2024-2025学年西安市九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年西安市九年级上期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）

1.（3分）抛物线y=-2（x-3）2的顶点坐标为（）

A.（3,0）B.（0,3）C.（0,-3）D.（-3,0）

2.（3分）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（）

3.(3分)在Rt448C中，ZC=90°,/B,/C所对的边分别为a,b,c,若/N=a,a=2,则

c的长为（）

22

A.2tanaB.——C.2sinaD.

sinacosa

4.（3分）已知点4（-2,g）、B（3,y2）在反比例y=?上,若yi<>2.则Q的取值范围是（)

A.a<0B.a<2C.a>2D.不确定

5.（3分）如图，△45。与△。斯位似,点。为位似中心，AD=2AO,若△45。的周长是5,则△。所

的周长是（）

C.15D.20

6.（3分）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态.为预计某市2024年数字阅读市场规模,

经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元.设

该市年平均增长率为％,则下列方程正确的是（）

A.432(l+2x)=507

第1页（共22页）

B.432(l+2x)2=507

C.432(1+x)2=507

D.432+432(1+x)+432(1+x)2=507

7.(3分)如图，在矩形488中，AB=3,5c=10,点E在边3c上，DFLAE,垂足为尸.若力尸=6,

则AE的长为()

A.6B.5C.4V2D.4

8.（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且aWO）y与x的部分对应值如表:

X.・・-3-1035.・・

・・・・

y.160-5-80.

下列结论正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.有最小值-8

C.若/（xi，2）,B（X2,3）是抛物线上两点，则xi<x2

D.当x>5时，y>0

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）如果一元二次方程x2-4x+左=0经配方后，得（x-2）2=1,那么—.

10.（3分）在△48C中，ZC=90°,AB=S,AC=443,则的度数为.

11.（3分）为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复

实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0」左右，由此估计该湿地公园约有只大

白鹭.

12.（3分）如图，点P是反比例函数y=］图象上一点，过点尸作轴于点/,点8是点N关于x轴

的对称点，连接P8,若△为5的面积为18,则左的值为.

第2页（共22页）

13.（3分）如图，在菱形中，NC与8。交于点。边的垂直平分线交8。于点E,交4B于点、F,

点G为CD边中点，连接EG,若/C=8,BD=16,则线段EG的长为.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.（5分）解方程：3--5x7=0.

15.（5分）2cos30°+V2sin45°-tan60°.

16.（5分）已知二次函数y=x2-2x+m-2的图象与x轴有交点，求非负整数小的值.

17.（5分）如图，在四边形A8CD中，乙4=NB=90°,ZC=60°,AB=瓜AD=2.请用尺规作图

法，在3c上求作一点E,使得sin//EZ）=字（保留作图痕迹，不写作法）.

AC6

18.（5分）如图，点片是△ABC的边5。上的点，45=18,4£=15.若/BAE=NCAD,—=7，求证:

AD5

19.（5分）某服装店购进单价为15元的童装若干件.销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天

能售出8件，而当售价每降低1元时，平均每天能多售出2件.当每件降价多少元时，该服装店平均每

天的销售利润最大？

20.（5分）一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中1个红球、2个白球.这些小球除颜色外都相同.将

第3页（共22页）

袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次.

（1）随机摸球20次，其中摸出黄球6次，则这20次摸球中，摸出黄球的频率是；

（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球颜色不同的概率.

21.（6分）太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯.如图，某种型号太阳能路灯的支架

CD与灯柱的夹角/BCr>=60°,支架C£>=3米，小明同学在距灯柱10米的£处，用测角仪测得

路灯。的仰角为48°,已知测角仪斯的高度为1.2米，求路灯。距地面/E的高度.（结果精确到0.1

米，参考数据：V3-1.73,sin48°"0.74,cos48°-0.67,tan48°^1.11）

22.（7分）如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与x轴交于4,2两点，与y轴交于点C,其中/（-1,

0）,C（0,5）.

（1）求点B的坐标；

（2）连接BC,现将二次函数y=ax2+4x+c的图象向下平移加个单位长度，使得顶点恰好落在线段8c

23.（7分）如图1,将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力

面积的关系如表所示:

桌面所受压强尸（Pa）2004005008001000

受力面积S（加2）0.50.25a0.1250.1

第4页（共22页）

(1)根据表中数据，求出桌面所受压强P(Pa)关于受力面积SIm?)的函数表达式及。的值；

(2)将另一长，宽，高分别为0.3m,02m,0.1m且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放

置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为2000尸°,这种摆放方式是否安全？请判断并

S.AB=AF,过点/作〃/8,连接8E,使/

E=NBAC.

(1)求证：四边形/3E尸是菱形；

(2)若/D=10,BE=6,tan求/C的长.

25.(8分)一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图①，她

发现面碗的轴截面(不包含碗足部分)可以近似看成是抛物线的一部分.小丽从书包里拿出刻度尺、笔

和本、向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据

画出面碗的轴截面，如图②，面碗的上口径48=24c相，碗底直径CZ>=EF=6c〃?，面碗的边沿上一点

2到桌面斯的距离2G=8cm,碗足高。F=1”?.小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以碗的中

轴线(面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线)"2为y轴的平面直角坐标系(如图③).

(1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数表达式；

(2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面儿加与桌面跖的距离为15c加时，求此时面碗中水面的

宽度.

第5页(共22页)

轴mro

26.（10分）【问题提出】

（1）如图①，在RtZ\48C中，NC=90°,点。在边/C上，DELAB于点E.若4B=5,BC=AD

=3,求/£的长.

【问题解决】

（2）如图②，有一块边长为30"?的正方形花园，点。，£为花园的入口，且8£=10"2,连接80.若

在△BCO区域内设计一个亭子尸（亭子的大小忽略不计），满足/尸=/2,从入口到亭子铺设两条景观

路。尸和£尸.已知铺设小路D尸所用的景观石材每米的造价是200元，铺设小路E户所用的景观石材每

米的造价是300元，求铺设小路DF和EF的最低造价及此时亭子F到边AB的距离.

第6页（共22页）

2024-2025学年西安市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）

1.（3分）抛物线＞=-2（x-3）2的顶点坐标为（）

A.（3,0）B.（0,3）C.（0,-3）D.(-3,0)

【解答】解：・・•抛物线歹=-2（x-3）2工顶点坐标为（3,0）.

故选：A.

2.（3分）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（）

【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的左侧有一条纵向的实线，右侧有一条纵向的虚线.

故选：A.

3.（3分）在中,ZC=90°，ZA,/B,NC所对的边分别为a,b,c,若NZ=a,a=2,则

c的长为（）

22

A.2tanaB.-------C.2sinaD.------

sinacosa

【解答】解：由题知，

tana=万,

则2tana=万.

故/选项不符合题意.

.2

sma=一,

c

~22

则-—=-=c.

sina-

c

故2选项符合题意.

第7页（共22页）

24

2sina=2x—=—.

cc

故c选项不符合题意.

b

cosa=—c,

…222c

则—=-=v

cosa-b

c

故。选项不符合题意.

故选：B.

4.（3分）已知点/（-2,刈）、B（3,以）在反比例y=?上，若则。的取值范围是（）

A.a<0B.a<2C.a>2D.不确定

【解答】解；：点/（-2,yi）、B（3,j2）都在双曲线y=手上，且〃<»，

.\yi<0<y2f

双曲线丫=夕的图象两个分支分别在第一、三象限，

.*•a-2>0,

故选：C.

5.（3分）如图，4ABC与ADEF位似,点。为位似中心，AD=2AO,若△45C的周长是5,则△。所

的周长是（）

0

【解答】解：•・・40=24。，

0A1

••___—_,

0D3

；△48C与△/)£尸位似，

,.△ABCS^DEF,AB//DE,

•.AAOBs^DOE,

第8页（共22页）

,ABOA1

"'DE—OD―3’

.♦.△NBC的周长：△£)昉的周长=1：3,

△48C的周长是5,

...△。£咒的周长是15,

故选：C.

6.(3分)近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态.为预计某市2024年数字阅读市场规模,

经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元.设

该市年平均增长率为x,则下列方程正确的是()

A.432(l+2x)=507

B.432(l+2x)2=507

C.432(1+x)2=507

D.432+432(1+x)+432(1+x)2=507

【解答】解：根据题意得：432(1+x)2=507.

故选：C.

7.(3分)如图，在矩形A8CD中，AB=3,5c=10,点E在边上，DFLAE,垂足为尸.若DF=6,

则的长为()

A.6B.5C.4V2D.4

【解答】解：：四边形48。是矩形，48=3,BC=W,

C.DA//BC,=2C=10,48=90°,

/AEB=ZDAF,

\'DF±AE,垂足为尸，

/.ZAFD=90°,

/B=/AFD,

：.LAEBsADAF,

•_A_E_A_B

••—,

DADF

第9页(共22页)

:DF=6,

AB-DA3x10

；.4E==5,

DF6

故选：B.

8.（3分）己知抛物线y=af+bx+c（a,b,c为常数，且a=0）y与x的部分对应值如表:

X•••-3-1035・・・

.・・

y•••160-5-80

下列结论正确的是（

A.抛物线开口向下

B.有最小值-8

C.若/（xi，2）,B（X2,3）是抛物线上两点，则xi<x2

D.当x>5时，y>0

【解答】解:

故/选项错

误,

根据画出的图形判断，对称轴为x=2,在x=2时有最小值，最小值小于-8,故3选项错误,

第10页（共22页）

根据画出的图形判断，当XI、X2在对称轴左侧时，X1>X2,故C选项错误，

根据画出的图形判断，当x>5时，y>0,故D项错误.

故选：D.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）如果一元二次方程--4x+左=0经配方后，得（x-2）2=1,那么左=3

【解答】解：X2-4x=-k,

x2-4x+4=4-k,

（x-2）2=4-k,

所以4-左=1,解得左=3.

故答案为3.

10.（3分）在△N3C中，ZC=90°,48=8,/C=4旧，则的度数为60°.

【解答】解：VZC=90°,AB=8,AC=A-/3,

..nAC4V3V3

..sin5=^=-g-=T，

AZB=60°.

11.（3分）为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复

实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在01左右，由此估计该湿地公园约有500只大白

鹭.

【解答】解：设该湿地公园约有x只大白鹭，

50

—=0.1,

x

解得x=500,

故答案为：500.

“_

12.（3分）如图，点尸是反比例函数丫=歹图象上一点，过点P作轴于点点2是点/关于x轴

的对称点，连接尸2,若的面积为18,则左的值为78.

第11页（共22页）

【解答】解：连接0P

・・・点B是点4关于1轴的对称点,

：.OA=OB,

._1

S^AOP=SAPOB=2s△物5，

VAPAB的面积为18,

:・S“OP=9,

：.|^=18.

又・・•反比例函数的图象在第二象限,

:・k=-18.

13.（3分）如图，在菱形48CD中，NC与3。交于点O,边的垂直平分线交AD于点E,交48于点H

点G为CD边中点，连接EG,若/C=8,BD=\6,则线段EG的长为—后

【解答】解：延长FE、DC交于点H,

:四边形/BCD是菱形，/C与8。交于点。，NC=8,BD=\6,

11

：.CD//AB,ACLBD,OA=OC=^AC=4fOB=OD=^BD=S,

：.N40B=NCOD=90°,

：.CD=AB=V42+82=4V5,

:斯垂直平分42,点G为CD边中点,

：.NH=/EFB=90°,BF=AF=%B=2®DG=CG=«D=2小,

BFOB

—=—=cos/ABO,

BEAB

第12页（共22页）

.BF-AB275x475<

-BDZE?=-0B-=-8-=5,

：.DE=BD-BE=\6-5=11,

EHOCPHOD

—=sinZCDO,--=cosNCZ）。,

DEDE

.OCDE4x1111/5ODDE8x112275

>•HH=「「-i———，DJTL-「n-I———p:

CD4755CD4755

GH=DH-DG=-2V5=

：.EG=J（喈）2+（等）2=V53,

故答案为：V53.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.（5分）解方程：335x7=0.

【解答】解：:4=3,b=-5,c=-1,

AA=b2-4ac=（-5）2-4X3X（-1）=25+12=37>0.

.—b±Jb2—4ac5±V37

••"=2a=-6-'

.5+V375-V37

・・X1=--T--,X2=--7---

oo

15.（5分）2cos30°+V2sin45°-tan60°.

【解答】解：原式=2x孚+x噂-

=1.

16.（5分）已知二次函数＞=7-2%+加-2的图象与x轴有交点，求非负整数加的值.

【解答】解：•・,二次函数歹=--2%+冽-2的图象与x轴有交点,

△=4-4（m-2）20,

.【"W3,

为非负整数，

，加=0或1或2或3.

17.（5分）如图，在四边形48CD中，ZA=ZB=90°,ZC=60°,AB=痘,AD=2.请用尺规作图

第13页（共22页）

法，在3C上求作一点£,使得sin/N£D=5（保留作图痕迹，不写作法）.

【解答】解：如图，点E即为所求.

AC6

18.（5分）如图，点E是△ABC的边5C上的点，45=18,AE=6若/BAE=/CAD,—=7，求证:

AD5

AB186

AE~1S~5’

AC6

诟二F，

ABAC

AE~AD1

/BAE=NCAD,

ZBAE+ZCAE=NCAD+NCAE,

NBAC=/EAD,

△ABCS^AED,

NC=ND

19.（5分）某服装店购进单价为15元的童装若干件.销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天

能售出8件，而当售价每降低1元时，平均每天能多售出2件.当每件降价多少元时，该服装店平均每

天的销售利润最大？

【解答】解：设每件降价为x元，每天的销售利润为y元,

第14页（共22页）

根据题意得：y=（25-15-x）（8+2x）=-2x2+12x+80=-2（x-3）2+98,

：a=-2<0,

抛物线开口向下，

.•.当x=3时，y有最大值，y最大值=98.

答：当每件降价3元时，该服装店平均每天的销售利润最大.

20.（5分）一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中1个红球、2个白球.这些小球除颜色外都相同.将

袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次.

（1）随机摸球20次，其中摸出黄球6次，则这20次摸球中，摸出黄球的频率是0.3；

（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球颜色不同的概率.

【解答】解：（1）由题意得，这20次摸球中，摸出黄球的频率是6・20=0.3.

故答案为：0.3.

（2）列表如下：

红白白

红（红，红）（红，白）（红，白）

白（白，红）（白，白）（白，白）

白（白，红）（白，白）（白，白）

共有9种等可能的结果，其中这两次摸出的小球颜色不同的结果有4种，

4

...这两次摸出的小球颜色不同的概率为不

21.（6分）太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯.如图，某种型号太阳能路灯的支架

CD与灯柱的夹角/BCD=60°,支架CD=3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得

路灯。的仰角为48°,已知测角仪M的高度为1.2米，求路灯。距地面NE的高度.（结果精确到0.1

米，参考数据：V3-1.73,sin48°-0.74,cos48°-0.67,tan48°^1.11）

第15页（共22页）

【解答】解：如图所示，过点。作。月于G,过点尸作FHLQG于过点。作CMLQG于M,

则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，

：.CM=AG,HF=EG,HG=EF,

VZBCD=60°,

：.ZDCM=30°,

又•：NCMD=90°,

：.CM=C£>«cos/DCM=竽米，

：.AG=CM=婴米，

HF=EG=AE-AG=(10-孥)米，

：.DH=HF'tanZDFH^8.2米，

：.DG=DH+GH=9.4米，

路灯D距地面AE的高度为9.4米.

22.(7分)如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与x轴交于4,8两点，与y轴交于点C,其中/(-1,

0),C(0,5).

(1)求点3的坐标；

(2)连接3C,现将二次函数y=af+4x+c的图象向下平移机个单位长度，使得顶点恰好落在线段

上，请求出此时机的值.

第16页(共22页)

【解答】解：（1）将（-1,0）和（0,5）代入y=af+4x+c中,

得｛：二”=°，

解得｛:二gL

，函数解析式为y=-X2+4X+5；

对称轴为直线x=-八,I、=2,

,：A（-I,0）,

3点的坐标为（5,0）；

（2）y--x'+4x+5="（x-2）2+9,

抛物线的顶点坐标为（2,9）,

由（1）可知：B（5,0）,

易得直线BC的解析式为y=-x+5,

平移后的顶点为：（2,9-m）,

由题意可得：9-m--2+5,

解得：m=6.

23.（7分）如图1,将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力

面积的关系如表所示：

桌面所受压强尸（Pa）2004005008001000

受力面积S（苏）0.50.25a0.1250.1

（1）根据表中数据，求出桌面所受压强尸（Pa）关于受力面积S5）的函数表达式及。的值;

（2）将另一长，宽，高分别为0.3%，0.2m,0.1加且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放

置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为2000P。，这种摆放方式是否安全？请判断并

【解答】解：（1）由表格可知，压强产与受力面积S的乘积不变，故压强尸是受力面积S的反比例函

数，

设P苜，

第17页（共22页）

将(200,0.5)代入得：后=200X0.5=100,

.•.尸=i^,即所受压强P(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式为尸=呼，

当尸=500时，5=竿=0.2,

**•。=0.2；

(2)这种摆放方式不安全，

理由如下：

由图可知S=0.1X0.2=0.02(加2),

...将长方体放置于该水平玻璃桌面上，尸=援=5000(Pa),

V5000>2000,

所以这种摆放方式不安全.

24.(8分)如图，在口48CD中，点尸在对角线NC上，^.AB=AF,过点、F作EF〃4B,连接BE,使/

E=ZBAC.

(1)求证：四边形斯是菱形；

(2)若40=10,BE=6,tanZCBE=求/C的长.

【解答】(1)证明：尸〃N3,

AZE+ZABE^18Q°,

,/NE=ABAC,

：.ZBAC+ZABE=l80°,

：.AC//BE,

...四边形即是平行四边形，

又；4B=AF,

平行四边形即是菱形；

(2)解：如图，过点。作于点H,

由(1)可知，AC//BE,

第18页(共22页)

，ZACB=ZCBE,

1/四边形ABCD是平行四边形，

：.CD=AB,AD//BC,

：.NDAH=ZACB,

：.ZDAH=ZCBE,

:.tan/DAH=tan/CBE=

在RtZXADH中，tan/DAH=喘二,

：.AH=WH,

设DH=x(x>0),则/〃=2x,

由勾股定理得：DH2+AH2=AD2,

即/+⑵)2=1()2,

解得：x=2遍,

：.DH=245,AH=4^5,

由(1)可知，四边形48跖是菱形，

：.CD=AB=BE=6,

在中，由勾股定理得：CH=>JCD2-DH2=J62-(2V5)2=4,

:.AC=AH+CH=m+4.

25.（8分）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图①，她

发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分.小丽从书包里拿出刻度尺、笔

和本、向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据

画出面碗的轴截面，如图②，面碗的上口径48=24。“，碗底直径CD=即=6cm,面碗的边沿上一点

3到桌面所的距离8G=8c机,碗足高。尸=lca小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中

轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）仅为了轴的平面直角坐标系（如图③）.

（1）请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数表达式；

（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面"N与桌面£下的距离为15c机时，求此时面碗中水面的

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宽度.

【解答】解：(1)由图3知：点2(12,7)、点。(3,0),

设抛物线的表达式为：y=a/+c,

.[7=144cz+c

,・I。=9a+c'

解得fF，

(c=F

则抛物线的表达式为产备2_7_,

(2)AW与桌面所的距离为15cm时，即y=7ca,

当＞=7时，=/一正=7,

解得x=±12,

:.MN=24cm.

答：此时面碗中水面的宽度为24cm.

26.(10分)【问题提出】

(1)如图①，在RL^48C中，ZC=90°,点。在边/C上，DE工4B于点、E.若AB=5,BC=AD

=3,求/E的