2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高二年级上册第二次月考质量检测数学检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高二上学期第二次月考质量

检测数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

直线：和直线加：的位置关系为

1./2x-3y+l=03x+2y-l=0()

A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直

一

=1

2.双曲线916的渐近线方程为（)

—,4

y=^-x

A.'4B.3

4(5

c.”土+片y=±—x

D.4

c：4X2

T---7=1（。＞6〉0）77T-,A

3.已知椭圆a~b的两个焦点分别为呼巴，点是C上一点,

且回+陷|=4&,则c的方程为（）

/7/,j263x2,/15-

------1-----------1

A.324B.32256C.8D.864

4.直线/"=x被圆C:(x-3)2+(尸1尸

3截得的弦长为（)

A.1B.2C.3D.4

5.在抛物线/二一以上求一点尸，使其到焦点厂的距离与到4-2,1）的距离之和最小，

则该点坐标为（）

A.14JB.LJc.（-2,-20）口,（-2,272）

6.如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点尸为平

面A8C外一点，且万，万=/，就=120。，网=3,若割=次+/，贝|j

西1）

夜B.^35

A.4C.6

PA

7.已知点"（-4，°），8（“。）（"-4）,尸是圆。：/+/-4》=0上的动点，若尸8为定值,

则|/切+|尸引的最小值为（）

261620

A.4B.3C.TD.§

8.在正三棱锥P-48c中，AB=6PA=e,且该三棱锥的各个顶点均在以。为球心

m_

的球面上，设点O到平面PAB的距离为m,到平面N8C的距离为〃，则«（

）

V32^/3

A.3B.百C.3D.3

二、多选题（本大题共3小题）

9.若直线/过点（^⑵且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线/的方程为（

）

Ax+2y=0Bx-2y=0Qx+y-2-0px-y+6=0

10.若方程〃7+13-m所表示的曲线为C,则下面四个命题中错误的是（）

A.若C为双曲线，贝IJ

B.若C为椭圆，则T（加＜3

C.曲线0可能是圆

D.若°为双曲线，则焦距为定值

11.己知抛物线「=2"的焦点为尸，且/（2,2）,B,C三点都在抛物线上，则下列说

法正确的是（）

OBOC=~-

B.若直线8C过点足。为坐标原点，则4

5

C.若120=4,则线段8c的中点到夕轴距离的最小值为K

D.若直线"3,/C是圆（x-2）2+「=l的两条切线，则直线BC的方程为

3x+6y+4=0

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知平面々的法向量为"=（1"T）,平面"的法向量为干若a〃色则

m=

13.若圆Ux'+y」“，）。）与曲线y=|x|-2有两个公共点，则『的取值范围为.

Jy2

14.已知尸是椭圆的左焦点,直线尸区0h°）交椭圆C于

2冗

\FM\=3\FN\,ZMFN=——

"，N两点若।3,则椭圆C的离心率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知BQ一4CW.

（1）求直线BC的方程及V/8C的面积；

（2）求V/3C的外接圆的方程.

16.如图，四棱锥的侧面尸8为正三角形，底面N8CD为梯形，AB//CD,

—■1—.

PM=—MD

平面尸CD，平面/BCD,己知CD=448=4,3.

（1）证明：/初//平面尸3C；

⑵若女=3,刃=3g，求直线与平面p/B所成角的正弦值.

17.如图，过抛物线U'=2Q5>0）的焦点厂的直线与。相交于42两点，当直

线与y轴垂直时，M3|=4・

(1)求C的方程；

(2)以为直径的圆能否经过坐标原点。？若能，求出直线N8的方程;若不能，请说明

理由.

18.如图1,在平行四边形中，N"=60°,/0=1,/8=2,将△/班)沿台。折起到

(1)证明：/力，平面BCD；

(2)在线段HC上是否存在点“，使得二面角3O-C的大小为45。？若存在，求出

次的值；若不存在，说明理由.

19.若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦

点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共辗椭圆，双曲线是椭圆的共辗双曲线.已知

椭圆43的共轨双曲线为C,.

(1)求双曲线G的标准方程；

(2)已知点/(一2，°),直线/(不过点A)与相交于屈、N两点，且求点

A到直线/的距离的最大值.

答案

1.【正确答案】B

2_3

【详解】直线/：2x-3y+l=0和直线〃?：3x+2y-l=0的斜率分别为才2,

MU

因为3I2J,所以

故选：B.

2.【正确答案】A

y2x2223

木—77=1--------=oy=±7X

【详解】双曲线916的渐近线方程是916,即4.

故选：A.

3.【正确答案】C

【详解】由M周+以闾=4也，得2a=4也，即a=2夜，

J

又A是椭圆C上一点，所以8/,解得〃=1,

2

匕+/=1

故椭圆C的方程为8,

故选：C.

4.【正确答案】B

d」3-11一q

【详解】由题意得圆心3D到直线八〉=工的距离为"V2",

故直线,：尸工被圆。:（》-3）2+（了-1）2=3截得的弦长为2J（拘2T何2=2.

故选：B.

5.【正确答案】A

【详解】

由题意得抛物线的焦点为尸（T，°）,准线方程为/：x=L

过点P作尸河.于点"，由定义可得|PM|=|PF|,

所以|尸图+|尸尸=|己4|+|尸W］,

由图可得，当尸，4"三点共线时，I尸川+|尸河|最小，此时尸

x」f-l,P

故点P的纵坐标为1,所以横坐标4.即点P的坐标为（4J

故选：A.

6.【正确答案】D

【详解】以场为基底，则在2=4,AC2=AP2=9,AB-AC^O,

——AC-AP=3x3xcosl20°=--

/3ZP=2x3xcosl20°=-3,2.

因为血=方+/，所以赤=厉+后=_与一%+万，

2

|研=（一在一就+西L宿+就2+而

则+2AB-AC-2AB-AP-2AC-AP

9

=4+9+9+0-2x(-3)-2x37

所以卢卜历

故选：D

7.【正确答案】D

［详解］设尸(X/),则/+/―4工=0,即X2+/=4无，

22

\PA\=I(x+4)+yI12x+16

22

所以I物y(x-x0)+(y-y0){(4-2xo)x-2为y+元;

\PA\八1216)4

No-°，/°-■­—,XO^-4x:=

因为1尸田为定值，所以4-2%无。，解得3,

/(一4,O)Y，O］

\AB|=—

此时则3,

2即卜一27+必=:圆心为。（2，°）,

由圆C%+y2-4x=0半径为厂=2,

\CB\=-|p川r-\CB\=-

显然点B在圆C内部，且।3,则彳目的最小值为113,

20

所以|/切+|尸切的最小值为

故选：D.

8.【正确答案】B

［详解］在正三棱锥P一/8C中，PA=PB=PC,又P4=l,AB=41,

所以尸/2+2发=么笈，所以尸

同理可得尸/，尸C,PC1PB,即尸4尸dPC两两垂直，

把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球,

1

m=—

正方体的体对角线就是外接球的直径，易得2,

oflll

如图，建立空间直角坐标系，则41，0,0),8(0,LO),C(0,0,l),[2,2,2

所以在=(-1,1,0),就=(TO,1)/°[TH),

设平面N8C的法向量为8=(xj,z),

s•AB=-x+y=0

<

贝ijl/./C=T+z=0,令x=l,则y=z=l,所以S=(l,l,l),

正|V3

n=-=—竺m=百

则点°到平面48C的距离⑶6,所以力，

故选B.

9.【正确答案】AD

【详解】直线/过点(一4⑵且在两坐标轴上的截距互为相反数，

1

y=­X

当直线/过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0,互为相反数，方程为2

即x+2y=0；

二+2=1zi+A=i

当直线/不过原点时，设其方程为a-a,则a-a,解得。=-6,

x+了一1

直线/的方程为-66，即x-y+6=0,

所以直线/的方程为x+2>=°或x-y+6=°

故选：AD

10.【正确答案】BD

【详解】若C为双曲线，则（加+1）（3-加）＜°,故加＜-1或〃?＞3,所以选项A正确；

若C为椭圆，则切+1＞°，3-切＞。且m+"3-加，故-1＜徵＜3且机W1,所以选项B错误;

若C为圆，贝|加+1=3-加，故拉=1,所以选项C正确；

若C为双曲线，则加＜T或机＞3,当％＜-1时，双曲线化为标准形式为

22

______=12,

3-m-m-1,此时"=3-加方所以〃=1+〃=2-2〃?不是定值，则焦距

也不为定值，同理旭＞3焦距也不为定值，故选项D错误.

综上，选项BD错误，

故选：BD.

11.【正确答案】ABD

2b化。〕

【详解】因为“（2,2）在抛物线上，所以2=2px2,解得0=1,所以（2人故人正

确；

显然直线8C的斜率不为0,设直线8c的方程为'一"+],（1，%），（2，歹）2,

y2=2x,

＜1心；1

由12得＞-2川-1=0,所以必为=-1,所以44,

3

OB-OC=xxx2+yxy2

所以故B正确;

|^|+|CF|=X+-+X+-=X+X+1>|BC1=4

因为122212（大于通径长2）

x1+x2＞3

当且仅当3,C,尸三点共线时，等号成立，所以西+々23,所以2—5,

3

即线段的中点到V轴距离的最小值为2,故C错误；

7_必-2_2_2

k4B==y-2=（x-/

直线45的斜率为'再一2乂+2,所以直线的方程为弘+2

即2x-（M+2）y+2%=0,又直线4台与圆（》-2『+，=1相切，

|4+27）|_1

所以匕+（弘+2）,整理得3K+12必+8=0,

即3X]+6必+4=0,同理可得3%+6%+4=0,

所以直线8C的方程为3才+6了+4=0,故D正确.

故选：ABD.

12.【正确答案】鼻/°6

【详解】因为a〃色所以//"，则存在实数2,使万=",

1=痴f2=2

<2=4<]1

1[TH=-m=—.

即[-1=-〃巴解得[2,所以2

故2

13.【正确答案】他NG+0°）

【详解】圆u—+/=，&>°）的圆心为坐标原点，关于》轴对称，

因为〉二因为偶函数，函数图象关于V轴对称，所以曲线'=国-2的图象也关于y轴对

称，

所以只需研究了=才-2（龙20）与圆。：/+/=/&>0）只有一个交点即可，

|-2|厂

r=/——T

当y=x-2（x20）与圆cd+j?=/&>（））相切时，则#+（-。，

当>=x-2（x*0）与圆。：/+产=/&>0）相交时（只有一个交点），则r>2,

综上可得『的取值范围为他卜（2，+司

V7

14.【正确答案】4

【分析】设片是椭圆C的右焦点，分析可知陟"为平行四边形，根据椭圆定义可得

13

\MF?I=一=——a

22,利用余弦定理运算求解.

【详解】设巴是椭圆C的右焦点，连接MF^NF2,

由对称性可知：\OM\=\ON\\OF\=\OF^则尸^"为平行四边形,

3

贝产2日叫""=；IPIM=RI

[3

因为户叫+眼引=4陷用=2,则跖2匕。，时|=5;

在AEI%中，由余弦定理可得|和『=M&『+|FM2-2|"用MM-cosNEWg,

4c2=—a2+—a2-2x—ax—ax—二=-Z-

即44222,解得a216,

c[c^~V7

所以椭圆C的离心率为一。一丫。2-4.

V7

故答案为.4

15.【正确答案】⑴x—-4=0；9

⑵/+）2_4x-2〉-4=0

y-（-2）_x-2

【详解】（1）直线8C的方程为1-（-2）5-2,即x-y_4=0,

因为\BC\=7（2-5）2+（-2-1）2=3五,

_B

点'（T，l）到直线5c的距离为V2,

、，5=-x3V2x3V2=9

所以V/8C的面积为2

（2）设V/8C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

—D+E+F+2=0D=—4

<2Q-2E+尸+8=0\E=-2

由题意M+E+尸+26=0,解得|尸=-4,

所以V/8C的外接圆的方程为x2+/_4x_2y_4=0

16.【正确答案】（1）证明见解析

叵

⑵26

~PN=-PC—.一

【分析】(1)取尸。上的点N,使4，可得=则由线线平行可证线

面平行；

(2)取8中点°,连根据题意可证8,尸°，平面23C。，以。为

坐标原点，刀，灰，存分别为x/，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A-xyZ)

利用线面角的空间向量法求解.

―►1―►

PN=-PC

【详解】(1)取尸°上的点M使4,

P

AB

MN=PN-PM=-(PC-PD>\=-DC=AB

则八,4,

所以四边形/BMW为平行四边形，即MW7/8N,

又BNu平面P3C,/河&平面心(7,所以//平面P3C；

(2)取CO中点°,连/°¥°,因为/C=/D,所以ZOLC。，

因为APCD为正三角形，所以POLCD,PO=26,

又平面PCD,平面/BCD,平面尸GDC平面NBC。=8,尸Ou平面尸四，

所以尸。，平面ABCD,

因为/Ou平面48c£),所以PO_L/O,AO=PA2-PO2=*>,

以0为坐标原点，刀，工，而分别为'J/轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系

则［(跖0,0),C(0,2,0),23(0-2,0)；3函,1,0),P(0,0,273)

_一「「AM=AP+\PD=\-46-\,

则=(0,1,0),PA=(瓜0,-2回,4I2

设万=(x,y,z)为平面尸的法向量，

n-AB=0(y=0

则［心方=0'］瓜-2屈=0,可取六6,0,1),

故直线//与平面P/8所成角的正弦值为26.

【方法总结】求直线与平面所成角的方法：

(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，

证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求,

利用解三角形的知识求角；

(2)向量法.

17.【正确答案】(l)，=4y

(2)不能，理由见解析

【详解】(1)万点的坐标是I［。事2),

当直线与〉轴垂直时，点、A,2的坐标分别是I2),

\AB\=2p=4t解德p=2,

所以C的方程是

(2)以N2为直径的圆不可能经过坐标原点O,理由如下:

直线的斜率显然存在，设其方程为>=区+1,

代入/二4-消去y并整理得/_4履-4=0,

设4（不，必）,3（工2，乃）,则西次2=-4.

22

OA-OB=xtx2+yxy2=xtx2+—=T+1=—3

因为16,

所以CM与08不垂直.

因此，以为直径的圆不可能经过坐标原点.

18.【正确答案】（1）证明见解析

A'M1

（2）存在，/'C2

［详解］（1）证明：在中，因为//=60°,/D=l,/8=2,

由余弦定理，得BD=7AD2+AB2-2AD-ABcos60°=6,

所以5£>2+/。2=/炉，所以

所以NADB=90°,NDBC=90°

如下图1所示：在中，作0^43于点尸，

因为平面45cl平面HAD,平面/'8Cn平面=，。尸u平面4go,

图1

所以。尸工平面48C,又8Cu平面48C,所以。尸，8C,

又因为08,80,8£）门0尸=£）,80,0尸<=平面/，00,所以C3_L平面H8O,

因为/'Du平面48。，所以

又4D工BD,BDcCB=B,BD,CBu平面BCD,所以平面BCD.

（2）方法一：如下图2所示：

图2

存在点加，当M是HC的中点时，二面角M-BO-C的大小为45°.

证明如下：由(1)知/力，平面5DC,所以"D1OC且H°=1，OC=2,

所以/C=J5,又因为M是4c的中点，所以2,同理可得：2,

取的中点为O,DC的中点为£,连接M。，EM,OE,

因为所以NMOE是二面角M-BD-C的平面角，

方法二：以。为原点，口4。昆所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立如下图3

所示的空间直角坐标系，则5(0,6,0),。(-1,石,0)/(0,0,1)

图3

假设点加存在，设H"=X4C，Xe[0,l],

贝°~ZM=A/C=(-A,V32,-2),DM=151+~ZM=(-A,732,1-2),Z)5=(0,A/3,0)

设平面MBD的一个法向量为〃z=(a，b，c),

^m-DB=>f3b=0