2024-2025学年天津市滨海高新区高三年级上册三联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年天津市滨海高新区高三上学期三联考数学

检测试卷

一、单选题（本大题共9小题）

2

已知集合/=白q<5},B=^\x-8x+7<0},则

1.(4")c8=)

A{x|5<x<7}B{+5<x<7}C.{x|5<x<7}D.{x\5<x<7}

1।

267'—>1

2.已知xeR,条件P"<x,条件x，则P是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数/（X）的解析式可能是（)

B.7(x)=(4^-4-)log2|x|

D.7(x)=(4^4-')log2|x|

/、

a=flog12

6=)(log52),C=f(e02)^

4,设函数/G)=l°g2W,若I§A贝i]a,b,c的

大小为（)

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

{“"}的前"项和为S",且$4=452，%,=2%+1("0)，则

5.已知等差数列

%=()

A.6B.9C.11D.14

〃x)"m3+°)+W>0,…冏后

6.设函数的最大值为2,其图象相邻两个对称

兀71

—X-......

中心之间的距离为2,且/（X）的图象关于直线12对称，则下列判断正确的是

()

7171

A.函数>=/（、）在-上单调递减

Y，o]

B.函数＞=/（x）的图象关于点I6J对称

x-....

c.函数y=/（x）的图象关于直线12对称

D.要得到＞=sin2x+l的图象，只需将/（X）图象向右平移3个单位

7.已知直线人机X--3加+1=°恒过点尸，过点P作直线与圆c：

（xT＞+（y-2）2=25相交于力,夕两点,则的最小值为（）

A.4石B.2C.4D.2石

8.尻殿（图1）是古代传统建筑中的一种屋顶形式.宋称为“五脊殿”、“吴殿

尻殿建筑是房屋建筑中等级最高的一种建筑形式，多用作宫殿、坛庙、重要门楼等高级

建筑上.学生小明在参观文庙时发现了这一建筑形式，将其抽象为几何体ABCDEF,

如图2,其中底面/BCD为矩形，

EF//AB,AE=DE=CF=BF=4&EF=AD=-AB=8

2,则该几何体的体积为()

1024640

A.512B.384C.D.3

[xe1(xN0)

9.函数f(x)若关于X的方程f2（x）-afQx)+a-a2=0有四个

不等的实数根，则a的取值范围是（)

B.(-8,-1)U[1,+8)

C.(-8,-1)U{1}D.(-1,0)U{1}

二、填空题（本大题共6小题）

2+az

10.设，是虚数单位，复数工二厂为纯虚数，则实数a=.

11.二项式的展开式中，第4项的二项式系数是丁的系数是

12.已知直线八尸工+机被圆C/+/-4x_2尸1=0截得的弦长等于该圆的半径，则实数

m=

3

log332-log49-log,-+log,6

13.计算-4~的值为

4（中+1）尤？

-------------1----

14.已知X/都为正实数，则x夕的最小值为

15.在平行四边形/2CO中，E是线段CD的中点，点口满足/E=3E尸，若设

BC=b,则旃可用表示为___________；点屈是线段2。上一点，且=

若BMLBF,则cosZABC的最大值为.

三、解答题(本大题共5小题)

16.在V/2C中，角A,B,C的对边分别为"b,c,已知

3(sinA-sinC)2=3sin22-2sin/sinC

(1)求cosB的值;

(2)若5。=36,

(i)求tan/的值：

TT

sin(2Zd——)

(ii)求6的值.

17.如图所示，在三棱柱"8C-/4G中，平面N8C,

/A4c=90。，/2=/。=/4=2.。是棱C£的中点，M为棱3c中点，尸是的延长线

与4G的延长线的交点.

⑴求证：咫〃平面由M；

(2)求直线MP与平面8n4所成角的正弦值；

(3)求平面MPB、与平面夹角的余弦值.

18.数列｛""｝的前〃项和为与“产1%+i=2S“+l"cN'

(1)求数列｛""｝的通项公式；

1

c,=logs%，b*=

⑵令J：,数列也J的前〃项和为T„,若对

V”eN*,T>-log(1-a)

5a'恒成立，求实数。的取值范围.

19.设｛"J是等差数列，""｝是各项都为正数的等比数列.且

%=b]=1,Q3+b?=7,2tz2-bq.—2

⑴求｛%｝，也｝的通项公式；

(2)记]为｛"｝的前〃项和，求证：(Z+2<1+1；

(%为奇数

—潦~n，〃为偶数

⑶若〔1”力Iz力，求数列匕｝的前2〃项和$2”.

20.已知函数〃x)=x(lnx-加-1),weR.

(1)若加=2,求曲线V=〃x)在点(e，〃e))处的切线方程；

(2)当X>1时，求函数/(©的单调区间和极值；

(3)若对于任意xe[e，e2],都有〃x)<41nx成立，求实数力的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

【详解】由8={削/-"7<0}得8={X|1<X<7},由4={小<5}得>=班沟所

以（。/）（"18={引54》<7}

故选：B

2.【正确答案】C

【详解】解二次不等式，<x,可得0<x<l,贝|j/={x|0<尤<1}

陋2>1

解分式不等式x,可得0<x<l,则3={x[0<x<l}

因为N=3,所以0是夕的充要条件.

故选：C.

3.【正确答案】D

【详解】对于A,/（x）=（4'Y》|,其定义域为R,有/（r）=（4-41x|=_/a）,

则函数/（X）为奇函数，不符合题意，故A错误；

对于B,小）=（41'）1。氏叱其定义域为岗―},

有"）=（…）噫…（X）,则函数小）为奇函数，不符合题意，故B错误；

对于C,心（4"对，在区间91）上，小）>。，不符合题意，故c错误.

对于D,/S）=6+4'）og2H=（4"）"=小），则小）为偶函数,

且在区间（0,1）上，山）<°,符合题意，故D正确.

故选：D.

4.【正确答案】A

【详解】解：因为/5）=晦问=噫国=/口所以小）为偶函数，

/、

alo

=fgi2=/（-log32）=/（log32）

所以<3）

当X>°时，/（x）=bg2X在（0,+8）上为增函数，

因为°<bg52<log32<le°2>e°=l

所以0<log52<log32<e°2,

因为/（X）在（0,+8）上为增函数,

所以“k)g52)<〃k)g32)</(e°2),

所以6<“<c,

故选：A

5.【正确答案】B

【详解】设等差数列｛""｝的首项为4,公差为心

由S4=4S2,a2„=2a„+l(MeN,)^

+6d=8〃i+4d1%=1

贝lj有［4+(2〃一l)d=2q+2(〃一l)d+l,解得［d=2

所以等差数列｛"J的通项公式为%=2"-l,"eN*,

故生=2X5-1=9.

故选：B.

6.【正确答案】C

(p=—/(x)=3sin(2x+—)+1

【详解】由已知：/=3,。=2,3,所以3

_,7i_71_,3zrjr7万

2k兀〜—„2xH—„2k7TH-----kjr-\—„x„kjr-\-----(kGZ)

令232,得1212,故选项A错误；

根据函数〃x)的解析式可知对称中心的纵坐标一定是1,故选项B错误；

7TTC,,.r、7Ck/C,.r、

2xH—=—FGZ)x=------1-----(kGZ)

令32，解得122,当上=-1时，符合题意，故选项c

正确;

对于选项D,需将“X)图象向右平移6个单位才能得到y=sin2x+l,故选项口错误.

故选：C.

7.【正确答案】A

【详解】由巩x-3)-y+l=0恒过P(3,l),

又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即尸在圆,内,

要使M同最小，只需圆心CQ，2)与尸的连线与该直线垂直，所得弦长最短，

由《尸|=石，圆的半径为5,

由z|/>=2义卜25-5=4退

故选：A

8.【正确答案】D

【分析】

根据等腰梯形以及等腰三角形的性质，利用勾股定理求解长度，利用体积公式求出一个

棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，

【详解】

因为EF〃/3,AB//DC,所以斯//DC,

AE=DE=CF=BF=4百,EF=AD=-AB=S

由2

得四边形ABFE，四边形DCFE均为等腰梯形,

4,i

过E作于K,作EA/_LDC于连接KN,

过尸作尸G//3于G,作FHLDC于H,连接，

所以E尸〃KG〃必/,EF=KG=MH=8,AK=GB=DM=HC=4,

因为4B/ADC,FH±DC,所以AB_LF8,

又ABLGF,GF,切在平面FG”内，GF^FH=F

所以平面RG”,同理，平面EKM,所以平面尸G"//平面EKN,

所以该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.

分别取力。，8c的中点尸，Q,连接尸0,EP,

因为4E=DE=BF=CF=473,所以EP14。，尸0-LBC,

所以FQ=-BQ2=J（4"）2-4。=4>/2

FG=^FB2-BG2=7（4>/3）2-42=4及

连接PQ,交G”于T,则7为G好的中点，连接尸T,

因为平面尸G”,/T在平面PG”内，所以

因为GF=FH=EK=EM,所以FT_LGW,

又4B,G”在平面/BCD内，AB[}GH=G所以77Tl平面/火。，

所以FT=^FQ2-QT2=7（4V2）2-42=4,

I228

匚UI、I9棱锥晡=胃F-GBCH=—><8x4x4=——

所以33

=-GH-FT=-x8x4=16

因为22

所以"二棱柱RH-EJ™=S.FGH，GK=16x8=128

er-IUnZ-rZJ-AAZ-l-XnAL/梭F-GBCH+FGH-EKM=2X+128=

所以该几何体的体积为33,

故选：D

9.【正确答案】D

【详解】当GO时,/(x)=ei(l-x),

所以当0<x<1时，f'(jr)>0,fQx)单调递增；当x>1时，f'(x)

<0,f(x)单调递减，

且/1(())=0,当+8时，fQx)-0,当x<0时，y(x)单调递减，所以

f(x)的图象如图所示：

令t—f(x),则由上图可知当力=0或1时，方程t=f(x)有两个实根；

当力e(0,1)时，方程t=f(x)有3个实数根；

当力G(-8,0)U(1,+8)时，方程t=fQX)有一个实数根，

所以关于x的方程产(x)-afB+a-a2=0有四个不等的实数根

等价于关于大的方程a什a-a2=0有两个实数根『0,北=1或力G(0,1),

12G(-8,0)U(1,+8),

当fy=0,12=1时，a=l,

当(0,1),12G(-8,0)U(1,+8)时，(02-aXO+a-a2)

(I2-aXl+a-a2')<0,解得-l<a<0,

综上所述，(-1,0)U{1}.

故选：D.

10.【正确答案】2

2+ai(2+ai)(l+i)(2—a)+(a+2)i2—aa+2.

【详解】j(j)0+i)222为纯虚数，

p-a=O

则［a+2w0,解得a=2.

故答案为.2

11.【正确答案】35-280

【详解】由题意，第4项的二项式系数为=35,通项公式为

r\74r

r,,=C；x7-r(-^)r=(-2)rC；x7-2=3,,,,

,理，令3,所以y=3,所以4=(一2)C7X=-280x,

故无3的系数是一280.

故35；-280.

12.【正确答案】2或一4

求出圆心到直线的距离，由几何法表示出弦长，列出等量关系，即可求出结果

【详解】由/+/_4x_2y_]=0得（x—2）+（7-1）=6

所以圆C的圆心为（2」），半径

j2-l+m||m+l|

圆心到直线/"=x+》的距离V2V2,

则由题可得『=26一/,

V6=2LMY

即VI42J,解得加=2或_4.

故2或-4.

13.【正确答案】8

3

〜=log32-log23-log2-+log26

【详解】原式-4-

3

=51og32-log23-log2-+log26

3

=5-log2-+log26

.[6

=5+log2—

4

=5+log28

=8

故8

14.【正确答案】8

4（町+1）x24x2

-------------1=4VH14y+—>2,4/=4x

【详解】X>.X因为X/都为正实数,丁，当且

4x24

仅当4/=',即2>=x时等号成立，所以.尤丁x,当且仅当

（切+）2

，4_141x

4x=一x_-------------1----

X,即x=l时等号成立，综上所述，当2时,X夕取最小值为8.

故8

14一

-a+-b

15.【正确答案】33

••4F=-4E

【详解】由NE=3所，可得3,

—»——.—-——►4—.——.4—►1—.——►4—►2—•

BF=BA+AF=BA+-AE=BA+-(AD+-DC)=BA+-BC+-DC

贝I]33233

=BA+-BC+-AB=-BA+-BC=-a+-b

333333；

AM=-AD

由=可得3,

BM=BA+AM=BA+-AD=a+-b

则33,

由BMJ_BF,可得BF-BM=0,

i4-i-I.4f13-

(-a+-b)\a+-b)=-a2+-b2+—a-b=O

即333399

_3万2+4户

a-br=-------------

整理得13

-113^+4庐＜12512M473

cosZABC=a|^|=

同网13同|可一13同忖

故

|b|=—|a|

当且仅当2时等号成立,

4百

则cos/4BC的最大值为13.

2146+3

16.【正确答案】(1)3.(2)(i)2.(ii)10.

a_b_c

【详解】在△/BC中，由正弦定理嬴2=而万"寂

2a2+c2-b2_2

可得：3(Q—c)=3/_24，整理得2ac~3,

2

cosB=一

由余弦定理，可得3；

.「V5ab

sinB——------=-------

(2)(i)由(1)可得3,又由正弦定理sin/sinB,

.,asin53V5V5

sin/4=_____—_x___—___

及已知“=36,可得b535,

由己知"=36,可得a<6,故有/<3,

cosA=tan/=L

为锐角，可得5,2.

34

cos2/=l—2sinA=—sin2A=2sinAcosA--

（ii）由（i）可得5,5,

.r.7r\.,,7ic“.兀4c3\4e+3

sin2/d——=sin2^4cos——l-cos2^4sm—=—xF—x—=----------

（6）66525210

17.【正确答案】（1）证明见解析

⑵丁

8收

⑶63

【详解】（1）在三棱柱中，平面/8C,ZBAC=90°,

则直线4综4£，4/两两垂直，

以点4为原点，直线44，40,4,分别为x，v，z轴建立空间直角坐标系，如下图:

由4B=/C=”2,得4（0,0,0）,4（2,0,0）,3（2,0,2）,£）（0,2,1）,1（0,0,2）,

C（0,2,2）,M（l,l,2）,

在皿月中，说/g且。是棱eq的中点，则G也是4尸的中点，即4P=4

尸（0,4,0）,

设平面87M的一个法向量1=（x,y,z）,则42=（2,0,2）,40=（021）

元•A[B=2x+2z=0

<

贝ij〔所,4O=2〉+z=0,令y=l,得万=（2/，一2）,

珂=（2，-4,0）,因为西•万=2x2-4+0=0,所以西，为，

又因为「平面出必，所以股//平面区D4.

（2）由（1）知平面助4的法向量»=（2/，-2）,又MP=（T3,-2）,

设直线"P与平面出M所成的角为a,

.I诉一|MP^\卜2+3+4|5V14

sina=\cosMP,n\=------L=J―—-----L=--------

皿11MP\\n\V14x342

则I11,

59

所以直线MP与平面所成角的正弦值为丁.

(3)设平面”P片的一个法向量而=(网，乂，4),瓦必=(-1,1,2),平=(-2,4,0),

m-B、M--x+必+2Z]=0

<1

则忻•8|P=-2X]+4%=0,令1=1,得比=(4,2,1)

设平面MPB\与平面BD4夹角为e,

m-n|8+2-2|8721

L

cos"=cos<m,n>=-n>——=-------

则m\\nV21X363

8而

所以平面Mpq与平面瓦夹角的余弦值7r.

18.【正确答案】⑴0”=3'1

ae[0)—|

⑵s

[详解](1)="=1'%+i=2S.+lGeN*)①，

当"=1时，。2=2%+1=3；当〃22时，an=2S.-1+1②,

由①-②得:%+1-a,=2a”,即%+1=3a,

又=3%,.•.〃=：!时也满足,

'{%}是以1为首项，3为公比的等比数列，•,•4=3

(2)由⑴知:/=噫"2〃！

11111

b,

(2n-l)(2«+3)4(2〃-12〃+3)

=U111111111—

+++…+1+--

则4537592九一12〃+343

+

3^n+\2n+3)y又1在〃eN*时单调递增，,也上山-1-5

V〃eN*,Tn>|loga(l-o)

:对5恒成",

.'.|>|loga(l-«)^即

,.T-Q〉0,

\-a>a,:.0<a<—G|0,-I

又2,即I2人

a„=2w-l,neN*b=2"-1,neN*

19.【正确答案】(1)n

(2)证明见解析

_q八220

（3）S2“=Q〃-3）2+3

【详解】(1)由题意，设等差数列包｝的公差为心等比数列也｝的公比为“4>°),

1%+伪=1+2d+g=7J2d+q=6

则匕出-4=2（l+d）-4?=2,化简，得j2d-q2=0,

d=d=2

整理，得42+彳-6=0,解得《=-3（舍去），或q=2,则一2一2

-1-l

an=l+2（M-l）=2/z-l,neN*bn=l-2"=2",neN*

T==2〃_1

（2）由⑴可知，”1-2,

则&产2向-1,&2=2"+2-1,

,・ZZ+2-a=（2--lX2"+2-l）-（2"+1-l）2

=22n+2-T-2n+2+1-22n+2+2.2n+1-1

=-2"<0,

T"'&2<T；+i.

(%+1)•瓦，〃为奇数2"・万工〃为奇数

(3)由(1)可得,

n+\

n-22，〃为奇数

一;（“-占],"为偶数

yZ—1Z—iy

..S2n=C]+C2HFC2n

二（q+C3+•,,+。2〃一1）+（。2+Q+…+。2〃），

令4=G+q+…+°21=1・21+3-22+5123+一+（2〃一1）.2〃

=1-22+3・23+・・・+（2”一3>2〃+（2〃—1）2〃+1,

两式相减，可得-4=2+23+2，+…+2向-（21）.2向

<^3_077+2

=2+_一（21>2向=_（2〃一3）2"+|-6