2024-2025学年湖南省高二年级上册11月期中联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省高二上学期11月期中联考数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.设集合，=MZ.*6<0},8=*卜+2|<3},则（）

A{JC|—2<x<1}B{-1，。}Q{x|-5<x<3}口{-1,。4}

2.“机=0”是“直线4：机x+4y+2=0与直线4：x+%y+l=0垂直”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列说法错误的是（）

OC=-OA+-OB

A.若空间中点°,A,B,C满足44,则A,B,C三点共线

—.1—.1—1—.

AP=——OA+-OB+-OC

B.对空间任意一点°和不共线三点A,B,C,若488,贝［|尸，

A,B,C共面

C.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

D.G=（LLx）,b=（3,x,9）,若一历，则a与B的夹角为锐角

4.在长方体"BCD-481GA中，已知48=8C=2,‘4=支E为4°的中点，则直线

CE与5。所成角的余弦值为（）

叵叵V42V42

A.42B.21C.42D.21

5.抛物线/=2px（p>0）的焦点为尸，°为坐标原点，A为抛物线上一点，且

\AF\=AOF\,AON尸的面积为4,则抛物线方程为（）

A.V=8xB./=以

2_15

C./=16xD.>2、

6.已知圆G：（i）2+（yT）2=i与圆G：（x+3）+（y-2）=1,过动点"（加，〃）分别作圆

0、圆G的切线M4,MB（A,8分别为切点），若口划=|儿向，则疗+1的最小值是

（）

8112116949

A.68B.68C.68D.68

7.如图所示，在直四棱柱-4台£2中，底面为菱形，AB=\,

ZDAB=-RD-

3,动点尸在体对角线82上，直线/尸与平面必。所成角的最小值为4,则

直四棱柱ABCDfCB的体积为（）

V3V5V6

A.2B.2C,V5D.4

8.己知片,片分别为双曲线右焦点,。为第一象限内一

点，且满足M=2c,修|=九线段鸟2与双曲线。交于点。，若F『=5F0,则双

曲线C的离心率为（）

273V5M

A.GB.3C.2D.2

二、多选题（本大题共3小题）

9.己知函数/3=2.（5+0）+13>0,0<9<兀）的部分图象如图所示，则（）

B.0=2

C."x）的图象关于点I'”对称

小+?]X=-

D.I6J的图象关于直线4对称

10.如图、在正四棱柱/8CO-N0CQ中，点尸为线段42上一动点,

=2/8=2,则下列说法正确的是（）

A.直线平面8CQ

]_

B.三棱锥尸一8Go的体积为§

C.三棱锥C-8G。外接球的表面积为6兀

兀

D.存在点尸使直线尸£与平面所成角为§

11.曲线C是平面内与两个定点片（&3）,乙（°，一3）的距离的积等于12的点尸的轨迹，

则下列结论正确的是（）

A.点尸到V轴距离的最大值为3B.点尸到原点距离的最大值为后

271

C.△耳笔周长的最大值为4g+6D./耳因72最大值为了

三、填空题（本大题共3小题）

匕2=1

12.设片，鸟为双曲线2'一的两个焦点，点尸是双曲线上的一点，且

4%=90。，贝-所里的面积为.

13.在VNBC中，AB=5AC,点。在8c上，满足丽=2历，陋=也,AC=BD

△"SC的面积为

14.已知产为抛物线/="上的任意一点，尸为其焦点，。为圆（》一6）-+「=4上的一

点，则2|尸。|+\QF\的最小值为、

四、解答题(本大题共5小题)

15.己知直线43+(加-2"+6=0,公内+了-2=0,其中入weR

(1)若直线4经过点(2"),且〃4,求〃的值；

(2)若直线〃4,当直线4与直线4的距离最大时，求直线4的方程.

16.某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7,

若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题

到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.

(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；

(2)求王阳最终通过面试的概率.

17.如图，在梯形4BCD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,48=4,将A/CD沿边

NC翻折，使点。翻折到尸点，且必=20，点E为线段尸C靠近C点的三等分点.

(1)证明：BC1AE.

(2)求平面/E3与平面/尸8夹角的余弦值.

18.已知圆G4+2ay+V=4与圆^

(1)当。=0时，直线/"=履+1与圆G交于“，N两点，若而•砺=-3,求阳M；

11

----1----

(2)若湖片0,圆G与圆只有一条公切线，求/〃的最小值.

IM

19.如图，轴垂足为。点，点M在。P的延长线上，且\DP=\2.当点P在圆

Y+，=8上运动时，点〃的轨迹方程为C.

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)当几=3时，点M的轨迹方程记为G.

(i)若动点N为轨迹G外一点，且点N到轨迹G的两条切线互相垂直，记点N的轨

迹方程记为02,试判断C?与圆=8是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若

不存在，请说明理由；

(ii)轨迹G的左右顶点分别记为48,圆x2+/=16上有一动点E,E在x轴上方，

厂已。)，直线瓦1交轨迹C于点G,连接£8,GF,设直线即，G厂的斜率存在且分

别为看,月,若占=的，求，的取值范围.

答案

1.【正确答案】B

^4=^GZ|X2-X-6<O1=^XGZ|-2<X<3J={-1,0,1,21

【详解】因为

8=氐卜+2]<3卜国-5<x<1}

所以/cB={-l,0}.

故选：B.

2.【正确答案】A

［详解］因为直线4：加x+4y+2=0与直线4：x+阳+1=0垂直,

等价于加xl+4x加=0,即加=0,

所以“根=0”是，，直线/1："+勺+2=0与直线4：x+W+l=0垂直”的充要条件.

故选：A.

3.【正确答案】D

OC=LOA+1OBl+i=l

【详解】对于选项A：因为44,且44

所以A,B,C三点共线，故A正确；

umumuir1uir1um1uun

AP=OP-OA=——OA+-OB+-OC

对于选项B：因为488

―►3—►1—►1—►

OP=-OA+-OB+-OC—1

可得488且488

所以P,A,B,C共面，故B正确;

对于选项C：若“花共线，则对任意c,均有“，瓦。共面，故C正确;

_2__

对于选项D：例如*一>1。，贝产=（1/，3）,1（3,3,9）,

可知】=3』，即凡5同向，所以］与B的夹角为0,故D错误；

故选：D.

4.【正确答案】C

【详解】在长方体中，以D点为原点，分别为x,V,z轴建立空间直

角坐标系,

因为/B=3C=2,44=4,则8（220）,C（0,2,0）,E（l,0,4）,D（0,0,0）

可得瓦=（2,2,0）,3=（1,一2,4）,

___________-2y/42

cos〈DB,CE)=

A/22+22+02XA/12+22+42~A2

则

V42

则直线C£与AD所成角的余弦值为IT.

故选：C.

5.【正确答案】A

【详解】由题意可知:呜可

设/（X。/。），则叫一%十万，

因为㈤=2网,即一台2x勺、

p_

解得“-=5,则亦=2夕％=",即闻=p,

—x—xp=^—=4

又因为b的面积为224，且P>°,解得。=4,

所以抛物线方程为/=8x.

故选：A.

6.【正确答案】B

【详解】由题意得GO』），°2（-3,2）,

因为|M卬==河广，

又|MA|=|MB|即MC；—1=MC2~~1

即（加一I7+（九_I7_]=（冽+3）2+（〃_2）2_]

化简得〃点的轨迹为8m-2«+ll=0,即在直线8x-2y+U=°上，

7-）

m+n表示的几何意义为"感到原点距离的平方，

故只需计算原点到直线g加-%+i1=°的距离再平方就可得最小值,

7.【正确答案】D

［详解］设/cngo=o,

因为底面“58为菱形，则ACJ.BD,

又因为。〃，底面/BCD,ZCu底面/BCD,则4CLOR,

且BDCWR=D,8Z),£>Z)］u平面81)，，则NC_L平面

可知直线/尸与平面P2D所成角为NAPO,

tanZ^PO=—=^->1PO<—

则POPO，可得2,

OB=OD=-<—立

因为22,可知当点P与点2重合时，尸。取到最大值2,

DD.=yJOP2-OD2=—

则2,

2广义1x1—在

所以直四棱柱"28一4用GR的体积为2224

故选：D.

8.【正确答案】C

M=|lM=f|耳0|=2°+内。|=>

且阳用=2。,

【详解】由题意可知:

在△片。月中，由余弦定理可得

“2a2121a2

双々「0」户内RPV-1。耳I4c+与一百5c2一6/

34凡。-2可.四一2X2CX。一

5,

一々修」一尸尸歹一”4,+。2-4c2_a

在△耳?尸2中，由余弦定理可得2年用.明2x2cx。4c

5c2-6a2a/5

_________—二一

即ac4c,可得a24,

c*V5

Q——=/--=---

所以双曲线C的离心率为aN62.

故选：C.

9.【正确答案】BD

【详解】设/(“)的最小正周期为T,

T_11K5K_7i

则5=正一五=5,即丁二兀，

27r

—=兀

且则。，解得0=2,故B正确;

贝l]/(x)=2sin(2x+0)+l.

sin|—+^9j=-1

可得I6'

因为

5兀57111兀

——<-----\-(p<----

又因为°＜夕＜兀,则666,

5兀3兀2兀

-----(P——(D=—

可得62,解得3,故A错误;

f(x)=2sin(2x+1

+1

所以

兀2兀

2sin—+一+l=2sin兀+1=1

对于选项C：因为33

廷r

所以了（无）的图象关于点16'J对称，故c错误；

g（无）=x+—|=2sin|2x+—+—|+1=2sin（2x+7t）+1=-2sin2x+l

对于选项D：令I6JI33J,

gf-K-2sin-+l=-l小+殳]x=-

因为I"2（为最小值），所以I6J的图象关于直线4对称，故

D正确；

故选：BD.

10.【正确答案】BC

【详解】对A,若直线跳”平面8CQ,则因为BDu平面8CQ,则矛盾，

故A错误；

对B,作辅助线如图，因为AB"Cn，AB=CD,所以四边形为平行四边形，

所以/A//8G,8C]U面8CQ,/，二面2CQ,故/〃〃面8cQ,

同理得“耳//℃1,℃u面8G0,叫2面8G0,故44〃面3CQ,

又因为"'u面"BQ、面ADXr\AB{=A

所以平面力为卬/平面BCQ,

又因为P点在平面"42内，

正“VP-BCD=VA-BCD=^-ABD=7'7'1-1'2=7--十.

所以XX323,故B正确；

nDZ-»R=—AC,=—Vl2+12+22=-y/6

对于C,三棱锥外接球的半径222,

S=4TIR2=4兀[工&]=67i

所以三棱锥〃-8CQ外接球的表面积为12），故C正确;

对D,设尸到平面8CQ的距离为我又BD=6,BC\=DC\=^,

故'2\I2J2,又三棱锥尸-8CQ的体积为

1312

_x用7—卜7—

则32一3,解得一3,设直线尸5与平面8Go所成角为。,

sin0------=-------I-

则PC.3PG,又AG"G4/G,即1"04遍，

—广<sin0<—Yf.<sin6,<—sin6=—

故3J63,即93,故不存在6使得2,

即不存在点尸使直线0G与平面8CQ所成角为3,故D错误.

故选：BC

11.【正确答案】BD

【详解】由题意可知:附H*=12,出用=6,设p(x,y),

、牛百口小SAPF'F2二子尸耳H尸引sin/与尸工=J甲讣国

对于选项A：因为22,

—x12sinNF\PF、=—x6|x|||_9„：/ppp<7

即2।22II,解得r团-2snin乙产产2,

71

NF'PFL—

当且仅当2时，等号成立，

所以点尸到轴距离的最大值为2,故A错误；

jT3HL、，PF.-PR=\PF,\\PF\\cosZF,PF,=12cosZ^PR

对于选项B：因为।?1巾2|1212,

目所=(-x,3-y),丽=(-x,-3-y),

UUU4UUUTn

则尸不尸鸟=f+y2_9且卢O「2+/,

可得12cos/片Pg=I尸0「-9贝’尸O『=12cos/GPR+9V21|p\PO\<41\

当且仅当PFHE同向时，等号成立，

所以点尸到原点距离的最大值为后,故B正确，

对于选项C：因为M+陷口眄耐=46

当且仅当卢周.产阊=26时，等号成立，

所以△片尸片周长的最小值为4^+6,故C错误；

c/FPF附「+闸2T耳闻:2附•吐一闺可24-36_1

对于选项D：因为'22附卜明-2M.明24~~2

当且仅当卢周村尸周二26时，等号成立，

ZFPF<——

可得।之一3,所以/片尸月最大值为3,故D正确；

故选：BD.

12.【正确答案】1

【详解】由双曲线方程可得a3b=l,c=而不=拒,

不妨设阿3P周，则1%-|*=2。=2之由周=2c=2、

若/用岑=90。，则1PM+|P用2=|用叶，可得《尸闻一忸号）22|尸耳|・|尸闾=|甲球

即8+2|郎H战1=12,则1mHp周=2,

所以铝尸鸟的面积为5附“明=：

故1.

3-

13.【正确答案】4

【详解】设/C=8D=x,则/8=缶，CD=2x

八AC2+BC2-AB2X2+9X2-1X2

cosC/=_______________—____________

在V4BC中，2xACxBC~2xx3x2

AC1+DC2-AD2X2+4X2-31

cosC=

在△ZOC中,2xACxDC2xx2x2,

解得/=1,故x=l,

S,BC=—xACxBCxsinC=—x3xlxJl-cos2c=

所以224.

3A/3

故答案为.丁

14.【正确答案】4后

【详解】由题意得'O.。),取点河(5,0),设圆(x-6)2+/=4的圆心为N,

MNQN_I

则跖V=l,所以。NFN2,又因为4QNM=2FNQ,

所以AQNMS/NQ,则|0万|=2|加|,

.-.2\PQ\+\QF\=2(\PQ\+\QM\)

•'IpQ\+\QM闫尸加।,即求产”得最小值,

To=非>0),.-.|PM/=卜5)+f=\一；+25

当f=8时，而，即2I尸。I+|。/I的最小值为4几

故答案为.4"

15.【正确答案】（1）2

⑵％+>-2=0

【详解】（1）由直线4过（22,则12+2（加-2）=0n加=-4,此时：x-2y+2=0

1

当“〃2时，-2”=1,解得一2,经验证此时两直线平行.

（2）4：3x+（m-2）y+6=0,即&:3x+町-2y+6=0,当y=o,彳=-2,则直线4恒过

定点（一2,0）,

l2-.nx+y-2=0令x=0,则昨2,则直线4恒过定点（。，2）,

故当〃〃2且与（-2,0）和（0,2）的连线垂直时，4与4的距离最大，

因为两定点连线斜率为0+2,则此时72的斜率为-1,

故-〃=-1"=1,

二直线4的方程为：尸2=0.

16.【正确答案］（1）0.063

⑵0.9919

【详解】（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件A,

若王阳第三次答题通过面试，则前2次均不通过，

所以王阳第三次答题通过面试的概率为尸(")=(l-°-7)x(l-0.7)x°.7=°.O63

(2)记“王阳最终通过面试”为事件8,

王阳未通过面试的概率为尸⑻=(1-67)4=0.0081,

所以王阳最终通过面试的概率PC8)--尸0)=09919

17.【正确答案】(1)证明见详解

195/553

(2)553

【详解】(1)过。作垂足为

在等腰梯形/BCD中，4D=BC=CD,AB!/CD,AB=4,

可知w=l,nw=也2-广=6,所以/£U8=60。，

故ZABC=60°,

可得ZCAB=ZACD=ADAC=30°,

贝ijNNC3=90。，gpACVBC,

XS^JBC2+PC2=PB2,则BC,尸C,

且尸Cc/C=C,NCu平面PNC,尸Cu平面尸NC,可得平面尸/C,

由/Eu平面PNC,所以BCL/E.

(2)因为8C,平面尸/C,3Cu平面NBC,则平面/8C，平面尸NC,

过点C作CN,平面/8C,则CNu平面尸NC,

以C为原点，分别以0、CB、CN所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0）5（0,2,0）4G班,0,0）尸伊,0,1）

则万《2®2，。），""二TN

设平面ZEB法向量为m=(x9y,z)f

m•AB=-2y/3x+2y=0

-~AT5m1n

AE=-------x+—z=O

则133,

令尤=1,贝I]y=6，Z=5百，

可得应=”,5灼为平面

NE8的一个法向量,

设平面/依法向量为n=(a,b,c)f

n-AB——2#>a+2b=0

V

则n-AP=-&a+c=0

令a=l,则6=g,c=杷,

可得"=0,G,K)为平面/网的一个法向量，

__\m-n\19197553

所以H'HV79xV7553

19A/^5

故平面NEB与平面NP8夹角的余弦值为553.

18.【正确答案】（1）而

（2）9

【详解】（1）若。=°,则圆G：/+/=4的圆心为o（o,o）,半径4=2,

因为砺2=@?_两1=ON2-2ON-OM+OM2^4-2x(-3)+4=14

所以鹏|=|阿=加

（2）因为圆C：（x+2ay+V=4的圆心为1（-2W0）,半径4=2；

圆02*+（ihl的圆心为。2（。涉），半径2=1,

若圆£与圆°2只有一条公切线，则圆G与圆G内切，

则|。1。2|=|4-修，则“/+/=1,

即4a2+〃=1,且必二0,

2

b4a2,2,21

—r=——b=2a=—

当且仅当。6,即3时，等号成立,

11

所以的最小值9.

-4+/-8（A>l）

19.【正确答案】（1））

（-«3,0）Ul0,|

（2）（i）没有交点，理由见详解；（ii）

【详