2024年兰州市高三诊断考试（一诊）数学试卷（含答案）

2024年兰州市高三诊断考试

数学

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂

黑。如需改动.用橡皮擦干净后.再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答

题卡上c写在本试卷上无效:

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回e

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.设集合4={x|），=ln（x—l）},6={1,2,3,叫，则.41）3=

A.（1,+8）B.{2,3,4；C.（1,4]D.[】，+8）

2.在复平面内，若复数工对应的点Z在第二象限，则复数三对应的点4所在象限为

2i,

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某校为了提高学生的安全意识,组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随

机抽取8人的得分作为样本.分数从低到高依次为：84,85,87,87,90,a,b,99,

若这组数据的第75百分位数为94,则利用样本估计此次竞赛的平均分约为

A.85B.86C.90D.95

4.已知0<a<兀，cosa=2sin—»则5111巴=

22

A.星1D.回

B.6一1c也

222

/y2y22

5.己知双曲线片：=l（a>0,b>0）与双曲线玲：正一个=1的离心率相同，双曲

a2b2

线片的顶点是双曲线刍的焦点，则双曲线片的虚轴长为

1524

C.D.10

A.~4T

6.球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经

过球心的平面截球面所得的圆）.设地球的半径为〃，若甲地位于北纬45。东经120°，乙地

位于;I僚45。西经60°,则甲、乙两地的球面距高为

A.—RB.—RC.9D.与A

6322

数学试题第1页（共4页）

'3%+1,勺为奇数，

7,数列㈤满足4=2叫*=,a为偶数,则喙=

2

A.5B.4C.2D.1

8.已知；/=/(*)是定义在R上的奇函数，且对于任意x均有/(不+1)+/(*-1)=0,当0<%W1

时，/(力=2'-1,若/[历(w)]>/(In«)(e是自然对数的底)，则实数a的取值范围是

A,/皿<〃%eZ)B.e~2J<<a<Qr2\keZ)

C.D.e等“<a<e卜优GZ)

二,多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得。分)

9.某学校开展测录旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地厕量，迭代优化

完成此次活动.在以下不同小组设讦的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角a,6,再测量A,B两点

间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为"在该建筑物底部和顶部

分别测得旗杆顶端的仰角谢£

C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角a,再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5nl到达B处，再次测量旗

杆顶端的仰角£

10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件4,3存在如下关

系：P(.8)=P("*(8⑷.对于一个电商平台,用户可以选择使用信用卡、支付宝或微

信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的20%,使用支付宝支付的用户占总

用户的40%,其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到

支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06,若fl

到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为《，则以下说法正确的是

A.使用信用卡支付的用户中有10%的人遇到支付问题

B.使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同

C.要将出现支付问题的概率降到0.05,可以将信用卡支付通道关闭

D.减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率

数学试题第2页(共4页)

11.半径长为I米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无沿动），轮轴每秒前进5米.运动时

车轮着地点为/,若车轮滚动时点4距离地面的高度A（米）关于时间，（秒）的函数记

为力=/VX，&0）,则以下轲断正确的是

A.对于W登0,都有/«+2）=/«）B.A=f«）在区间[*妹+2]#wN）上为增函数

C./（7§=笥旦D.对于Wfw[24],都有/（6T）+/（，）U2

三.填空遨（本大期共3小邈，每小题5分，共15分）

12.函数/（x）=m"（e是自然对数的底）在x=l处的切线方程是___________.

13.等边三角形N8C中，点。是/C的中点，点E是BC上匏近点C的三等分点,

cos<AE^BD>°.

14.如图在四棱柱旬皿-4,6七，。'中，倒面第33,为正方

形，例而比C'8'为夔形，B，C=BCu2,E、F分别为

棱&T及CD的中点,在画面CMT。内（包括边界）找

到一个点尸,使三楂锥尸-际与三棱彼B'=8£F的体积

相等，喇点P可以是（答案不唯一）.若

二面角力-四-C的大小为心当0取最大值时，线段

B7长度的取值范围是

四.解答翘（本大题共5小^,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演就步骤）

15.（13分）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分捌这个多边形，则称这样的多边

形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线.用q翟示凸

”+3边形伽GN'）对角线的条数.

⑴求数列也｝的通项公式：

⑵若数列恐｝的前〃项和为,,求数列｛2璃｝的前〃项和*,并证明2sl.-1V0.

16.（15分）如图，四棱锥P-iACD中，4_1底面43cD,

ADIIBC,ABJ-AD,PA^AD^3.AB=4,BC=S,

E,尸分别为尸外PC上一点，前二海,EFHBC.

（1）当网_L平面gZ）时.求4的值：

4

（2）当二面角£-阳-6的余弦值为三时，求PC与平面

⑶力所成角的正弦值.

效学信图第3页（共4页）

17.(15分)2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成.他选施卷题四

个选项，有且仅有一个选期正确，选对得5分，选锚得Q分，多选蓊每题四个逐项.有

两个或三个选项正醐，全部选对得6分，部分港对得3分，有错误选择或不选择揖0分.

(I)已知某同学对其中4道单就堰完全设有答题思路,只能随机选择一个选项作答，且

每版的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的屈数为班机变疥尤

⑴求解3)：

(ii)求使御打*二身取最大位时的第数名

(2)若该同学在解答酸后一道多甚庖时，除确定员。选项不能同时选择之外没有答题思

路，只能随机选择若干选项作答,已知此题正确答奏是两选项与三选项的概率均为:，

求该同学在答鹿过程中使得分期31最大的答题方式，并写出得分的殖大期里.

18.(17分)已知圆C过点P(4J),M(2,3)和N(2,-I),且磨SC与>，轴交于点尸.点尸是抱

物线“：V=2双,>0)的优点.

(1)求圜C和抛物线后的方程；

(2)过点P作比线/与抛物线交于不同的两点/,B,过点4»8分别做抛物线E的切线,

两条切线交于点Q，试剪断直级QW与EIC的另一个交点。是否为定点，如果是，求

出Z)点的坐标；如果不是，说明理由.

19.(17分)定义：如果在平面直角坐标系中，点4,B的坐标分别为(叫，乂)，区，必)，那

么称d(46)=卜］-、2|+|乂-必|为/，E两点间的辿哈顿距那.

(1)已知点％,M分别在立线x-2尸0,2尸片0上，点M@2)与点MM的曼哈顿跑

离分别为4。/，％),d(M,N>.求或“NJ和或M，悠)的最小值：

⑵已知点m她直线/均+及+1=0/>0)上的动点，点”(02)与点N的曼哈顿更离

d(M,N)的坡小值记为/(A),求/也)的坡大位：

(3)已知点M(e\Ad),点N(m,«)(*,m,weR,e是自然时数的底)，当Awl时.

或KM的域大值为/(•“),求/(•小的最小值.

数学试琬第4页(共4页)

2024年兰州市高三诊断考试

数学试题参考答案及评分标准

一'选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.)

).D2.A3.C4.A5.B6.C7.B8.D

8.【解析】•••/(x)是定义在R上的奇函数旦图象关于原点对称

•••/(x+l)+/(x-l)=0J./(x+1)=-/(x-D=/(I)

•••/(x+4)=/[l-(.v+3)]=-/(2+x)=-/(l-(x+D]==/(.v)

"(-1+x)=/(3+x)=/ll-(2+x)]=/(-l-x)

/(2+.t)=/(-2+.r)=-/(2--r)

因此函数的周期为4,且函数图象关于x=1+2k(kwZ)和(2上,0)("eZ)对称

可画出函数在区间[-2,2]内的筒图

则图可知，在[-2,2]内要满足

/[ln(eo)]=/(I+Ino)>/(Ina),I'\

一//Iz：、

31iiX।/9k\*x

只需一5<卜4<5,即(「

再根据函数的周期性可知ci"(AwZ)，故选D.

二.多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对得6分，部分选对得3分，有选错的得。分)

9.BCD10.AC11.BD

II.【解析】若记车轮运动时着地点为P,则，秒时4。尸=手，因此，/i=/(1)=l-cos£(/W0),并

涧足/(/+4)=/(/)对于任意/20成立，在区间[4A,4A+2](AeN)上为增函数，在区间[2,4]内图象关

于点(3,1)对称，/(7.5)=1-0«号=马券，故选B,D.

三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.y=-13.--»14.第一空：分别取梭（7。及CC'的中点”、N,取线段“N上任意一点?

c14'

均可（2分），第二空：分）

14.【解析】第一空：因为点尸在侧而CW'C'内（包括边界）且三极徘P-8即的体积与三极锥E-BE"的体.

枳相等，即在侧面COD'C'内确定一点P,使B7,平面8EF,又因为E、尸分别为棱0少及CD的中点，故

分别取极及CC'的中点〃、N.埼锚B'M，BF,MN//EF.且交MN于点M,BF交EF千点F,1

所以平而"AW”平而诋，故当点P在线段MN上时，点尸到平而际的距离与点8,到平而8即的距离相,

等,所以三枝徒尸-8EF的体枳与三棱徒用-诋的体积相等.

第二空：因为二面角/T-/f8-C的大小为0,所以过C作CH_L48于H,过力作阳/88',则4WC为二而

角/T-4B-C的平面向小易知04NB'8C=工.当0取最大值时，即时，此

33

•£/

时CB1/1B即底而48co为正方形，在独CN中FC=2CN=2,Zfl'GV=y,所

以B'N=6,在Afl'UAf中"C=2CM=2,ZB'CM=^,B'M=由,又因为

MN=EF=A，所以AB'M/中，B'N=4i,A£V=V2.B'M=j5,所以M'NM'c

为直角三加形，当点P在线段MN上运动时，线段87长度的取值范围是［石,石］.

四，解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步哪）

15.【解析】（l）a,=C：“-（”+3）=g^（"eN）..................5分

⑵因为数列㈤满足：“{:二二二即«，2

又因为％=2=1+1符合"+1当”=1时的值，所以数列他}的通项公式为"="+K"eN'）.

16.【解析】（I）如图所示：以/为坐标原点，以所在直线为x轴，以/D

所在出线为》轴，以4尸所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则P（0,0,3）,

8（4,0,0）,C（4.5,0）

C

设E(x,y,z),tilBE=ABP,可得(x-4,y,z)=A(-4X)3),

则E(4-42Q3i),PB1底而AEFD可得PBL4E,PS=(4,0,-3),石=(4-4儿031),丽•石=0解

得义=更...........6分

25

⑴设平而£4。的法向盘为"，荏=(4-440,32),AD=(03,0)

由”_L荏，nLAD,得卷二：)""z=O,令*=34得"=(3小0⑷1-4),

4

平面相。的法向质为“I,则盟=(0,0,1),二面用E-/D-8的余弦值为1

则cos(m.„)=,/闷4=。解得4=工.............“分

。9解+16(2-1尸52

__|w•Pc\\2y/l

PC=(4,5,-3),X(3,O,T)若直线PC与平面疑ED所成角为。，WJsin0=l-|-J-=—L.

所以直线PC与平面痴。所成角的正弦但臀

15分

17.【解析】⑴⑴因为…引，所以3=3)=明冲噜……3分

C拈)审'2CR(,T(沪,

画因为「心外=*)■(产Ama

C冲审'2C：%)*+铲,解得*4

所以I时，尸(X=A)很大.......7分

(2)由题知，8D选项不能同时选择，该同学可以选择年选,双选和三选.

正确答案是两选项的可能梢况为/B,AC,AD.BC.CD,每种情况出现的概率均;=；

正硼答案是三选项的可能情况为48C,ACD,每种情况出现的概率为:x；=：；

若该同学做出的铁策是单选，则得分的期型如下：

£(4)=3x—x3+2x-7x3=—E(fi)=2x—x3+lx-7x3=27分f

1045,10420

27分

E(O=3x\x3+2x；x31分,E(D)=2x-jtx3+lxlx3=-

20•

若该同学做出的决策是双选，则得分的期耳!如下：

27分27

E(JB)=—x6+-x3--

1042020

127

27-分-X3=-

E(SC)=—x6+-x3=42-0

10420

若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：

£(45C)=；x6=；分，E(ZCD)=：X6=T分.

12

经比较，该同学选择单选/或单选C的得分期S1最大，最大值为学分.......15分

18.【解析】(1)例C过点P(4.1),A/(2,3)和N(2,-l),因此可以知道例心在直线y=1±,故可设圆心C(a,1).

又由于圈C过点尸(4』)，所以”=2,r=2.故例的方程为(x-2)2+(y-l)2=4,

可得点尸(0,1),因此，抛物线£的方程为x2=4y........7分

(2)由条件可知，直线48的斜率必存在，不妨设为“，则直线48的方程为：y-l=%(x-4)即

y=kx-4k+l9

x2=4y

由’,二，得/-4去+16%-4=0，

y=kx-4k+l

其中A=16/一64^+16=16(公一4«+1)>0,邺k<2-6或k>2+5

设力(x“M),B(x2,y2),过/,,，8点的抛物纹的切线的斜率分别为占，h，

则Xi+X2=4Ar,X)X2=16Ar-4,ki=/.k2=£,

过4点的抛物线的切线方程为y-£=Z(x-x。，即y=%x-K,

4224

同理，过8点的抛物线的切线方程为)，=2*-底

y3

=2Xx=x1+x2=2k

2,即Q(2A,4A—1),

由3

y=X),=必=4%-1

4

所以点。在直线y=2x-l上，而点M也在直线7=左一1上,

故直线0M与圆C的另一个交点就是直线y=2x-l与圆C的交点,

2

x=­

(3*5=4得5严x=2

tb'

7=3

y=2x-\V=一^

5

故直线2M与圆C的另一个交点为定点（12,-：1）.......17分

19.【解析】（1）法一:

3

-Q*+2,x<0,

$+2,04x<4,则d(〃,N])N2,

d(M,NJ=|x|+R-2|=|x|+4x—2|=

1-2/24,

21

则当A?N1时d(MM=N+直+：+小»桶后+六川用+M，叩八"LF+2

当炉<1时,d(MN)=W+%+/+£+弟+卜+4+1+泪2性2+"+1|,/⑹=|2公+2%+1]

―r+—H2,4NI,

所以/(幻=，kk又因为当％N1时

|2公+2〃+”,0<A<l,

所以/(A)的最大值为5...............9分

法二：根据(I)直线x+A9+"+l=0伏>0)的斜率是__L

k1

当-±vT,即0<%<1时，

如图所示火