu平面ABC,

所以A℃C,

又因为NAC3=9O。，即AC13C,

ACACu平面ACGA,ACCAC=C,

所以3C1平面ACGA,

又因为BCu平面BCG%

所以平面ACG4，平面BCC4.

(2)如图,

过点A作AQ，CC1,垂足为0.

因为平面ACGA，平面BCG4,平面Accan平面3CG4=C£,A。u平面ACGA,

所以A。，平面BCC4,

所以四棱锥A-BBCC的高为4。.

因为AC_L平面ABC,4c,8Cu平面ABC,

所以4C_L8C,AC_LAC,

又因为A3=AB,BC为公共边，

所以AABC与AABC全等，所以4C=AC.

设\C=AC=x,贝ljAlCl=x,

所以。为CG中点，。0=!^=1,

又因为ACLAC,所以AC2+AC2=AV,

即x2+x2=22,解得尤=后,

所以A。=QAC：_OC：=J(可一产=］

所以四棱锥瓦c。的高为1.

3.(2022.全国.统考高考乙卷题)如图，四面体ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=NBDC,£为/C的中点.

⑴证明：平面BED_L平面/CD；

(2)设AB=3D=2,ZACB=6O。，点尸在3。上，当△ART的面积最小时，求三棱锥

A8C的体积.

【答案】(1)证明详见解析(2)正

4

【详解】⑴由于AD=CD,E是AC的中点，所以ACLDE.

AD=CD

由于=BO,所以△AT®三

NADB=ZCDB

所以AB=CB,故ACL3E,

由于DEcBEnE,DEBEu平面BED,

所以AC，平面BED

由于ACu平面AC。，所以平面5ED_L平面ACZX

(2)［方法一］:判别几何关系

依题意AB=BD=BC=2,ZACB=60°,三角形ABC是等边三角形,

所以AC=2,AE=CE=1,BE=技

由于=所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2,所以DEI.BE,

由于ACc3E=E,AC,BEu平面ABC,所以£>E2平面ABC.

由于八位«三△CDB,所以NFBA=N^BC,

BF=BF

由于，//B4=NFBC,所以.FBA^FBC,

AB=CB

所以AF=B,所以EF/AC,

由于S.c=^AC•所，所以当E尸最短时，三角形APC的面积最小

过后作历上应），垂足为尸，

在RtZXBED中，-BEDE=-BDEF,解得石尸=迫，

222

所以£>尸=^^等=1,BF=2-DF=|,

万匚।jBF3

所以法=屋

FHBF3

过尸作阳垂足为则FH//DE,所以切，平面ABC,5.—=-=-,

DEBD4

3

所以切=J,

4

所以匕ABC=~-SABC-FH=-x-x2x>j3x-=^.

r-ADC3A^DC32'44

［方法二］:等体积转换

-.-AB=BC,ZACB=60°,AB=2

是边长为2的等边三角形,

:.BE=6

连接E尸

AADB=\CDBAF=CF

EF±AC

二在ABED中，当EFJ_B£）时，AAFC面积最小

AD±CD,AD=CD,AC=2,E为点

DE=1-.-DE2+BE1=BD2

:.BE±ED

若EF1BD,在ABED中,EF=BEDE=走

BD2

BF=y/BE2-EF2=-

2

..S.EF

22228

11

VF-ABC=VA-BEF+VC-BEF=~S^BEF,'2=

jJO4

4.（2022.全国•统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装

盒，包装盒如图所示：底面ABC。是边长为8（单位：cm）的正方形,

均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

G

⑴证明：£F〃平面ABCD；

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）

【答案】⑴证明见解析；⑵?劣.

【详解】（1）如图所示：

分别取的中点连接MN,因为AEVOFBC为全等的正三角形，所以

EMLAB,FN工BC,EM=FN,又平面E4B_L平面A3CD,平面平面

ABCD=AB,EMu平面E4B,所以EM,平面ABCD,同理可得-V，平面ABCD,

根据线面垂直的性质定理可知㈤W//7W,而EM=FN,所以四边形£MVF为平行四边

形，所以EF//MN、又历（2平面ABCD,脑Vu平面ABCD,所以跖〃平面ABCQ.

（2）［方法一］：分割法一

如图所示：

G

H.

分别取AO,OC中点K,L,由（1）知，EFIIMNaEF=MN、同理有，

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知识可知,

BD±MN,MN1MK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体

血"①-EFG”的体积加上四棱锥体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4五,EM=8sin60°=4A/3,点B到平面ACVFE的距离即为

点8到直线的距离d,d=2^2,所以该几何体的体积

V=（4>/2）2X4A/3+4X1X4A/2X4V3X2A/2=128A/3+^A/3=^A/3.

［方法二］:分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于O,连接OEQFQGQH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体

积加上三棱锥A-OEH的4倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍.容易求得，

。E=OF=。G=。H=8,取EH的中点P,连接APQP.则EH垂直平面APO,由图可知，三角

形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

7=1,473.（472）2+4---4A/2--4A/2-4^+4---4V3--4A/2-472=^^.

3',32323

5.（2021•全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD，底面

ABCD,〃为BC的中点，且PB_L4W.

（1）证明：平面平面PBD；

（2）若PD=DC=1,求四棱锥P—ABCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）也.

3

【详解】（1）因为PD，底面ABCDAMu平面A3CD,

所以又PB_LAM,PB^PD^P,

所以AM工平面PSD,而AA/u平面R4M,所以平面融M_L平面P6D.

（2）［方法一］：相似三角形法

A£）AB

由（1）可知,于是AABZRABMA,故F=­•

ABBM

因为3M=43（?,4。=3€；人8=1,所以;BC?=1,即2C=0.

故四棱锥P-ABCD的体积V=」AB-BC.PD=走.

33

6.（2021•全国•高考甲卷题）已知直三棱柱ABC-ABG中，侧面澳电为正方形,

AB=BC=2,E,9分别为AC和CG的中点，BF±^3,,

c

(1)求三棱锥b-ESC的体积；

(2)已知。为棱4耳上的点，证明：BF±DE.

【答案】(1)；；⑵证明见解析.

【详解】⑴由于次7AB"AB\,所以产，

又ABLBBi,BBqBF=B,故AB1平面BCC内,

则AB人3C,AABC为等腰直角三角形，

S/YBCE=/S“BC=y[y2*2]=1,VF_EBC=-x5AgC£xCF=-xlxl=-.

(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体如图

所示，取棱4W,8c的中点凡G,连结4//,"G,G4,

正方形BCC4中，G,尸为中点，则%G,

又3尸，4片，4qngG=4,

故■，平面A4GH,而DEu平面ABQH,

从而BF_LDE

7.(2020•全国•统考高考I卷题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,

△ABC是底面的内接正三角形，P为。。上一点，乙ZQC=90°.

(1)证明：平面外6_L平面PAC；

(2)设。。=0,圆锥的侧面积为扃，求三棱锥。力6C的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)逅.

8

【详解】⑴连接0A•.㈤为圆锥顶点，。为底面圆心，平面A3C,

•.•P在DO上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

•.•△ABC是圆内接正三角形，，AC=BC,AB4C^APBC,

ZAPC=ZBPC=90°,即PB_LPC,PA_LPC,

尸4口尸3=尸,;.尸。_1平面上4£,尸。0：平面尸4。，；.平面丛5_1_平面尸4。；

(2)设圆锥的母线为/,底面半径为L圆锥的侧面积为万〃=&,〃=豆，

OD2=l2-r2=2,解得厂=1,/=若，AC=2rsin60。=石，

在等腰直角三角形"C中，AP=&C=a

22

在必APAO中，PO=JAP2-OA?==变,

三棱锥尸一ABC的体积为LrBcMlPO-SAMcngxqxgxS：。-

J3，4o

8.（2020.全国.统考高考II卷）如图，已知三棱柱力6G48G的底面是正三角形，侧

面6片GC是矩形，M,/V分别为6C,的中点，。为4U上一点.过和。的平

面交力6于£交ZC于尸.

（1）证明：Z4〃MA/,且平面44W，平面eq,

（2）设。为△480的中心，若/。=48=6,ZC//平面四且（MPN二鼻、求四

棱锥以F3G尸的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【详解】⑴・••/,%分别为BC,4G的中点，

MN//BB,又A4,//BB、：.MN//AA,

在等边AABC中，M为BC中点，^\BCrAM

又•.・侧面叫GC为矩形,

BC_LBB「MNHBB}MNJ.BC

由脑VcAM=M,平面A4MN

•••BC1平面AAMN又；B\CJIBC,且qGN平面ABC,BCu平面ABC,

〃平面ABC

又;4GU平面EBCF,且平面即C/c平面ABC=£F

:.B\CJ/EFEF//BC

又：3C_L平面AtAMNERJ,平面AiAMN•.♦EFu平面EBgF

平面_L平面AAMN

(2)过M作PN垂线，交点、为H,

画出图形，如图

•••AO〃平面防。/

AOu平面AAMN,平面AAMNc平面EBiC/uNP

:.AO"NP叉；NO//AP

..AO=NP=6,:。为△AB|G的中心ON=^A,Clsin60°=1x6xsin60°=A/3

故：ON="=g,贝l]AM=3AP=35

平面EBgF，平面\AMN,平面EB&Fc平面A^AMN=NP,

也<=平面44削，MH_L平面E81C/

ApAPBC6x6

又•.•在等边“SC中”=*即跖=wr=2

BCAMAM

由（1）知，四边形E4C/为梯形

二.四边形防。尸的面积为：端边呵G"竺芈•沏=岑义6=24

-VB-EBGF=JS四边形倒G尸.h,

//为M到PN的距离MH=2V3-sin60°=3,

.-.7=1x24x3=24.

3

考点02求二面角

1（2024•全国・高考II）如图，平面四边形4BCD中，AB=8,CD=3,AD=5®

___9________,_____

ZADC=90°,ZBA£>=30°,点E,/满足荏而，AF=-ABk,将AAE尸沿跖翻

折至！PEF,使得PC=473.

⑴证明：EFLPD；

⑵求平面尸CD与平面尸质所成的二面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析⑵返

65

［详解］⑴由AB=8,AD=5"荏=|而，而=；而，

得AE=2G,AF=4,又/BAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=JAE'+AF'-2AE-AFcosNBAD=J16+12-2・4-26-#=2,

所以AE^+E尸2=.2,则AEJ_£F,^EF,LAD,

所以EF，PE,EF_LDE,又PECDE=E,PE、DEu平面长无，

所以EF/平面PDE,又尸£>u平面P£>£;

故EF，PD；

（2）连接CE,ZADC=90r,ED=3y/3,CD=3,贝［|CE?=ED?+CD?=36,

在APEC中，PC=4&PE=2®EC=6,WEC2+PE2=PC2,

所以尸ELEC,由⑴知PE_L跖，又ECCEF=E,EC、EFu平面ABC。，

所以尸EL平面ABCD,又£Du平面ABCD

所以PE_LED,则尸EEF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-肛z,

贝IJE（0,0,0）,P（0,0,2退）,0（0,3百,0）,C（3,3君,0）,尸（2,0,0）,A（0,-2&,0）,

由尸是AB的中点，得3（4,2疯0）,

所以定=（3,3后-26）,两=（0,3疯-2君），丽=（4,2点-2占）,而=（2,0,-2宕）,

设平面尸CD和平面上印的一个法向量分别为n=(Aj,zj,m=(x2,y2,z2),

fi-PC=3x+3石％-2班马=0m-PB=4X+2百%-2A/3Z=0

则《l22

m-PF=2X-2A/3Z=0

n-PD=36y、-2yf3z1=022

令％=2,三=6,得玉=0,4=3,%=-1/2=1,

所以3=（0,2,3）,肩=（6,-1,1）,

庆•万

所以|COS通司=丽=及后=苍

设平面尸。和平面尸班1所成角为区则sine=Vl-cos20=殳叵

65

即平面PCD和平面尸所成角的正弦值为逅.

65

2（2024.全国.高考甲卷）如图，在以4B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形

48C。与四边形/。£尸均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,

ED=M,FB=2瓜”为AD的中点.

⑴证明：倒1//平面。。石；

⑵求二面角尸-BW-E的正弦值.

【答案】（1）证明见详解；化）华

【详解】⑴因为台以人口收二幺包二人/为仙的中点，所以BC//MD,BC=M，

四边形3coM为平行四边形，所以BM//CD,又因为3W平面CDE,

CDu平面CDE,所以曲〃/平面CDE；

（2）如图所示，作3OLAD交AD于。，连接。尸，因为四边形A3CD为等腰梯形,

BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合（1）3SW为平行四边形，可得

BM=CD=2,又AM=2,

所以AABM为等边三角形，。为AM中点，所以02=若，

又因为四边形4）即为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF〃MD,四边形

ERWD为平行四边形，FM=ED=AF,所以为等腰三角形，与△92W底

边上中点。重合，OFVAM,OF=VAF2-AO2=3,因为OB?+。尸=3/2,所以

OB1OF,所以尸互相垂直，

以0B方向为X轴，0D方向为y轴，。尸方向为z轴，建立。-孙z空间直角坐标系，

F（0,0,3）,B（A/3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,W=（-A/3,1,0）,BF=（-A/3,0,3）,

屁=卜有,2,3）,设平面跳加的法向量为沆=（%,%,4）,

平面的法向量为为=（X2，%，Z2）,

m-BM=0下X、+M=

则令占=退，得X=3,Z]=1,即成=（也,3,1）,

m-BF=0#X、+3Z]=0

n-BM-0-6^2+%=0—仄/曰Q[

则即厂，令/=,3,付％=3/2=-1

n-BE=0—，3工2+2y2+3z2=0

/\__沅•万1111,A.R,,1

即为=（6r,3,-1），cos机,"=两同=标底=为，贝bin沅，元故二面角

F-BM-E^fy正弦值为—.

13

3.（2023全国•统考新课标II卷）如图，三棱锥A-5CD中，DA=DB=DC,

BD±CD,ZADB=ZADC=60\£为3c口中点.

(1)证明：BC1.DA；

⑵点尸满足访=中，求二面角D-AB-尸的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；(2)#.

【详解】(1)连接AE,DE,因为£为8C中点，DB=DC,所以DEL3c①，

因为ZM=D3=DC,ZADB=ZADC=60°,所以AACD与△AftD均为等边三角形，

AC=AB,从而AE_L8C②，由①AE^DE^E,AE,£>Eu平面AZJE,

所以，3c1平面ADE,而")u平面ADE,所以3C_LZM.

(2)不妨设ZM=r>3=DC=2,-：BDLCD,:.BC=25DE=AE=血.

AE2+DE2=4=AD2,:.AE±DE,AELBC,DE^BC=E,O瓦BCu平面BCD

.•.AE_L平面BCD.

以点E为原点，区>，班,EA所在直线分别为羽％z轴，建立空间直角坐标系，如图所

设D(50,0),A(0,0,72),5(0,女,0),E(0,0,0),

设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为%=（为,％,4）,%,丫2，Z2），

二面角O—AB—尸平面角为。，而荏=（0,应

因为防=丽=卜0,0,@,所以网-夜,0,0）,即有衣=卜衣0,0）,

+A/ZZJ=0

取玉=1,所以）=（1,1,1）；

K-忘为=0

取%=i,所以E=（o,i,i）,

所以，孙4=箫=耳17rg，从而sinO=「f=g

所以二面角03"勺正弦值为半.

4.（2023•全国•统考高考乙卷）如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=2,

BC=2V2,PB=PC=y[6,BP、AP,3c的中点分别为O,E,O,AD=#DO,点F

在/C上，BFLAO.

⑴证明：E产〃平面ADO；

⑵证明：平面ADO,平面8EF；

⑶求二面角。-AO-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）变.

【详解】（1）连接。瓦。尸，设&尸=以。，^\BF=BA+AF=（.l-t）BA+tBC,

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

则访）丽+屁］.（-丽+押）=（1）丽Wk=4"l）+4”。，

解得/=；,则/为AC的中点，由。,瓦0,尸分别为尸民尸ABC,AC的中点，

A

于是DE11AB,DE=；AB,OFUABQF=；AB,即£>E〃。/,£>E=O厂，则四边形ODE尸

为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又£Fa平面490,00u平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

（2）法一：由（1）可知所〃a>,则49=后,2）。=，1,得ADfD0=叵,

22

因此。。2+&。2=4。2="则OD_LAO,有班，AO,

2

又49,3尸,3厂口历=尸，BEEFu平面3跖，

则有AOJL平面BEF,又AOu平面A£>O,所以平面ADO_L平面BEF.

法二：因为AB1BC,过点A作z轴，平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系，

A（2,0,0,）,B（0,0,0）,C（0,2A/2,0）,

3.15

222+4-

.,,PB.DB+AB-DA2T1

在中，8S4'=2DB-AB

2x2x—

2

在△PSA中，PA2=PB2+AB2-2PBABcosZPBA=6+4-2s/6x2x\--==14,

PA=y/14（x-2）2+y2+z2=14

设P（x,y,z）所以由<P8=#可得：<x2+y2+z2=6

PC=y/6x2+^y-2y/2^+z2=6

可得：％=-l,y=0,z=V§\所以尸（-1,"百）,

则小,q，¥］，所以a；，*，孚，川L"°)

\J\J

4。=/2,A/I,0）,AZ）=

设平面ADO的法向量为%=(x1,y1,z1),

—=0

n,-AO=0

则2一,得

几1•AD=0~~xi+5~4=°

令%=1,则％=血，4=豆，所以加=(1,忘

BE=，丽=(L&,0)

设平面BEF的法向量为稔