2024年中考数学必考考点专项复习：一元二次方程及其应用（含解析）

专题09一元二次方程及其应用

专题学问回顾

1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：ax2+6x+c=0(aW0)。其中ax?是二次项，a是二次项系数；是一次项，6是

一次项系数；。是常数项。

3.一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解

也叫做一元二次方程的根。

4.一元二次方程的解法

有干脆开方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)干脆开方法。

适用形式：x=p>(x+n)2=p或(mx+n)2=p»

(2)配方法。套用公式J+2a出层=(a+6)z；3-2口出炉=(/"?，配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化简一一把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1;

②移项一一把常数项移项到等号的右边；

③配方一一两边同时加上况把左边配成x426x+炉的形式，并写成完全平方的形式；

④开方，即降次；

⑤解一次方程。

(3)公式法。

当N-BCZO时，方程aV+6x+c=0的实数根可写为：、士"'-或的形式,这个式子叫做一元二次

2a

方程加+6X+A0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

①9-4公>0时，方程有两个不相等的实数根。

-b+^Jb2-4ac-b-y!b2-4ac

Xi—,XQ—

2a2a

②9-4数=0时，方程有两个相等的实数根。

b

-Xry-----

一2a

③/-4ac<0时，方程无实数根。

定义：9-4ac叫做一元二次方程ax2+6x+c=0的根的判别式，通常用字母/表示，即zl=Z?2-4aCo

（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简洁易行，是解

一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。

5.一元二次方程根与系数的关系

be

假如方程ax?+6x+c=0（。/0）的两个实数根是七，x,,那么玉+%=——，=—。也就是说，

aa

对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反

数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤

第1步：审题。细致读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。依据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。依据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。依据方程的类型采纳相应的解法。

第5步：检验。检验所求得的根是否满意题意。

第6步：答。

专题典型题考法及解析

【例题1】（2024安徽）解方程：（x-1）2=4.

【答案】荀=3,xz=-1.

【解析】此题主要考查了干脆开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数

项移项等号的右边，化成x?=a（a20）的形式，利用数的开方干脆求解.（1）用干脆开方法求一元二次方

程的解的类型有：x=a（a^O）；ax=b（a,6同号且a¥0）；（x+a）,=6（6>0）；a（.x+b'）2=c（a,c同

号且aWO）.法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”.

（2）用干脆开方法求一元二次方程的解，要细致视察方程的特点.

利用干脆开平方法，方程两边干脆开平方即可.

两边干脆开平方得：x-l=±2,

x-1=2或x-1=-2,

解得：xi=3,-1.

【例题2】(2024山西)一元二次方程V-4%-1=0配方后可化为()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3D.(x-2)2=5

【答案】D

【解析】%2-4X-1=0,(X2-4X+4)-4-1=0,(X-2)2=5,故选几

【例题3】(2024年山东省威海市)一元二次方程3/=4-2x的解是.

,答案7荀二士逗，e二士逅.

33

【解析】干脆利用公式法解方程得出答案.

3/=4-2x

3x+2x-4=0,

贝lj62-4ac=4-4X3X(-4)=52>0,

故k-2士倔,

6

解得一=士逗，『土医.

33

【例题4](2024年江苏省扬州市)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是.

【答案】1或2.

【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

x(x-2)—x~2,

x(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0,x-1=0,

xi=2,X2=l

【例题5】(2024北京市)关于x的方程尤2-2尤+2机-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方

程的根.

【答案】m=l,此方程的根为玉=%=1

【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式尸-4比20进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求

出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.

关于x的方程/一2%+2m—1=0W实数根，

A=Z?2-4ac=（-2）~-4xlx（2m-1）=4-8m+4=8-8m>0

/.m<l

又为正整数，.一勺，

此时方程为无2_2元+1=0解得根为占=x2=l,

此方程的根为占=々=1

【例题6]（2024四川泸州）已知毛,也是一元二次方程*-x-4=0的两实根，则（xi+4）（xz+4）的值是.

【答案】16

【解析】考查一元二次方程根与系数的关系

'.Xi,刘是一元二次方程X?-X-4=0的两实根，

•*X2~~19X\X2-4,

（xi+4）（为+4）

=XIX2+4M+4至+16

=不用+4（不+至）+16

=-4+4X1+16

=-4+4+16

=16

【例题7]（2024安徽）据国家统计局数据，2024年全年国内生产总值为90.3万亿，比2024年增长6.6%.假

设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）

A.2024年B.2024年C.2024年D.2024年

【答案】B.

【解析】依据题意分别求出2024年全年国内生产总值、2024年全年国内生产总值，得到答案.2024年全

年国内生产总值为：90.3X（1+6.6%）=96.2598（万亿），

2024年全年国内生产总值为：96.2598X（1+6.6%）-102.6（万亿年

.•.国内生产总值首次突破100万亿的年份是2024年。

专题典型训练题

一、选择题

1.（2024甘肃省兰州市）x=l是关于的一元二次方程3+斯+26=0的解，则2女+46=（）

A.-2B.-3C.4D.-6

【答案】A.

【解析】将x=l代入方程x,+aA+26=0,得a+26=—1,

2K4b=2（a+26）=2X（-1）=-2.

2.（2024•湖南怀化）一元二次方程V+2x+l=0的解是（）

A.xi=l,X2=-1B.xi=X2=1C.xi=xz=-1D.xi=-1,x2=2

【答案】C.

【解析】本题主要考查解一元二次方程的实力，娴熟驾驭解一元二次方程的几种常用方法：干脆开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

利用完全平方公式变形，从而得出方程的解.

jf+2x+l=0,

（x+1）2=0,

贝!Ix+l=0,

解得Xi=X2=-1,

3.（2024•浙江金华）用配方法解方程*-6x-8=0时，配方结果正确的是（）

A.（x-3）2=17B.（尸3尸=14C.0-6）2=44D.（尸3）2=1

【答案】A

【解析】配方法解一元二次方程

•.32-6k8=0,

*-6x+9=8+9,

（犷3）J17.

4.（2024湖北咸宁）若关于x的一元二次方程T-2X+R=0有实数根，则实数⑷的取值范围是（）

A.m<lB.勿C.m>lD."

【答案】

【解析】:•关于x的一元二次方程2x+m=0有实数根，

；.△=（-2）2-4勿20,

解得：〃二1.

5.（2024内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,6是关于x的一元二次方程

x°T2x+加2=0

的两根，则〃的值是（

A.34B.30C.30或34D.30或36

【答案】A.

【解析】分两种状况探讨：

①若4为等腰三角形底边长，则a,6是两腰，

.,.方程V-12x+研2=0有两个相等实根，

△=（-12）-4X1X（加2）=136-4炉0,

:.-34.

此时方程为VT2x+36=0,解得荀=兹=6.

二三边为6,6,4,满意三边关系，符合题意.

②若4为等腰三角形腰长，则处6中有一条边也为4,

方程/T2x+m2=0有一根为4.

.♦.42-12X4+加2=0,

解得，炉30.

此时方程为x"12x+32=0,解得荀=4,花=8.

.•♦三边为4,4,8,不满意三边关系，故舍去.

综上，力的值为34.

6.（2024•山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（A-2）f-24x+A=6有实数根，则左的取值范围为（）

A.420B.420且M2C.D.上且4W2

22

【答案】D.

【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。依据二次项系数非零结合根的判别式△2（），即可得

出关于“的一元一次不等式组，解之即可得出A的取值范围.

Ck-2）/-2kx+k-6=0,

••・关于x的一元二次方程（A-2）x「2#x+A=6有实数根，

.%-2工0

（A=（-2k）2-4（k-2）（k-6）＞C

解得：且22.

2

7.（2024湖北仙桃）若方程f-2x-4=0的两个实数根为a,B,则a,B2的值为（）

A.12B.10C.4D.-4

【答案】A

【解析】,・•方程/-2x-4=0的两个实数根为a,B,

a+B=2,aB=-4,

a2+g2=（a+B）2-2aP=4+8=12

8.（2024•江苏泰州）方程2V+6xT=0的两根为矛i、x?则矛i+生等于（）

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】C.

【解析】依据根与系数的关系即可求出答案.

由于△＞（）,

/.Xl+^2—-3,

9.（2024山东淄博）若矛1+也=3,矛/+/=5,则以不，怒为根的一元二次方程是（）

A.x-3x+2=0B.x+3x-2=0C.x+3x+2=0D.x-3x-2=0

【答案】A.

【解析】本题考查了根与系数的关系：若不，也是一元二次方程乃/+6x+c=0（aWO）的两根时，不+用=-

k,荀X2=W.利用完全平方公式计算出为吊=2,然后依据根与系数的关系写出以为，刘为根的一元二次方

aa

程.

•X\+加—5j

（xi+彭）2-2为至=5,

而为+兹=3,

••9—2XIA2~~5,

・・Xi至=2,

二以Xi,刘为根的一元二次方程为f-3x+2=0.

10.（2024•广东）已知XL是一元二次方程了V-2后0的两个实数根，下列结论错误的是（）

A.xi^xiB.xi-2荀=0C.XI+X2=2D.XI,x?=2

【答案】D

【解析】因式分解x（犷2）=0,解得两个根分别为。和2,代入选项解除法.

11.（2024•广西贵港）若。，£是关于x的一元二次方程V-2X+R=0的两实根，且工+』-=-2,

a63

则以等于（）

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】B.

【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到a+£=2,aB=m,再化简工+1-=巴上，代入可求

aBa3

解；

a,B是关于x的一元二次方程V-2x+加=0的两实根，

二a+£=2,afi=m,

..1,1—a+B_2__2

•~aTaB了

：・m=-3

12.（2024•浙江宁波）能说明命题“关于x的方程*-4X+R=0肯定有实数根”是假命题的反例为（）

A.m=-1B./=0C.〃=4D.勿=5

【答案】D.

【解析】利用m=5使方程/-4x+以=0没有实数解，从而可把勿=5作为说明命题“关于£的方程/-4x+〃

=0肯定有实数根”是假命题的反例.

当勿=5时，方程变形为V-4x+勿=5=0,

因为△=（-4）2-4X5C0,

所以方程没有实数解，

所以m=5可作为说明命题“关于x的方程/-4^=0肯定有实数根”是假命题的反例.

13.（2024,黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次

降价的百分率为（）

A.20%B.40%C.18%D.36%

【答案】A.

【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，依据公式

a（1-x）2=6比照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键.

设降价的百分率为x

依据题意可列方程为25（1-x）2=16

解方程得=2（舍）

X1525

每次降价得百分率为20%

14.（2024•湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，许多贫困人口走向了致富的道路.某地区2024

年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2024年底贫困人口削减至1万人.设2024年底至2024年

底该地区贫困人口的年平均下降率为X,依据题意列方程得（）

A.9（1-2x）=1B.9（1-x）2=1C.9（l+2x）=1D.9（1+x）2=1

【答案】B.

【解析】等量关系为：2024年贫困人口X（1-下降率）2=2024年贫困人口，把相关数值代入计算即可.

设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x,依据题意得：

二、填空题

15.（2024湖北十堰）对于实数a,b,定义运算如下：aOb=（a+方）2-（a-b）2.若（加2）◎

（m-3）=24,贝ij0=.

【答案】-3或4

【解析】依据题意得[（加2）+（加-3）]2-[（出2）-（勿-3）]2—24,

（2勿-1）2-49=0,

1+7）（2/n-1-7）=0,

2m-1+7=0或2位-1-7=0,

所以nh=-3,ffl>=4.

16.（2024吉林长春）一元二次方程x"3x+l=0根的判别式的值为.

【答案】5.

【解析】.b=~3,c=l,

：.A=62-4ac^（-3）2-4XlXl=5

17.（2024吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3）Jc有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）

【答案】答案不唯一，例如5,（c20时方程都有实数根）

【解析】c>0时方程都有实数根

18.（2024年湖北省荆门市）已知荀，也是关于x的方程/+（34+1）x+242+1=0的两个不相等实数根，且

满意（荀-1）（苞-1）=8A2,贝!|"的值为.

【答案】1

【解析】依据根与系数的关系结合（不-1）（苞-1）=8~,可得出关于"的一元二次方程，解之即可得出

A的值，依据方程的系数结合根的判别式△>（）,可得出关于彳的一元二次不等式，解之即可得出A的取值

范围，进而即可确定次值，此题得解.

'''xi,用是关于x的方程/+（3A+1）x+2〃+l=0的两个实数根，

,,.xi+x2=-(3A+1),^IA2=2A2+1.

(xi-1)(xz-1)=8作，即Ex?-(xi+苞)+1=8"2,

，2万+1+3«+1+1=8炉，

整理，得：21i-k-1=0,

解得：ki=--,&=1.

2

••・关于X的方程/+(3A+1)X+2A2+1=0的两个不相等实数根，

；.△=(3A+1)2-4X1X(2如+1)>0,

解得：Y-3-2加或k>-3+2«,

k—1.

19.(2024广西桂林)一元二次方程(x-3)(x-2)=0的根是.

【答案】X]=3,x2=2

【解析】解一元二次方程-因式分解法

x—3=0或x—2=0,所以西=3,无2=2.

故答案为占=3,x2=2.

20.(2024年四川省遂宁市)若关于x的方程V-2户次=0有两个不相等的实数根，则人的取值范围为

【答案】k<1.

【解析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的状况与判别式△的关系：

(1)方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0o方程有两个相等的实数根；

(3)△<0。方程没有实数根.

利用根的判别式进行计算，令△>◊即可得到关于左的不等式，解答即可.

••・关于x的方程/-2户A=0有两个不相等的实数根，

.,.△>0,

BP4-44>0,

k<l.

21.(2024年江西省)设xi,刘是一元二次方程X,-x-1=0的两根，贝!Jxi+xz+xiE=.

【答案】0

【解析】本题考查了一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)的根与系数的关系：若方程两个为为，物则荀+后

=-k,Xl'X2=—.干脆依据根与系数的关系求解.

aa

*.*x\>X2是方程V-x-1=0的两根，

・・司+至=1,荀义吊=-1,

•*Xi^'X2^~X\X2~~1-1=0.

22.（2024年四川省攀枝花市）已知荀，兹是方程f-2x-1=0的两根，则炉+1=.

【答案】6

【解析】依据根与系数的关系变形后求解.

,；xi、歪是方程x?-2x-1=0的两根，

・・X1+X2~~2,XiXX2~~-1,

.\x^+x2=（X1+X2）2-2XIX2=22-2X（-1）=6.

23.（2024年四川省成都市）已知荀，生是关于x的一元二次方程S+2x+A-1=0的两个实数根，且/+/

-矛1至=13,则A的值为.

【答案】-2

【解析】依据“E,生是关于x的一元二次方程V+2x+A-l=0的两个实数根，且小+君-矛02=13”，结合

根与系数的关系，列出关于4的一元一次方程，解之即可.

依据题意得：*1+上2=-2,xix2=k-1,

2+2XiX2

XjX2~

2

=（Xj+x2）-3X1X2

=4-3（A-1）=13

24.（2024年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民

2024年人均年收入20000元，到2024年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率

为.（用百分数表示）

【答案】40%.

【解析】依据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决.

设该地区居民年人均收入平均增长率为X,

20000（1+x）2=39200,

解得，荀=0.4,X2=-2.4（舍去），

.••该地区居民年人均收入平均增长率为40%

25.（2024年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预料，从现在起先

的第一季度销售价格将下降10%,其次季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平

均降低成本的百分率为x,依据题意可列方程是.

【答案】65义(1-10%)X(1+5%)-50(1-x)2=65-50.

【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为x,依据利润=售价-成本价结合半年以后的销售利润为(65

-50)元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

设每个季度平均降低成本的百分率为x,

依题意，得：65X(1-10%)X(1+5%)-50(1-x)2=65-50.

26.(2024年江苏省连云港市)已知关于x的一元二次方程a/+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则2+c

a

的值等于.

【答案】2

【解析】依据“关于x的一元二次方程aV+2x+2-c=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得

到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案.

依据题意得：

△=4-4a(2-c)=0,

整理得：4ac-8a=-4,

4a(c-2)=-4,

:方程ax+2x+2-c=0是一元二次方程，

a#0,

等式两边同时除以4a得：

a

则_L+C=2

a

27.(2024年浙江省嘉兴市)在/+—+4=0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实

数根.

【答案】±4x

【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(△=6「4ac)可以推

断方程的根的状况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实

数根；②当△=()时，方程有两个相等的实数根；③当△<()时，方程无实数根，但有2个共辗复根.上

述结论反过来也成立.

要使方程有两个相等的实数根，即△=(),则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可.

要使方程有两个相等的实数根，则△=//-4ac=N-16=0

得b=±4

故一次项为±4x

28.(2024年山东省枣庄市)已知关于x的方程ax?+2x-3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围

是.

【答案】a＞，且aWO

3

【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax?+6x+c=0(aWO)的根的判别式是「-4ac

＞0即可进行解答

【解答】解：由关于x的方程ax?+2x-3=0有两个不相等的实数根

得△=9-43c=4+4X33＞0,

解得a＞」

3

则a＞」•且aWO

3

三、解答题

29.(2024年浙江省绍兴市)x为何值时，两个代数式f+1,4x+l的值相等？

【答案】矛1=0,*2=4.

【解析】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左

边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元

一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学

转化思想).

利用题意得到f+l=4x+l,利用因式分解法解方程即可.

/+1=4犬+1,

x-4x=0,

x(x-4)=0,

小=0,用=4.

30.(2024黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2-3x+l=0有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若该方程有两个实数根,分别为xi和x2,当XI+X2+XIX2=4时,求k的值.

【答案】见解析。

【解析】依据根的判别式列出不等式,即可求得k的范围；由根与系数的关系，得到方程,即可解得k的值.

⑴当k=0时,方程是一元一次方程，有实数根,符合题意；当k/0时，方程是一元二次方程，由题意得△=9

99

—4k20,・・・kW-,综上所述,k的取值范围是kW-.

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Q1Q1

⑵「Xi和X2是该方程的两个实数根，.,.xi+x2=—,xiX2=—,•.•XI+X2+XIX2=4,，一+—=4,解得k=l,经检

kkkk

验,k=l是原分式方程的解，且；.k的值为L

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31.(2024湖北十堰)已知于x的元二次方程*-6x+2a+5=0有两个不相等的实数根为，也

(1)求3的取值范围；

(2)若x/+x2?-XIX2<30,且a为整数，求a的值.

【答案】(1)5<2(2)a的值为7,0,1.

【解析】依据根的判别式，可得到关于，的不等式，则可求得a的取值范围；

由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值

范围，再求其值即可.

(1).・,关于x的一元二次方程V-6x+2a+5=0有两个不相等的实数根由,X2,

.*.△>0,即(-6)2-4(2/5)>0,

解得aV2；

(2)由根与系数的关系知：XI+X2=6,xiX2=2a+5,

V^i,X2满意xx+X2-Xi用W30,

(荀+及)2-3XIX2W30,

A36-3(2K5)W30,

；.aN—*为整数，

，a的值为-1,0,1.

32.(2024湖北孝感)已知关于x的一元二次方程六-2(a-l)ea?-a-2=0有两个不相等的实数根荀，

期

(1)若a为正整数，求a的值；

(2)若矛1,至满意矛」+君-刘X2=16,求〃的值.

【答案】(1)a=l,2(2)a=-1.

【解析】依据关于x的一元二次方程六一2(a-1)x+才-2-2=0有两个不相等的实数根，得到

△—[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,于是得到结论；

依据XI+X2=2(5-1),x\Xi=a-a-2,代入炉+/-荀莅=16,解方程即可得到结论.

(1),・•关于x的一元二次方程V-2(a-1)x+才-3-2=0有两个不相等的实数根，

2(a-1)]2-4(才-己-2)>0,

解得：aV3,

〈a为正整数，

a=1,2；

(2)V^ri+^=2(5-1),x\X2=a-a-2,

••2।2__ip

.X\+xi-XiXi—10,

•■(X1+X2)-X1X2~16j

-2(a-1)]"-3(a2-a-2)—16,

解得：31=-1,32=6,

a<3,

••a——1.

33.(2024江苏徐州)如图所示，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，

然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子

的侧面积为200czz?2?

【答案】5

【解析】依据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解.

设剪去的小正方形的边长为xcm,

则依据题意有：(30-2x)(20-2x)=200,解得乂=5,^=20,

当A=20时，20-2X0,所以产5.

所以，当剪去小正方形的边长为5腐时，长方体盒子的底面积为200c忧

34.(2024•湖南衡阳)关于x的一元二次方程/-3矛+A=0有实数根.

(1)求A的取值范围;

(2)假如才是符合条件的最大整数，且一元二次方程(0-1)到x+m-3=0与方程3x+A=0有一个相

同的根，求此时小的值.

【答案】见解析。

【解析】(1)依据题意得△=(-3)°-4420,

解得aw9；

4

(2)"的最大整数为2,

方程3-3x+A=0变形为V-3X+2=0,解得XI=1,X2=2,

•.,一元二次方程Cm-1)x?+x+%-3=0与方程V-3x+A=0有一个相同的根，

・••当x=l.时，/T+1+勿-3=0,解得加=之；

2

当x=2时，4(777-1)+2+〃-3=0,解得力=1,

而加-1W0,

二小的值为旦.

2

35.(2024•广西贵港)为了满意师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2024年底到2024年底两年内由5

万册增加到7.2万册.

(1)求这两年藏书的年均增长率；

(2)经统计知：中外古典名著的册数在2024年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中，

中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2024年底中外古典名著的册数占藏

书总量的百分之几？

【答案】见解析。

【解析】依据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；

依据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2024年底中外古典名著的册数占藏书总

量的百分之几.

(1)设这两年藏书的年均增长率是X,

5(1+x)2=7.2,

解得，荀=0.2,Xi--2.2(舍去)，

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有(7.2-5)X20%=0.44(万册)，

到2024年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5X5.6%+0.44x100%=10%)

7.2

答：到2024年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.

36.(2024•湖南长沙)近日，长沙市教化局出台《长沙市中小学老师志愿辅导工作实施看法》，激励老师

参加志愿辅导，某区领先示范，推出名师公益大课堂，为学生供应线上线下免费辅导，据统计，第一批公

益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.

(1)假如其次批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

(2)依据这个增长率，预料第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

【答案】见解析。

【解析】设增长率为x,依据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可

列方程求解；用2.42义(1+增长率)，计算即可求解.

(1)设增长率为x,依据题意，得

2(1+x)工.42,

解得荀=-2.1(舍去)，x2=0.1=10%.

答：增长率为10%.

(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).

答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.

37.(2024•湖南邵阳)2024年1月14日，国新办实行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指

出：在2024年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币.有望接着保持全

球货物贸易第一