2024年中考数学二轮题型突破训练：几何最值

题型六几何最值（专题训练）

1.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，ASC和一ADE是以点A为直角顶点的等腰直角

三角形，把以A为中心顺时针旋转，点”为射线80、CE的交点.若AB=6,

AD=1.以下结论：

①BD=CE；②B"CE；

③当点E在54的延长线上时，MC=土卫；

2

④在旋转过程中，当线段MB最短时，MBC的面积为

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明，54。段C4E即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明

MCA/3-I

NOCMs/EOl得出,即可判断③；以A为圆心，为半径画圆，当CE在；A

2

的下方与（A相切时，"8的值最小，可得四边形4EMD是正方形，在Rt上归C中

MC=^BC2-MB2=A/2+1，然后根据三角形的面积公式即可判断④.

【详解】解：：ASC和4组是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

BA=CA,DA^EA,ABAC=ZDAE=90°,

/BAD=/CAE,

：.,BAD^CAE,

：.ZABD^ZACE,BD=CE,故①正确；

设ZABD=ZACE=a,

：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=ZDBC+ZBCA+ZACE=45°-a+45°+cz=90o,

：.BD±CE,故②正确;

NDCMsNECA

,MCCD

'*AC-ET

,:AB=BAD=I.

•,CD=AC—AD=A/3—1，CE=AE1+AC2=2

.MCV3-1

"V3-2

MC=3-，,故③正确；

2

...当CE■在（A的下方与.4相切时，Affi的值最小，ZADM=ZDAE=ZAEM=90°

四边形AEMD是矩形，

又

/.四边形AEMD是正方形，

/.MD=AE=l,

,•*BD=EC=dAC°-AE2=应,

：•MB=BD-MD=母一1,

在RtMFC中，MC=4B^^MB2

・•_P5取得最小值时，MC=VAB2+AC,2—MB2=<^3+3-^A/2—1)=5/2+1

•••SBMC=|MBXMC=1(V2-1)(V2+1)=1

故④正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，

全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=3,点E是AB的中点，点F是AD边上的一

个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到A'E产，则4C的长的最小值是(

C.V13-1D.V10-1

【答案】D

【详解】

以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小

在RLBCE中，BE=1AB=1,BC=3,4=90，

.-.CE=VBE2+BC2=回，

A'C的最小值=CE-A'E=710-1.

故选D.

3.如图，ZXABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于点E,D是线段BE上的一个动点，则

。。+好3。的最小值是（）

5

【答案】B

【详解】

如图，作DH_LAB于H,CM_LAB于M.

ZAEB=90°,

BE

*.*tanA=-----=2,设AE=a,BE=2a,

AE

则有：100=a2+4a2,

/.a2=20,

/.a=2君或-2石（舍弃），

BE=2a=4y/s，

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,

.♦.CM=BE=4正（等腰三角形两腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

:,sin/DBH=迫=处=6，

BDAB5

,-.DH=—BD,

5

.-.CD+—BD=CD+DH,

5

••・CD+DH2CM,

二.CD+手BDN46,

ACD+^BD的最小值为4J弓.

故选B.

4.如图，在RtM3c中，ZC=90°，AC=4BC=3,点0是AB的三等分点，半圆0

则MN的最小值和最大值之和是（)

D.8

【答案】B

【详解】

如图，设。。与AC相切于点D,连接OD,作OPLBC垂足为P交。O于F,

此时垂线段OP最短，PF最小值为。尸―。尸，

VAC=4,BC=3,

：.AB=5

；NOPB=9(f，

：.OPAC

:点。是AB的三等分点,

。5=<5=竺OPOB2

33AC~AB3

8

OP

3

:。。与AC相切于点D,

OD±AC,

:.OD//BC，

.OP_OA_1

"BC~AB~3

OD=1,

o5

MN最小值为OP-OF=——1=—,

33

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长,

土10,13

MN最大值=---1-1=一,

33

513z

-+——=6,

33

AMN长的最大值与最小值的和是6.

故选B.

6.（2023•山东东营・统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,点E,P分别在边。C,

上，且BF=CE,AE平分/CAD,连接。尸，分别交AE,AC于点G,M,尸是线段

AG上的一个动点，过点尸作尸N_LAC垂足为N,连接有下列四个结论：①AE垂直

平分。0；②PM+/W的最小值为3万；③CF2=GEAE；@8^=642.其中正确的

是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明NZME=NFDC,通过等量转化即可求证

AG±DM,利用角平分线的性质和公共边即可证明.ADGM一AMG（ASA）,从而推出①的

结论；利用①中的部分结果可证明推出O£2=GE.AE,通过等量代换可推

出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM和CM长度，最后通过面积法即可求

证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出尸河+PN的最小值，从而证明②不对.

【详解】解：钻8为正方形，

:.BC=CD=ADfZADE=ZDCF=90°,

BF=CE,

:.DE=FC,

ADE^DCF(SAS),

:.NDAE=/FDC,

ZADE=90°,

ZADG+ZFDC=90°f

ZADG+ZDAE=90°f

.\ZAGD=ZAGM=90°.

AE平分NCW,

:.ZDAG=ZMAG.

AG=AGf

ADG^AMG(ASA).

:.DG=GM,

ZAGD=ZAGM=90°,

二四垂直平分血/,

故①正确.

由①可知，ZADE=/DGE=90°,/DAE=NGDE,

ADE：DGE,

DEAE

"~GE~~DE'

:.DE2=GEAE,

由①可知OE=C5,

:.CF2=GEAE.

故③正确.

MCD为正方形，且边长为4,

在Rt/XABC中，AC=V2AB=4A/2.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

.-.AM=AD=4,

CM=AC-AM=A42-4.

由图可知，DMC和△ADM等高，设高为工

•q—c_c

…uADM-uADC°DMC，

4xh_4x4卜&-4〉/2,

2'

，/z=20,

:.S,=--AM-h=-x4x2y/2=4y/2.

nM22

故④不正确.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

:.DG=GM,

关于线段AG的对称点为。，过点。作DN'LAC,交AC于N',交AE于P,

,尸河+PN最小即为。N',如图所示，

由④可知AADM的高〃=20即为图中的DN',

DN'=272.

故②不正确.

综上所述，正确的是①③.

故选：D.

【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角

形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.

7.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60°,G为对角线BD（不含B点）上

任意一点，将4ABG绕点B逆时针旋转60°得到AEBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）

2百373

A.空

2丁3

【答案】D

【详解】

VWAABG绕点B逆时针旋转60°得到AEBF,

；.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

.•.△BFG是等边三角形.

；.BF=BG=FG,.

AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根据“两点之间线段最短”，

当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长,

过E点作EF±BC交CB的延长线于F,

.•.ZEBF=180°-120°=60°,

VBC=4,

；.BF=2,EF=2币,在RtAEFC中,

：EF2+FC2=EC2,

；.EC=4技

VZCBE=120°,

/.ZBEF=30°,

,：ZEBF=ZABG=30°,

；.EF=BF=FG,

14A/3

.•.EF=-CE=-1^-,

33

故选：D.

8.（2023•浙江台州•统考中考真题）如图，。的圆心。与正方形的中心重合，已知的

半径和正方形的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）.

B.2C.4+2应D.4-2a

【答案】D

【分析】设正方形四个顶点分别为4B、aD,连接Q4并延长，交。于点E,由题意

可得，E4的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可.

【详解】解：设正方形四个顶点分别为AB、aD,连接。4并延长，交：。于点E,过

点。作如下图:

则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，

由题意可得：OE=AB=4,AF=OF=-AB=2

2

由勾股定理可得：OA=yJOF2+AF2=2A/2-

AE=4-2&，

故选：D.

【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形

的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置.

9.（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，E,歹是正方形ABCD的边48的三等分点，P是

对角线AC上的动点，当尸E+尸尸取得最小值时，%的值是.

【分析】作点/关于AC的对称点尸，，连接所'交AC于点P,此时尸E+尸尸取得最小值,

过点尸'作AD的垂线段，交AC于点K,根据题意可知点p落在AD上，设正方形的边长为

Kp，

求得AK的边长'证明△AEPs△在，p’可得六=2,即可解答.

【详解】解：作点/关于AC的对称点/，，连接EF'交AC于点P,过点F作AD的垂线

段，交AC于点K,

由题意得：此时「落在A£＞上，且根据对称的性质，当尸点与尸'重合时PE+尸尸取得最小

值，

2

设正方形A3CD的边长为。，则==

四边形ABCD是正方形，

:.NF'AK=45。,/PAE=45°,ACfa

F'K±AF',

NF'AK=NF'KA=45°,

272

AK=—!—a,

3

ZF'PK=ZEPA,

:△E'Kps^w,

.F'K_KP'

••——2«

AEAPr

10

/.APf=-AK=-42a,

39

7

:.CP'=AC—AP'=—国,

9

.AP_2

••7=一,

CP'7

Apa

・・・当PE+M取得最小值时，器的值是为

故答案为：.

【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形

的性质，正确画出辅助线是解题的关键.

10.（2023•辽宁・统考中考真题）如图，线段AB=8,点C是线段上的动点，将线段BC绕

点B顺时针旋转120。得到线段80,连接8,在A8的上方作RtADCE,使

/。可=90,NE=30,点/为DE的中点，连接AF,当"最小时，ABCD的面积为

【答案】旧

【分析】连接CEBF,BF,切交于点P,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得所

垂直平分CF,NASB=60。为定角，可得点/在射线班'上运动，当AFL3尸时，AF最小，

由含30度角直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接CEBF,BF,2交于点尸，如图，

VZDCE=9Q,点产为DE的中点，

FC=FD,

**'NE=3U,

：.ZFDC=60°,

。比9是等边三角形，

ZDFC=ZFCD=6O°；

•..线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD,

BC=BD,

'：FC=FD,

M垂直平分CF,ZABF=60°,

...点尸在射线8尸上运动，

.•.当AF_L3-时，AF最小，

止匕时NFAB=90°-ZABF=30°,

BF=-AB=4；

2

,/NBFC=-ZDFC=30°,

2

ZFCB=Z.BFC+ZABF=90°,

：.BC=-BF=2,

2

PB=-BC=1,

2

由勾股定理得PC=^BC--PB1=73-

/.CD=2PC=273,

：•SABCD=；CD.PB=gx2寻I=6

故答案为：＞/3.

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定

理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点厂的运动路径是关键与难点.

11.如图，RtzXABC中，ABLBC,AB=6,5c=4,P是/XABC内部的一个动点,

且满足ZPAB+ZPBA=90°,则线段CP长的最小值为.

【答案】2：

【详解】

VZPAB+ZPBA=90°

ZAPB=90°

，点P在以AB为直径的弧上（P在AABC内）

设以AB为直径的圆心为点O,如图

接OC,交。O于点P,此时的PC最短

VAB=6,

/.OB=3

VBC=4

OC=yjOB^+BC1=V32+42=5

.\PC=5-3=2

12.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连

接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将

F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，

初始时刻G点在5位置，最终G点在G?位置（&不一定在CD边），G&即为G

点运动轨迹.

B

CG最小值即当CG，G&的时候取至ij,作CH±G&于点乩CH即为所求的最

小值.

根据模型可知：GO?与AB夹角为60°,故GC2，EG|.

=1,CFJC£=I

过点E作EFXCH于点F,则HF=

55

所以CH=2,因此CG的最小值为5.

13.如图，矩形ABCZ）中，AB=4,BC=6,点P是矩形ABCZ）内一动点，且5ApAB=^APCD，

则PC+PD的最小值为

【答案】2屈

【详解】

ABCD为矩形,

•,AB=DC

又,SPAB=SPCD

点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线肱V上,

连接AC,交MN与悬P,止匕时PC+?D的值最小，

且PC+PD=AC=6跖记=岑百=卮=2岳

故答案为：2瓦

14.如图，在4ABC中，NACB=90°,ZA=30°,AB=5,点P是AC上的动点，连接BP,

以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是

【答案】

4

【详解】

解：如图，取AB的中点E,连接CE,PE.

VZACB=90°,NA=30°,

ZCBE=60°,

VBE=AE,

.'.CE=BE=AE,

•••△BCE是等边三角形，

.'.BC=BE,

VZPBQ=ZCBE=60°，

：.ZQBC=ZPBE,

VQB=PB,CB=EB,

.,.△QBC^APBE(SAS),

AQC=PE,

・••当EPLAC时，QC的值最小，

在Rt^AEP中，・.・AE=|,NA=30°,

15

.'.PE=-AE=-,

24

ACQ的最小值为"

4

故答案为：

4

15.如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点0,N是A0的中点，点M在BC边上,

且BM=6.P为对角线BD上一点，贝IPM-PN的最大值为.

【答案】2

【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',依据PM-PN=PM-PN'WMN',

1

可得当P,M,N'三点共线时，取“="，再求得JCM=JCN=1上，即可得出PM〃AB〃CD,

BMAN'3

ZCMN'=90°,再根据CM为等腰直角三角形，即可得至ijCM=MN'=2.

【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',

根据轴对称性质可知，PN=PN',

APM-PN=PM-PN'WMN',

当P,M,N'三点共线时，取“=”，

•••正方形边长为8,

AC=V2AB=8A/2，

0为AC中点,

.•.A0=0C=4后，

：N为0A中点，

；.0N=2也，

；.0N=CN'=2A/2,

=6也，

:BM=6,

ACM=AB-BM=8-6=2,

.CMCM_1

"BM~~AN7~3

；.PM〃AB〃CD,ZCMN'=90°,

：NN'CM=45°,

•,.△N'CM为等腰直角三角形，

.•.CM=MN'=2,

即PM-PN的最大值为2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般

要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

16.如图，ABC是等边三角形，AB=6,N是"的中点，AQ是8C边上的中线，M是

上的一个动点，连接则+的最小值是

A

【答案】36

【分析】

根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM,MN的值，从而找出其最

小值，进而根据勾股定理求出CN,即可求出答案.

【解析】

解：连接CN,与AD交于点M,连接BM.（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），

AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN,则CN就是BM+MN的最小值.

•/ABC是等边三角形，AB=6,N是A3的中点,

.•.AC=AB=6,AN=1AB=3,CN±AB,

CN=y/AC2-AN2=A/62-32=A/27=3V3.

即BM+MN的最小值为3&.

故答案为：3G.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，

等腰三角形的性质等知识点的综合运用.

17.如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个

动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=31gAO+Br)],故求gAD+80最小值即可.

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造2仞，条件已经足够明显.

3

当D点运动到AC边时，DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中,

2

始终存在DM=—DA.

3

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.

18.如图，四边形ABCD中，AB〃CD,ZABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内

的一个动点，满足NAMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为

【答案】36-2

【解析】

【分析】

取AD的中点0,连接0M,过点M作MELBC交BC的延长线于E,点点0作0F_LBC于F,交

CD于G,贝”0M+ME20F.求出0M,0F即可解决问题.

【详解】

解：取AD的中点0,连接0M,过点M作ME1BC交BC的延长线于E,点点0作0FLBC于F,

交CD于G,贝!J0M+ME20F.

VZAMD=90°,AD=4,OA=OD,

1

・・・0M=—AD=2,

2

VAB//CD,

・・・NGCF=NB=60°,

AZDG0=ZCGE=30°,

,.・AD=BC,

・・・NDAB=NB=60°,

AZADC=ZBCD=120°,

AZD0G=30°=ZDG0,

・・・DG=D0=2,

VCD=4,

・・・CG=2,

・・・0G=25GF=50F=3G

・・・ME20F-0M=3相-2,

・••当0,M,E共线时，ME的值最小，最小值为36-2.

【点睛】

本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学

会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

19.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6,且NABC=60°,M是菱形内任一点，连接AM,

BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为.

【答案】673

【详解】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得至iJzXBNE,；BM=BN,NMBN=NCBE=60。,.\MN=BM\,MC=NE

Z.AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.

：AB=BC=BE=6,ZABH=ZEBH=60°,.,.BH±AE,AH=EH,ZBAH=30°,；.BH=；AB=3,AH=6

BH=37L；.AE=2AH=6G

故答案为6^3.

20.如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△P6E沿PE折叠,

得到△PBE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为

D

E

BpC

【答案】8

【解析】

【分析】

点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据

勾股定理求出CE,再根据折叠的性质得到BE=EF=5即可.

【详解】

解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF

的值最小,

根据折叠的性质，Z\EBP四△EFP,

；.EF_LPF,EB=EF,

是AB边的中点，AB=10,

；.AE=EF=5,

VAD=BC=12,

CE=^BE2+BC2=V52+122=13，

；.CF=CE-EF=13-5=8.

故答案为8.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应

用相关知识是解答本题的关键.

21.如图所示，ZAOB=3Q，点P为NAO3内一点，。尸=8,点分别在04,03上，

求/\PMN周长的最小值____.

■P

【答案】APMN周长的最小值为8

【详解】

如图，作P关于OA、OB的对称点片、P2,连结。片、。鸟，片鸟交OA.OB于M、N,此时APMN

周长最小，根据轴对称性质可知PM=£M,PN=P[N,:.APMN=RM+MN+P?N=PR，

且ZA0P=/A04，ABOP=ZBOP2,N《Og=2NAO8=60。，OPi=OP2=OP=S,A[4。为等

边三角形，4鸟=。4=8即八/加亚周长的最小值为8.

22.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M,

⑴将「.CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;

⑵将.CDE绕顶点C逆时针旋转120。（如图2）,求的长.

【答案】（1）最大值为3,最小值为1

⑵4

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出C",CN的值，进而根据题意求得最大值

与最小值即可求解；

（2）过点N作NPLMC,交MC的延长线于点尸，根据旋转的性质求得ZMav=12O。，进

而得出NNCP=60。，进而可得CP=1,勾股定理解Rt_NCP,Rt_MCP,即可求解.

【详解】（1）解：依题意，CM=^-DE=1,CN=^-AB=2,

22

当加在NC的延长线上时，",N的距离最大，最大值为CN+C7V=l+2=3,

当M在线段CN上时，M,N的距离最小，最小值为。V—C7V=2—1=1；

・・・，CD石绕顶点C逆时针旋转120°,

：.ZBCE=120°,

ZBCN=Z.ECM=45°,

・•・ZMCN=ZBCM-ZECM=ZBCE=120°,

ZNCP=60°,

；・NCNP=30。,

：.CP=-CN=1,

2

在RtCNP中,NP=yjNC2-CP2=A/3>

在RtAAWP中，MP=MC+CP=1+1=2,

MN=>]NP2+MP2=V3+4=V7.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含

30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键.

23.在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，出2也;

（1）如图1,将4ADE绕点D逆时针旋转90°得到ADCF,连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；②求肝2的取值范围；

⑵如图2,求BE+AE+DE的最小值.

【答案】（1）①补图见解析；②8<石尸2<16;（2）28+2

【详解】

（1）①如图4DCF即为所求;

②,/四边形ABCD是正方形，

，BC=AB=20,ZB=90°,ZDAE=ZADC=45°,

；.AC=VAB2+BC2=V2AB=4，

•/AADE绕点D逆时针旋转90°得到aDCF,

.,.ZDCF=ZDAE=45°,AE=CF,

/.ZECF=ZACD+ZDCF=900,

设AE=CF=x,EF2=y,则EC=4r,

；.y=(4^<)J+x2=2x2-8x+160(0VxW4).

即y=2(x-2)2+8,

V2>0,

；.x=2时，y有最小值，最小值为8,

当x=4时，y最大值=16,

；.8WEF2W16.

(2)如图中，将4ABE绕点A顺时针旋转60。得到AAFG,连接EG,DF.作FH_LAD于H.

由旋转的性质可知，4AEG是等边三角形，

；.AE=EG,

「DFWFG+EG+DE,BE=FG,

AAE+BE+DE的最小值为线段DF的长.

在RtZ\AFH中，ZFAH=30°,AB=2&=AF,

1r-,-----------r-

•'-FH=—AF=V2>AH=y]AF2-FH2=A/6，

在RtZ\DFH中，DF=dFH、DH2=J(2&+府=2^3+2,

ABE+AE+ED的最小值为26+2.

24.(2023・湖北随州・统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：

给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位

置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里

拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”

中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处

填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)

当,ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到，A'P'C,连接PP,

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>AB,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，B4+P3+PC取最小值，如图2,最小

值为A3,此时的尸点为该三角形的“费马点”，且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③；

已知当11ABe有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若

ZBAC>120°,则该三角形的“费马点”为④点.

（2）如图4,在1aAsc中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,/AC3=30。，己知点尸

为，ABC的“费马点”，求申+P3+PC的值；

（3汝口图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知

AC=4km,BC=2^km,ZACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺

设电缆，已知由中转站P到村庄C的铺设成本分别为a元/km,a元/km,元/km,

选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为__________元.（结果用含a的式子表

示）

【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

⑵5

⑶2屈a

【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转60。得到二APC,即可得出可知当3,

P,P',A在同一条直线上时，B4+PS+PC取最小值，最小值为A3,在根据/ACB=30。

可证明ZACAZACP+ZBCP+ZPCP1=90°，由勾股定理求AB即可,

(3)由总的铺设成本=a(尸A+P3+0PC),通过将绕，点C顺时针旋转90。得到

AP'C,得到等腰直角aPPC,得到0PC=PP，即可得出当8,P,P',A在同一条直

线上时，尸‘A+PS+尸P取最小值，即PA+PB+GPC取最小值为A3,然后根据已知和旋

转性质求出即可.

【详解】(1)解：：PC=P'C,ZPCP=60。,

•••△PCP为等边三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又PA=R4,PA+PB+PC=PA+PB+PP'>AB,

由两点之间线段最短可知，当3,P,P',A在同一条直线上时，P4+P3+PC取最小值,

最小值为此时的尸点为该三角形的“费马点”，

二/3PC+/P'PC=180°,NA'PC+/PPC=180。，

ZBPC=120°,ZA'PC=120°,

又：APC=A'PC,

，ZAPC=ZAP'C=120°,

：.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120。，

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120。；

•/ZS4C>120°,

BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小.

又.••已知当ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.

该三角形的“费马点”为点A,

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；@A.

(2)将绕，点C顺时针旋转60。得到APC,连接PP,

由(1)可知当8,P,P',A在同一条直线上时，F4+P3+尸C取最小值，最小值为A3,

A'

/力

ZACP^ZACP1,

：.ZACP+ZBCP=ZA'CP+NBCP=ZACB=30°,

又：zpcr=60°

...ZBC4,=ZA'CP+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

A'B=y/BC2+A'C2=742+32=5，

上4+PB+PC最小值为5,

(3)•:总、的铺设成本=PA.a+PB.a+PC.在a=a(PA+PB+应PC)

当PA++y/2PC最小时，总的铺设成本最低，

将绕，点C顺时针旋转90。得到.A'PC,连接PP,AB

由旋转性质可知：PC=PC,"CP'=/AG4'=90。，PA=PA,A'C=AC=4km,

PP'=及PC，

PA+PB+&PC=P'A'+PB+PP'，

当B,P,P',A在同一条直线上时，PA+PB+PP取最小值，即PA+PB+VIPC取最小

值为A3,

过点A，作A"_LBC,垂足为

VZACB=60°,ZACA'=90°,

ZA'CH=30°,

A'H=-A'C=2km,

2

•*-HC=VAC2-AH2=V42-22=26(km)，

BH=BC+CH=2A/3+2百=4g(km),

AB=yjAH2+BH2=7(4A/3)2+22=2a(km)

PA+PB+6.PC的最小值为2而km

总的铺设成本=PA,a+PB.a+PC.®=a(PA+PB+y/2PC)=2413a(元)

故答案为：2y/^>a

【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定

与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助

线是解本题的关键.

25.(2023・重庆•统考中考真题)在RtABC中，ZACB=90°,48=60。，点。为线段AB上

一动点，连接co.

(1)如图1,若AC=9,BD=6,求线段AD的长.

(2)如图2,以C。为边在上方作等边;CDE,点/是DE的中点，连接3/并延长，交CD

的延长线于点G.若NG=ZBCE,求证：GF=BF+BE.

⑶在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CO右侧作等边口CDE.点M为O)所在直线上

一点，将一跳河沿3”所在直线翻折至，ABC所在平面内得到BNM.连接AN,点尸为

AN的中点，连接CP,当CP取最大值时，连接3P,将’8。尸沿2。所在直线翻折至。45。

所在平面内得到BCQ,请直接写出此时等的值.

【答案】(1)573

(2)见解析

(3)空

【分析】(1)解RtABC,求得A3,根据AD=AB-应)即可求解；

(2)延长FB使得FH=BG,连接EH,可得一GFD空HFE(SAS),根据

/DEC=NDBC=60。,得出B,C,O,E四点共圆，则N£DB=NBCE,NBEC=NBDC,得

出NBEH=60°-ZBEC=60°-ZBDC=ZEDB,结合已知条件得出=ZBEH,可得

EB=BH,即可得证；

(3)在C。取得最小值的条件下，即CDLAB,设AB=4a,则3C=2a,AC=2^a,根

据题意得出点N在以8为圆心，。为半径的圆上运动，取48的中点S,连接SP,则SP是

ASN的中位线，P在半径为1。的1S上运动，当CP取最大值时，即尸,S,C三点共线时,

此时如图，过点尸作PTLAC于点T,过点N作顺_LAC于点R,连接PQ,交NR于点U,

则四边形巴/T是矩形，得出尸。是，AA火的中位线，同理可得P7是次的中位线，

△BCS是等边三角形，将1aBeP沿2C所在直线翻折至11ABe所在平面内得到BCQ,则

NQCP=2NBCP=120°,在RtNU。中，勾股定理求得NQ,进而即可求解.

【详解】(1)解：在RtABC中，ZACB=90°,^B=60°,

2

•/BD=y/3,

AD=AB-BD=5y/3;

(2)证明：如图所示，延长FB使得FH=FG,连接EH,

:尸是OE的中点则=FH=FG,ZGFD=ZHFE,

：.SGFD^HFE（SAS）,

ZH=ZG,

：.EH//GC,

/.ZHEC=ZECD=60°

DEC是等边三角形，

：.ZDEC=ZEDC=60°,

,/NDEC=NDBC=60°,

・・・瓦C,D,E四点共圆,

:.NEDB=ZBCE,NBEC=NBDC,

：.ZBEH=60°-ZBEC=60°-ZBDC=ZEDB,

•・・ZG=ZBCE=ZBDE=ZH,

：・ZH=ZBEH,

EB=BH,

：.FH=FG=BF+BH=BF+EB；

(3)解：如图所示，

在CO取得最小值的条件下，即CDLAB,

设AB—4a,则BC=2a,AC=26a，

・八门ACxBC2>j3ax2a后1

AB4〃2

•・•将一BEM沿BM所在直线翻折至，ABC所在平面内得到.BNM.

：.BE=BN

・••点N在以3为圆心，〃为半径的圆上运动，

取的中点S,连接SP,

则S尸是ABN的中位线，

•♦•尸在半径为,。的（S上运动，

2

当CP取最大值时，即P,S,C三点共线时，此时如图，过点尸作PTLAC于点T,过点N作

人次，4。于点尺,

•・・S是A5的中点，ZABC=60°

：.SC=SB=BC,

・・・△BCS是等边三角形，

则NPCfi=60。，

ZPCA=ZACB-ZBCP=30°,

•:BC=2a,AB=4a,

：.CS=BC=2a,PS=-a

2

：.PC^-a,PT=PCxsinZPCT=-PC^-a,TC="PT=』瓜

2244

•/AC=26a,

o

AT——y/Sci,

4

如图所示，连接尸。，交NR于点U,则四边形PORT是矩形，

APU//AR,P是AN的中点，

.NU_NP-

9t~UR~~PA~

即PD是4\放的中位线，同理可得PT是AA火的中位线,

.・.NU=UR=PT=-