2024年中考数学几何模型专练：三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型

专题04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：高分线模型

2

例1.（2023秋,浙江•八年级专题练习）如图，在ABC中，ZA=3O°,ZB=50°,CO为/ACS的平分线,

CE，AB于点、E,则，ECD度数为（）

【答案】C

【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根据乙4=30。,（?。平分/4?3,即可得到438的度

数,再根据ZDCE=ZBCD-ZBCE进行计算即可.

【详解】解：ZB=50°,CELAB,ZBCE=40°,

又•ZA=30°,CD平分/ACB,：./BCD=|ZBCA=|x（180°-50°-30°）=50°,

ZDCE=/BCD-NBCE=50。-40°=10。,故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

例2.（2023春・河南南阳•七年级统考期末）如图，在AABC中，01=02,G为AD的中点，BG的延长线交

AC于点E,尸为AB上的一点，CF与垂直，交于点则下面判断正确的有（）

BDC

①A。是AA8E的角平分线；②BE是△ABD的边A。上的中线；

③S是母48的边A。上的高；④48是AAC尸的角平分线和高

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是AABE的角平分线，故此说法错误；

②根据三角形的中线的概念，知BG是的边上的中线，故此说法错误；

③根据三角形的高的概念，知C8为△AC£＞的边A。上的高，故此说法正确；

④根据三角形的角平分线和高的概念，知是AACP的角平分线和高线，故此说法正确.故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、

中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.

例3.（2023・安徽合肥•七年级统考期末）如图，已知A。、AE分别是的高和中线，AB=9cm,AC

=12cm,BC=15cm,试求：（1）A。的长度；（2）/VICE和△A8E的周长的差.

BDEC

【答案】（1）A。的长度为日加；（2）AACE和△相£的周长的差是3m.

【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE=CE,再表示回ACE

的周长和EIABE的周长，化简可得MCE的周长-0ABE的周长=AC-AB即可.

【详解】解：（1）H3BAC=90°,AD是边BC上的高，I3SAACB=/AB・AC=gBC・AD,

ABAC9x1236、口"心二36

EIAB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,0AD=-----------=--------=一（cm）,即AD的长度为一cm；

CB1555

（2）EIAE为BC边上的中线，I3BE=CE,

EBACE的周长-EIABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=12-9=3（cm）,

即MCE和EIABE的周长的差是3cm.

【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.

例4.（2023・广东东莞•八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，AD,AE分别是，ABC的高和角平分线,

若々=30。，NC=50。.⑴求1D4E的度数.⑵试写出N7ME与/C—N3关系式，并证明.（3）如图，F

为AE的延长线上的一点，FD工BC于D,这时NATO与NC-/B的关系式是否变化，说明理由.

【答案】（l）10°（2）NZME=g（NC-NB）（3）不变，理由见解析

【分析】（1）根据三角形内角和求出/B4C,根据角平分线的定义得到N54E=50。，根据高线的性质得到

ZADE=90°,从而求出/54。=60。，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到

/BAE=148AC,根据三角形内角和求出ZE4c=90。一1ZB—1/C,根据角的和差得至I］结果；（3）过A作

222

AG_L3c于G,结合（2）知NE4G=；（NC-NB）,证明五D〃AG,得到ZAFD=NE4G,即可证明.

【详解】（1）解：EZB=30°,ZC=50°,0ZBAC=180°-50°-30°=100°,

团AE平分/R4C,0ZBAE=ZCAE=-ZBAC=50°,

2

EIAO是高，SZADE=90°,0ZB=3O°,EZBAD=60°,0Z.DAE=ZBAD-ZBAE=10°；

（2）/DAE=g（NC-/B）,

证明如下：回AE平分/54C,B1ZEAC=-ZBAC,

2

0ZBAC=180°-ZB-ZC,EZE4C=1（1800-ZB-ZC）=90°-1zB-izC,

0/FAD=ZEAC-ADAC=90°-1ZB-1ZC-（900-ZC）=1（ZC-ZB）；

（3）不变，理由是：如图，过A作AG_L2C于G,由（2）可知：ZE4G=1（ZC-ZB）,

F

AGA.BC,ZAGB=90°,FDA.BC,:.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

:.ZAFD=ZEAG,:.ZAFD=^(ZC-ZB).

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质,

熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键.

模型2：双垂直模型

结论：①NA=NC；®ZB=ZAFD=ZCFE；③=AE-3C。

例L（2023・陕西咸阳•统考一模）如图，在.ABC中，CRBE分别是48,AC边上的高，并且CD,8E交于点

P,若NA=50。，则的度数为（)

120°C.110°D.100°

【答案】A

【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得.

【详解】解：回即是AC边上的高，SZBEA=90°,EZA=50°,HZABE=90°-ZA=90°-50°=40°,

是AB边上的高，0ZCDB=90°,0ZBPC=ZCDB+ZABE=90°+40°=130°,故选：A.

【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点.

例2.（2022秋•安徽宿州,八年级校考期中）如图，在，A6C中，CD和BE分别是AB,AC边上的高，若CD=12,

sr

BE"则花的值为（）.

D

【答案】B

【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.

11123

【详解】回S如c=—AC-BE，回12As=16AC,E—故选B.

22AB164

【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面积公式得出AB-CD=A。BE是解题关键.

例3.（2023春•河南周口•七年级统考期末）如图，在中，AB=8,5C=10,CFJ.AB于点、F,ADIBC

于点。，AD与CP交于点E,ZB=46°.

⑴求NAEC的度数.（2）若AD=6,求CP的长.

【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；

（2）利用等面积法，由S△即=代值求解即可得到答案.

【详解】（1）解：0CFJAB,0ZCFB=90°,

0ZB=46°,E1ZBCF=44O,^ADIBC,0ZADC=9O°,

0ZAEC=ZADC+ZBCF=90°+44°=134°；

(2)解：^\CF1AB,AD1BC,SS^ABC=~BC-AD=^-AB-CF,

ADBC6x1015

SAB=8,3c=10,AD=6EICF=

AB8

【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.

模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）

4

结论：®ZB=ZCAD；②NC=/BAD；®AB-ACADBC.

例1.（2023•广东广州•七年级校考阶段练习）如图，在/XACB中，ZACB=90°,CDJ_AB于。，求证:

ZB=ZACD.

【答案】见解析

【分析】根据CD，AB可得NACB=NCDB=90。，再根据NB+/BCD=NBCD+NACO=90。，即可求证.

【详解】证：SCD1AB,ZACB=9000ZACB=ZCDB=90°

又⑦ZB+/CDB+/BCD=180。,0ZB+ZBCD=90°

又团ZACB=/BCD+ZACD=90°,0ZB+/BCD=/BCD+ZACD=90°回=ZACD

【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.

例2.（2023•山东泰安•七年级校考阶段练习）如图，AD,分别是0ABC的高线与角平分线，BF,AO交于

点、E,01=02.求证：S42c是直角三角形.

【答案】见解析

【分析】根据AD是AABC的高线,可得SB即+回加。=90°,根据角平分线的定义可得观察

与B4E尸的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得EAEF+fflABE=90。，至此结合已知不难得到

E1AF£+EABE=9O",由此解题.

【详解】证明：由题意得：AD5\BC,8尸平分EABC,

00BE£>+0EBD=9O°,^\ABE=SEBD,^3\BED+^ABE=90°,

EEAEF+EL4B£=90°,

SEAEF=^AFE,E0AFE+EIABE=9OO,0EIBAF=9O°,即AABC是直角三角形.

【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定

义是关键.

例3.（2022秋•北京通州•八年级统考期末）如图，在...ABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足为D.如果

AC=6,BC=3,则的长为（）

A.2B.y3C.3Vr3D.受3V3

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出AB,再利用三角形面积求出BD即可.

【详解】解：BZABC=90°,AC=6,BC=3,回根据勾股定理钙=,4^—3C?=《6—e=3』，

^BDLAC,^\SAABC=~ABBC=-ACBD,即」x3/x3=』x6-B。，解得：BD=—.故选择D.

22222

【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,

三角形面积等积式是解题关键.

例4.（2023春•江苏苏州•七年级苏州中学校考期中）已知，在.ABC中，ZACB=ZCDB=；77°（0<m<180）,

AE是角平分线，。是A3上的点，AE,C。相交于点F.

（1）若〃2=90时，如图所示，求证：NCFE=/CE尸；（2）若相片90时，试问/CFE=/CE/还成立吗？若成立

说明理由；若不成立，请比较NCPE和/C。的大小，并说明理由.

【答案】⑴见解析；（2）不成立；当机>90时，NCFE>NCEF；当机<90时，ZCFE<ZCEF；理由见解析.

【分析】（1）证明=由NACB=NCE）3=90。，证明/ACD=/B,由三角形的外角的性质可

ZCFE=ZACD+ZCAE,ZCEF=ZB+ZBAE,从而可得结论.

（2）证明NCFE-NCEF=NACF-NB,结合三角形的内角和定理可得

ACFE-ZCEF=m-ZBCD-(180-m-ZBCD)=2m-180,再分两种情况可得结论.

【详解】(1)证明：团AE是角平分线，SZCAE=ZBAE,

0ZACB=ZCDB=m°(0<m<180),m=90,0ZACB=ZC£>B=90°,

13ZACD+ZBCD=90°=ZBCD+ZB,^ZACD^ZB,

0ZCFE=ZACD+ZCAE,NCEF=NB+NBAE,Z.CFE=Z.CEF.

(2)不成立.理由如下：

SZCFE=ZCAF+ZACF,ZCEF=ZB+ZEAB,NCAE=NBAE,ZCFE-ZCEF=ZACF-ZB,

0ZACB=NCDB=m°(0<m<180),ENCFE—NCEF=m-Z.BCD-(180-m-ABCD)=2〃z—180

当〃z>90时，ZCFE-ZCEF=2/n-180>0,⑦NCFE>NCEF；

当初<90时，ZCFE-ZCEF=2m-l80<0,SZCFE<ZCEF.

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不

等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键.

课后专项训练

1.（2023秋•江苏•八年级专题练习）如图，在ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB的垂直平分线交AC于

点。，交AB于点E,AC=6,则CD的长为（）

【答案】B

【分析】连接即，由垂直平分线得=45,可求得NC8D=30。，于是=,根据AC=6,

求得CD=2.

【详解】解：连接30,回DE是A8的垂直平分线，^BD=AD,

0ZABD=ZA=30°,0NCBD=180°-90°-30°x2=30°,

0ZCBD=ZABD=30°,SCD=-BD=-AD,回AC=6,EI3CD=6,回CD=2.故选：B.

22

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30。角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直

平分线导出角之间关系是解题的关键.

2.(2023秋・浙江•八年级专题练习)如图，ABC中，BE平分/ABC,若？A,NDBE=20°,

则/ABC=()

【答案】B

【分析】设/C=a,那么/A=2a,然后利用a分别表示/ABC,NABE,ZABD,最后利用三角形内

角和定理建立方程解决问题.

【详解】解：133ABe中，？A2?C,

团设NC=a,那么NA=2a,0ZABC=18O°-ZA-ZC=18O°-36Z,

团BE平分NABC,0ZABE=-ZABC=-(180°-3a),

22

i3

05D1AC,NDBE=20°,0ZABD=ZABE-ZDBE=-（180°-3a）-20°=70°--a,

3

El/A+/AB。=2a+70°--a=90°,回a=40°,

2

fflZABC=180°-ZA-ZC=180°-3«=60°.故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角

形内角和定理.

3.（2023•绵阳市八年级月考）如图，在ASC中，AF平分/B4C交BC于点/、破平分/ABC交AC于

点、E,反与BE相交于点。，AD是BC边上的高，若NC=50。，BELAC,则ND铲的度数为（）

【答案】C

【分析】根据题意证明ABE=CBE（ASA）,得出Zft4C=NC=50。，三角形内角和定理得出加C=80。，根据

直角三角形的两个锐角互余求得440=10°,根据角平分线的定义可得NBAF=g/BAC=25。，根据

ZD4F=Z&4F-ZZMB即可求解.

【详解】解：BELAC,BE平分/ABC,:.ZAEB=ZCEB=90°,ZABE=/CBE,

BE=BE,ABEmCBE（ASA）,,-.ZBAC=ZC=50°,z.ZABC=1800-ZBAC-ZC=80°,

BELAC,:.ZADB=90°,:.ZBAD=W°

AF平分NBAC,ZBAF=ZBAC=25°,;.ZDAF=ZBAF-ZDAB=\50,故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平

分线的定义，数形结合是解题的关键.

4.（2023春•辽宁沈阳•七年级统考期末）如图，在ABC中，ZACB=90°,AD,BE,CT分别是；ABC的

中线、角平分线和高线，BE交CF于点、G,交AD于点H,下面说法中一定正确的是（）

420的面积等于△相£＞的面积；②NCEG=NCGE；

③ZACB=2ZABE；@AH=BH.

c

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】B

【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断ACD的面积等于△相£＞的面积；

②先根据同角的余角相等证得NC4B=N3CG,再根据角平分线的定义得出=,最后根据三角

形外角的性质得出NCEG=NC4B+/ABE,NCGE=NCBE+NBCG,即可得证；

③先根据同角的余角相等证得/ACF=/CBP再根据角平分线的定义得出/CBF=2ZABE,于是推出

ZACF=2ZABE-.④无法证得AH=BH.

【详解】解：回AD是-ABC的中线，回。。=瓦）,0AC»的面积等于△ABD的面积，故①正确；

团8E是:ABC的角平分线，^\ZABE=ZCBE,

回CT是，ABC的高线，0ZCM=90°,0ZC4B+ZACF=90°,

SZACB=90°,ZACF+ZBCG=9Q°,SZCAB=ZBCG,

回/CEG是的一个外角，fflZCEG=ZCAB+ZABE,

回/CGE是，BCG的一个外角，13Z.CGE=ZCBE+Z.BCG,SZCEG=ZCGE,故②正确;

团（主是「ABC的高线，0ZCfB=90°,0ZCSF+ZSCF=90°,

0ZACB=90°,SZACF+ZBCF=90°,^ZACF=ZCBF,

回BE是11ABe的角平分线，@NCBF=2ZABE,SZACF^2ZABE,故③正确；

无法证得故④错误；故正确的有①②③故选回B.

【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这

些性质是解题的关键.

5.（2023,湖北十堰,八年级统考期末）如图，在ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=W,AD是

高，BE是中线，CP是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点、H,下面结论：①aABE的面积=Z^BCE

的面积；②NAFG=NAGF；@ZFAG=2ZACF；@AD=2.4.其中结论正确的是（）

A.①②B.①②④C.@@③D.①②③④

【答案】c

【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定

△ABE和△3CE的面积关系以及求出AD的长度.

【详解】解：BE是QABC的中线.•.他=EC.上班的面积等于△3CE的面积故①正确；

ZBAC=90°,AD是1sABC的高..ZAFG+ZACG=90。，NDCG+NDGC=90。

CP是ABC的角平分线/ACG=/Z）CG:.ZAFG^ZDGC

又：ZDGC=ZAGF:.ZAFG=ZAGF故②正确；

ZFAG+ZDAC=ZDAC+ZACD=90°:.ZFAG^ZACD

ZACD=ZACF+ZDCF=2ZACF:.ZFAG^2ZACF故③正确；

2SABC=AB.AC=BC.ADAD=^^=—=4.8故④错误；故选：C

BC10

【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决

本题的关键.

6.（2022秋•山西吕梁•八年级统考期末）如图，ABC是等腰三角形，AB^AC,NA=45。，在腰AB上取

一点、D,DE1BC,垂足为E,另一腰AC上的高所交。E于点G,垂足为R若班=3,则。G的长

为.

【答案】6

【分析】过点G作“G,3/交3。于点M,过点M作NMLED,根据等腰三角形各角之间的关系得出

NFBC=/BDE,再由垂直及等量代换得出/MGD=/3DG,利用等角对等边确定MG=MD=3G,

DG=2DN,再由全等三角形的判定和性质求解即可.

【详解】解：过点G作加GL8F交8。于点过点M作NM工ED,如图所示：

A

SAB=AC,ZA=45°,DEIBC,

EIZABC=NC=67.5°,NBDE=22.5°,/ABF=/A=45°,

0ZFBC=ZABC-ZABF=22.5°,NBGE=67.5°团NFBC=ZBDE,

0MG1BF,NM±ED,0/BGM=NMND=90。,NABF=/BMG=45。

0NMGD=180°-/BGE-NBGM=22.5°,MG=BG,

0NMGD=NBDG,gMG=MD=BG,DG=2DN,

ZMND=ZBEG=90°

在，DM/与,BEG中，-ZBDE=ZFBC,aDNM^^BEG（AAS）

DM=BG

0DN=BE=3,0DG=2DN=6,故答案为：6.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟

练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键.

7.（2023春，江苏宿迁•七年级统考期末）如图，在ASC中，/54C=90。，ZC=40°,A"、应）分别是ABC

的高和角平分线，点E为BC边上一点，当_3/定为直角三角形时，则

【答案】50或25/25或50

【分析】根据三角形内角和定理得/ABC=50。，由角平分线的定义得4)3C=25。，当为直角三角

形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论.

【详解】解：BlZBAC=90°,ZC=40°,EZABC=90°-40°=50°

05。平分ZABC^^DBC=-NABC=25°

2

当△也比为直角三角形时，有以下两种情况：

①当ZBED=90°时，如图1,ElZC=40o,EZCDE=90°-40°=50°；

②当ZSDE=90。时，如图2,EZB£E>=90o-25°=65°,

B1/BED=NC+/CDB,EI/CDE=65°—40°=25°,

综上，NCDE的度数为50°或25。.故答案为：50或25.

【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知"三角形的外角的性质"是解答此

题的关键.

8.（2023春•江苏泰州•七年级统考期末）已知：如图，在.ABC中，ZACB^90°,D、E分别在边AB、BC

上，AE.C。相交于点尸.

（1）给出下列信息：①NCFE=/CEF；②AE是ABC的角平分线；③C。是的高.请你用其中的两

个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；

条件：，结论：.（填序号）

证明：

（2）在（1）的条件下，若/B=c,求"EE的度数.（用含。的代数式表示）

【答案】⑴①②；③；见解答⑵〃相=135。a

【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得NS4E=NC4E,由/CFE=NCEF和

ZAFD^ZCFE,得出/CEF=/AFD,利用三角形内角和可得结论;

（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案.

【详解】（1）条件：①②，结论：③，

证明：团AE是，A5C的角平分线，SiZBAE=ZCAE,

团/CFE=NCEF,NCFE=ZAFD,^iZCEF^ZAFD,

^ZACE+ZAEC+ZCAE=ZADF+ZAFD+ZBAE=18O°,

0ZACE=ZADF=90°,EIC。是.ABC的高.

条件：①③，结论：②，

证明：回。是，ABC的高，0ZACB=ZBDC=90°,0ZB=ZACD=90°-ZBCD,

@NCFE=NCEF,ZCFE=ZACF+Z.CAF,NCEF=NB+NBAE,

^ZBAE^ZCAE,E1AE是11ABe的角平分线；

条件：②③，结论：①，

证明：回AE是，ABC的角平分线，^ZBAE^ZCAE,

EIC。是，ABC的高，^ZACB=ZBDC=9Q°,

0ZB=ZACD=90°-NBCD,

SZCFE=ZACF+Z.CAF,NCEF=NB+NBAE,

田/CFE=NCEF；故答案为：①②；③；

证明：见解答；

（2）El/B=a,0ZBAC=9O°-tz,

190°-a

回AE是，ABC的角平分线，SZBAE=-ZBAC=,

90°-a1

0ZADC=9OO,0ZDFE=ZBAE+ZADC=--------+90°=135°--a.

22

【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性

质是解题关键.

9.（2023秋•浙江•八年级专题练习）如图，在中，ZACB=90°,CmAB于D,"平分

交CD于E,交BC于尸.

c

⑴如果NCFE=70。，求的度数；（2）试说明：NCEF=NCFE.

【答案】⑴50°（2）见解析

【分析】（1）根据三角形内角和可得NC4尸的度数，根据角平分线的定义可得/C43的度数，根据直角三

角形的性质可得的度数；

（2）根据直角三角形的两锐角互余可得NC4F+NCEE=90。，ZDAE+ZAED=90°,根据角平分线的定义

可得NC4F=/ZME,从而可得NCFE=ZA£D,即可得证.

【详解】（1）解：ZACB=90°,ZCFE=10°,

ZCAF=18O°-9O°-70°=20°,

AF平分NC43交CD于E,

ZCAB=2ZCAF=40°,

,­,ZB=90o-40o=50°；

（2）证明：-NACB=90°,

ZCAF+ZCFE=90°,

CD1AB,

:.ZADE^90°,

:.ZDAE+ZAED^90°,

AF平分NC4B交CD于E,

:.Z.CAF^ZDAE,

：.ZCFE=ZAED,

ZAED=NCEF,

：.ZCEF=ZCFE.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性

质是解题的关键.

10.（2023秋•浙江•八年级专题练习）对于下列问题,在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.如

图.在直角ABC中，C。是斜边A3上的高，NBCD=35°.

⑴求/EBC的度数；⑵求—A的度数.

解：⑴,CDLAB（已知），

:.NCDB=。，

ZEBC=ZCDB+ZBCD（）,

:.NEBC=。+35。=°（等量代换），

（2）NEBC=ZA+ZACB（）,

:.ZA^ZEBC-（等式的性质），

ZACB=90°（己知），

.1NA=-90。=。（等量代换）.

【答案】（1）90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125

⑵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；ZACB-.125°；35

【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；

（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可.

【详解】（1）解：。。，43（己知），；./6/）3=90。，

/EBC=/CDB+/BCE＞（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）.

NEBC=900+35°=125°（等量代换）.

（2）/EBC=NA+NACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），

,NA=NEBC-NACB（等式的性质）.

ZACB=900（已知），；.NA=125°-90°=35。（等量代换）.

【点睛】本题考查三角形的外角.熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键.

11.（2023•广东中山,八年级校联考期中）如图，在ABC中，NACB=90。，。0,45于点。，E为AB上一

点，AC=AE

c

⑴求证：CE平分NDCB；（2）若CE=EB,求证：BD=3AD.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）证明/OCE=90O—/CED,NBCE=90。—ZACE,再证明/皿）=/ACE,从而可得结论；

（2）先证明ZB=ZBCE,/B=NDCE=/BCE=30。可得ZACD=90。—/DCE—/BCE=30。,AC=2AD,

AB=2AC=4AD,从而可得结论.

【详解】（1）证：在RtZXCDE中，/DCE=90。—NCED

在RtA4BC中，ZBCE=90°-ZACE

0AC—AE,

SZCED=ZACE,

©NDCE=NBCE,

[BCE平分/DC3；

（2）BICE=BE,

SZB^ZBCE

El在Rt/XCDE中，/B+/BCD=90°,而ZBCD=ZDCE+NBCE

0ZB=ZDCE=ZBCE=30°

BZACD=90°-ZDCE-ZBCE=30°

回在Rt^ACD中，ZACD=30°

0AC=2A£>

团在Rt^ABC中，ZB=30°

0AB=2AC=4AD,

SBD=AB-AD=3AD.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并

求解NB=ZDCE=ZBCE=30°是解本题的关键.

12.（2023•浙江温州•八年级校考阶段练习）如图，在0ABe中，0ACB=9O°,CD0A8于点。，CE平分SDC8

交48于点E,

（1）求证：EIA£C=0AC£；（2）若0AEC=2I3B,AD=1,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析⑵A3=4

【分析】（1）依据EACB=90。，CD^AB,即可得到0ACO=EIB,再根据CE平分EIBCO,可得MCE=EI£>CE,

进而得出0AEC=EACE；（2）依据048=站虑=回。（7£,0ACB=90°,即可得到0AC£）=3O。，进而得出Rt^ACD

中，AC=2AD=2,RfAABC中，AB=2AC=4.

【详解】（1）0EIACB=9OO,CD^AB,

EI0ACD+EIA=0B+EA=90°,EBAC£>=EIB,

E1CE平分团BCD,^BCE^DCE,

^EB+SBCE=SACD+^DCE,即EAEC=a4C£；

（2）00AEC=0B+I3BCE,0AEC=20B,E0B=EIBCE,

又aa4CD=!3B,fflBCE=0£>CE,SBACD=SBCE=SDCE,

又EEL4C8=90°,^EACD=30°,08=30°,

EIRfAACZ）中，AC=2AD=2,团MAABC中，AB=2AC=4.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30。角所对的直角

边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180。，三角形外角等于不相邻两个内角的和.

13.（2022秋•河南商丘•八年级统考阶段练习）如图，在：ABC中，AD、/归分别是,ABC的角平分线和高

线，ZABC=a,AACB=/3（a<。）.

A

（1）若a=35。,〃=55。，贝UZZME=；

⑵小明说："无需给出。、尸的具体数值，只需确定用与夕的差值，即可确定钻的度数.”请通过计算

验证小明的说法是否正确.

【答案】（1）10°（2）小明的说法正确，理由见解析

【分析】（1）先根据三角形的内角和求出/B4C,根据角平分线的定义求出/C4D,根据直角三角形的两

个锐角互余求出/。1E,再利用角的和差即可求出N1ME；

（2）根据（1）的思路求出/以后二勺三，即可作出判断.

【详解】（1）回ZABC=0,ZACB=/3（a<0）,e=35°,/=55°,

回N3AC=180°—e—6=90°,

回AO是NBAC的平分线，

QZDAC=-ZBAC=45°,

2

团AE是高线，

/.ZAEC=90°,

/.ZEAC=90°-ZACB=90。—，=35°,

^ZDAE=ZCAD-ZCAE=45o-35°=10°；

（2）国4AC=180。—（/45。+/48）=180。-3+4）,4）是/840的平分线，

ADAC=|ABAC=90。一+月）.

AE是高线，

/.ZAEC=90°,

/.ZEAC=90°-ZACB=90°-/?,

ZDAE=ZDAC-ZEAC=90°-1（tz+^）-（90°-/3、=.

由=可知：―ZME的度数与£的具体数值无关，只和尸与。的差值有关，

故小明的说法正确.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，

属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键.

14.（2023•安徽安庆•八年级校考期中）如图，在，ABC中，ZB=63°,NC=51。,AD是BC边上的高，AE

是/B4C的平分线.

A

⑴求N7ME的度数；（2）若/3>/C,试探求/B、NC之间的数量关系.

【答案】（1）ZDAE=6。⑵NZME=：/B-g/C

【分析】（1）根据三角形内角和定理得出“^^=180。-/5-/。=66。，根据角平分线的定义得出

ZBAE=ZCAE=-ZBAC=33°,根据AD15C,得出NADB=NADC=90。，求出NRW=90。—28=27。,

2

最后根据NZME=Z&4£_NSW=33。-27。=6。得出结果；

（2）根据角平分线的定义得出/54E=NC4E=1/BAC=90。一根据高线的定义得出

222

ZADB^ZADC^90°,求出/3">=90。一/5,根据得出/S4D<NB4E,根据

NZME=44E-44。求出结果即可.

【详解】（1）解：回在“ASC中，NB=63。，ZC=51°,

fflZ&4C=180°-ZB-ZC=66°,

回AE是/A4C的平分线，

回ZBAE=ZCAE=-ABAC=33°,

2

团AD是BC边上的高，

^ADIBC,

0ZADB=ZADC=9O°,

0ZK4D=9O°-ZB=27°,

SZDAE=ZBAE-ZBAD=33°-21°=6°.

（2）解:回NB4c=180。—NC,AE是/A4C的平分线，

ZBAE=ZCAE=-ZBAC=90°--ZB--ZC,

222

团AO是BC边上的高，

^ADIBC,

0ZADB=Zz4DC=9O°,

0ZS4D=9O°-ZS,

0ZB>ZC,

国/BADc/BAE,

⑦ZDAE=ZBAE—ZBAD

-90°--ZB-izC-900+ZB

22

=-ZB--ZC,

22

即Na4E=g/B—；NC.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练

掌握三角形内角和为180。.

15.（2023•福建莆田,八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，

那么称这两个三角形互为"等角三角形

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分

割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是"等角三角形"，我

们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线

（1）如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD1AB,请写出图中两对“等角三角形"；

⑵如图2,在ABC中，CD为NACB的平分线，ZA=40°,-3=60。.求证：CD为ABC的"等角分割线”；

⑶在ABC中，若NA=50。，CD是.ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的/ACB的度数.

【答案】⑴.与,ACD；ABC与△BCD；ACD与△BCD（任意写出两对“等角三角形”即可）

⑵见解析⑶/ACB的度数为100。或115。或2等600或号310-°

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得NACB=NADC=/BDC=90。，ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

再根据"等角三角形"的定义即可得；

（2）先根据三角形的内角和定理可得/ACB=80。，从而可得NACD=/r>CB=40。，根据等腰三角形的判

定可得AACD是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得N3DC=/ACB=80。，从而可得△BCD与

ABC是"等角三角形"，然后根据等角分割线的定义即可得证；

（3）分①当二ACD是等腰三角形，D4=OC时；②当一ACD是等腰三角形，ZM=AC时；③当△38是

等腰三角形，OC=BD时；④当△BCD是等腰三角形，D3=3C时四种情况，利用等腰三角形的性质、三

角形的外角性质求解即可得.

【详解】(1)解：ZACB=90。，CD1AB,

ZACB=ZADC=ZBDC=90°,

ZA+=ZA+ZACD=NB+NBCD=ZACD+ABCD=90°,

:.ZA=ZBCD,ZB=ZACD,

：.ABC与aACD；ABC与△BCD；.420与△3CD是”等角三角形(任意写出两对“等角三角形”即可)

(2)证明：在..ABC中，ZA=40°,/3=60。，

0ZACB=180°-ZA-ZB=80°,

回co为角平分线，

0ZACD=ZDCB=-ZACB=40°,

2

I3ZACD=ZA,ZDCB=ZA,

团CD=AD,

0ACD是等腰三角形，

回在△O3C中，ZDCB=40°,/3=60°,

0NBDC=180°-NDCB—NB=80°,

ZBDCZACB,

团△BCD与ABC是"等角三角形"，

回C。为，ABC的等角分割线.

(3)解：由题意，分以下四种情况：

①当/ACD是等腰三角形，/M=DC时，NACD=NA=50。，

0ZACB=ZBDC=50°+50°=100°；

②当,ACD是等腰三角形，ZM=AC时，ZACD=ZADC=65°,ZBCD=ZA=50°,

0ZACB=65°+50°=115°；

c

ADB

1OHO_CQO1QAO

③当△BCD是等腰三角形，OC=BD时，NACD=NBCD=NB=--------=——,

④当△BCD是等腰三角形，DB=BC时，NBDC=NBCD,

设ZBDC=ZBCD=x,则N8=180°—2x,.•.ZACD=ZB=180°—2x,

230°

由三角形的外角性质得：ZA+ZACD=ZBDC,即50。+180。一2了=%，解得X=三~,

310°

0ZACB=ZACD+ZBCD=180°-2x+x=——；

综上，/ACB的度数为100。或H5。或2手600或3学10°.

33

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3）,正

确分四种情况讨论是解题关键.

16.（2023・安徽安庆•八年级统考期末）如图，在AABC中，/瓦1C和，MC的平分线相交于点O,过点。

作EF//AB交BC于F,交AC于E,过点。作ODLBC于D.

(1)求证：ZAOB=90°+-ZC；(2)求证：AE+BF=EF；(3)^OD=a,CE+CF=2b,请用含。，b

2

的代数式表示AC£F的面积，S,CEF=（直接写出结果）

【答案】。）见解析；（2）EF=AE+BF；（3）ab

【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立.

（2）由平行线的性质和角平分线的性质，得到AE=OE,BF=OF,然后即可得结论成立;

（3）过点。作0G团AC,连接0C,由点。为内心，可知OD=OG,由另期=另的+SACOE，即可得到答案.

【详解】证明：(1)OA,。3平分4c和/ABC

NOAB=ZOAE=-ZCOB,ZOBA=NOBF=-ZABC

22

:.ZAOB=1800-NOAB-ZOBA

=180°--ZCOB--ZABC

22

=180°一;(/C0B+/A8C)

-180°-1(180°-ZC)

=90。+』/。；

2

(2)EF//AB,

:.ZOAB=ZAOE,ZABO=ZBOF,

又/OAB=NEAO,NOBA=NOBF,

:.ZAOE=ZEAO,NBOF=NOBF,

:.AE=OE,BF=OF,

:.EF=OE+OF=AE+BF

(3)如图，过点。作OGEIAC,连接OC,

回点。为国ABC的内心，则OC是回ACB的角平分线,

团OG=OD=a,

团S^CEF=+SACOE

=-CF»OD+-CE»OG

22

=1（?D*（CF+CE）

1〜

~—a*2b

2

=ab；

故答案为：ab.

【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确得到角之间

的关系，从而进行解题.

17.（2023春・江苏徐州•七年级校考阶段练习）在.ABC中，Z3=80。，NC=40。，AE平分/54C.

（1）如图①，若ADL3C于。，求NE4D的度数.⑵如图②若点P为AE上一点，P