《柯西中值定理的证明3400字》

柯西中值定理的证明综述目录TOC\o"1-2"\h\u5665柯西中值定理的证明综述 116501.1柯西中值定理概述 1322971.2柯西中值定理的几种证明方式 1131701.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理 269061.2.2利用反函数证明柯西中值定理 3307651.2.3利用坐标变换证明柯西中值定理 4264681.2.4利用迭加法证明柯西中值定理 6324481.2.5利用待定系数法证明柯西中值定理 7238961.2.6利用行列式法证明柯西中值定理 862651.2.7利用闭区间套定理证明柯西中值定理 9213841.3对其他证明方式的思考 10柯西中值定理比罗尔定理和拉格朗日中值定理更具一般性，故具有更广泛的应用．本文先从罗尔定理和拉格朗日定理出发探究柯西中值定理一般证明方法，接着对其他证明方法作进一步的探究．1.1柯西中值定理概述柯西(Cauchy)中值定理[9]如果函数，在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么在内至少有一点，使下面等式成立：．该定理也可表述为：设函数，满足：在闭区间上连续；在开区间内可导；和不能同时为；，那么在内至少存在一点，使得成立[15]．其几何意义为：以参数的形式表明，对于给定了两端点的光滑曲线，在曲线上必存在一点，使曲线在该点的切线平行于两端点的连线[3]．1.2柯西中值定理的几种证明方式柯西中值定理的证明方法大多都可从2.2拉格朗日中值定理的证明方法中汲取灵感，把两者放在一起对比思考，将会给我们带来更加深刻地体会．1.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理1．利用原函数法证明柯西中值定理可与2.2.2作差法进行对比，不难发现两者的区别就是用函数去替换．类比作差法中的构造方式，我们可简单构造出满足罗尔中值定理条件的函数，如下：，故存在，使得，又因为，故可将上式改写为即可证得柯西中值定理[15]．2．用常数值结构设辅助函数这种证明方法与用原函数构造法的区别只是常数项的有无，但因为对常数项求导后为零，故并不影响所构造的辅助函数最后的证明．证明要证明在内存在一点，使得．首先，设(为常数)，则，令，则，，即，故而满足罗尔定理的条件，则至少存在一点，使得，即，所以[16]．1.2.2利用反函数证明柯西中值定理根据柯西中值定理中对函数的基本要求，以及闭区间上连续函数的性质．易证得，函数在闭区间上严格单调，不妨设函数严格单调增加．下面给出简单的证明：用最常用的方法，可令，且，根据闭区间上个函数的连续性可知，从而得出：，当时有，由为闭区间内的任意值，可得出在区间上恒成立，故在上严格单调递增．同理在另一种情况下在区间上严格单调递减．接下来对柯西中值定理进行证明，根据反函数存在定理以及反函数的导数存在定理，可令，，则在区间上，函数存在反函数，而且满足在闭区间上连续，在开区间上可导，其导函数为，由上文可得出函数在闭区间上，也是严格单调的，不妨设其严格单调增加．可以考虑定义在闭区间上的复合函数，并且根据上文可知在上满足拉氏定理的条件，即在开区间内存在至少一个，使得：，再根据反函数之间的联系，在开区间内存在一点，使得，此时有：联立上两式即可得出结论[15]．1.2.3利用坐标变换证明柯西中值定理1．利用参数方程法证明柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，即当时，柯西中值定理为拉格朗日中值定理．倘若换一个角度，把，看成平面上某条曲线的参数方程，即可表示为，易知在闭区间(或者)上连续，在开区间(或者)上可导，由拉氏定理可知，曲线上存在一点过该点的曲线斜率等于曲线两端的斜率．设对应于，则由参数形式的求导公式，有，即柯西中值定理[15]．2．利用坐标变换法证明柯西中值定理根据上述参数方程法中的构造方式进行构造：，由柯西中值定理的几何意义可知此参数方程的图像是二维直角坐标系中一条平滑的曲线，令该曲线为并且，分别为曲线两个端点的坐标．由图1所示，现将坐标轴逆时针旋转至直线平行于横坐标轴得到坐标轴，此时曲线在轴上的投影范围为．令两个轴与轴的正向夹角为，．图SEQ图\*ARABIC1坐标变换旋转图重新定义新坐标系下曲线上任意一点坐标为：，其中．根据新坐标从新定义在新坐标系下的参数方程为：，不难看出，在开区间内，和均可导．由图亦可看出该参数方程在的情况下定义区间上满足罗尔定理的条件，故在区间内至少存在一点，有：，，综上，得出：，柯西中值定理得证[15]．将这个坐标变换法与2.2.4中的坐标变换法进行对比，可以看出它们所用到的思路都是一样的．本质上都是将坐标轴旋转至与曲线的两端点连线平行，显然其满足罗尔定理，再通过一系列的变换推导就可得出结论．这种方法可以很直观的看出三种微分中值定理几何意义上的差别与联系．1.2.4利用迭加法证明柯西中值定理考虑到柯西中值定理在下即为拉氏定理，则可仿照2.2.5中证明拉氏定理的迭代法思路，给出柯西中值定理的证明．在闭区间内，设想辅助函数是与一个含待定系数的关于的一次函数的迭加，即．在其中，为待定系数，并且，都满足在闭区间上连续，开区间内可导，恒不为零．此时令，可以得到，为任意实数．从而可考虑引入辅助函数：，其中为任意实数．这时满足罗尔定理的条件．故在开区间内，存在一点，使得，代入上式可得：，又由在开区间上恒成立，通过化简可得，从而柯西中值定理得以证明[17]．1.2.5利用待定系数法证明柯西中值定理相比于上述迭加法中所作的辅助函数，待定系数法则选用更一般的形式，为，其在开区间内一点处的导数具有形式．同时，都满足柯西中值定理的条件．此时考虑使满足罗尔定理条件，从而确定出．令，得，整理可得，其中，可在实数范围内任意取值，将用替换掉后，考虑函数：，其中，为任意实数．此时，其与上述方法同理，在满足罗尔定理的条件下，可轻易证得柯西中值定理，具体的证明过程不再赘述[18]．1.2.6利用行列式法证明柯西中值定理通过2.2.6所展示的行列式法中最后给出的推广，考虑构造行列式：，若，都满足基本条件，恒不为零．则在，时恰恰为零，不难得出函数满足罗尔定理条件，故将函数以第一行展开，可得：，最终展开可得，利用罗尔定理可得，在开区间内存在一点，使得，整理一下：，从而柯西中值定理得证[19]．利用行列式构造的方法还有很多，可以类比2.2.6中二次的行列式进一步构造，但是具体的过程太过复杂，在此就不作详细说明了．1.2.7利用闭区间套定理证明柯西中值定理这种方法与2.2.7同样是利用闭区间套定理来证明，都是不需要构造辅助函数的．用到的还是那些闭区间套的定义、定理、引理．但是因为拉格朗日中值定理毕竟只是柯西中值定理的一种较为特殊的情况，所以需要在2.2.7所用到的引理上作更进一步的扩展．我们可以把2.2.7中的引理2扩展为以下所述的引理3：引理3[15]设函数，在闭区间上连续，且是单射，则存在，且，使．证明设，首先需要证明，当时，．现反向假设，根据2.2.7中的引理2，易得存在，，有，成立．因，故可得，则有，此时可在区间上再一次利用引理2，不难得到有．以此类推，对引理2进行多次重复利用，就可以得到一个闭区间套，并且该闭区间套满足，同时有．根据闭区间套定理，知道可以有存在，使成立．再根据2.2.7中的引理1可得：，与相矛盾，由上述引理3，可知存在，并且有，使得下式成立：．在此基础上重复利用引理3，最后易得闭区间套，并且满足，使得成立．综上，根据闭区间套定理可知存在，使得．最后根据2.2.7中的引理1有：成立，即柯西中值定理成立得证[15]．1.3对其他证明方式的思考达布定理[3]在开区间上连续可导，(1)若满足条件，，则有，使得．(2)现设，，则对介于与之间的数有点介于与之间，且．通过拉格朗日中值定理可以得到有以下命题成立：命题[15]设函数在开区间上可导，对，有(或)，则在上严格单调增加(或减少)．初步了解了以上定理、命题之后，我们开始对柯西中值定理进行具体的证明：证明首先构造函数：，毋庸置疑函数在区间内满足罗尔定理的条件．但是我们可以从另一个角度用达布定理证明在区间内存在一点，使．现假设对一切，，由达布定理易知，只存在两种情况，不是，就是．当时，则根据上述命题易知在开区间内严格单调，又因函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的性质，故函数在闭区间上严格单调递增．所以有这与罗尔定理中的条件矛盾．同理，当时同样可推出矛盾，故有，即成立[20]．上述方法用到了反证法的思想，下面这种方法也是一样的．先给出达布定理的另一种表达形式：达布定理[16]如果函数在闭区间内可导，并且有，不妨设，则对于任何满足的常数，必存在一点，使得．证明设曲线的参数方