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文档简介
2024-2025学年湖南省高二上学期11月期中联考数学检测试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.设集合,=MZ.*6<0},8=*卜+2|<3},则()
A{JC|—2<x<1}B{-1,。}Q{x|-5<x<3}口{-1,。4}
2.“机=0”是“直线4:机x+4y+2=0与直线4:x+%y+l=0垂直”的()
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3.下列说法错误的是()
OC=-OA+-OB
A.若空间中点°,A,B,C满足44,则A,B,C三点共线
—.1—.1—1—.
AP=——OA+-OB+-OC
B.对空间任意一点°和不共线三点A,B,C,若488,贝[|尸,
A,B,C共面
C.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
D.G=(LLx),b=(3,x,9),若一历,则a与B的夹角为锐角
4.在长方体"BCD-481GA中,已知48=8C=2,‘4=支E为4°的中点,则直线
CE与5。所成角的余弦值为()
叵叵V42V42
A.42B.21C.42D.21
5.抛物线/=2px(p>0)的焦点为尸,°为坐标原点,A为抛物线上一点,且
\AF\=AOF\,AON尸的面积为4,则抛物线方程为()
A.V=8xB./=以
2_15
C./=16xD.>2、
6.已知圆G:(i)2+(yT)2=i与圆G:(x+3)+(y-2)=1,过动点"(加,〃)分别作圆
0、圆G的切线M4,MB(A,8分别为切点),若口划=|儿向,则疗+1的最小值是
()
8112116949
A.68B.68C.68D.68
7.如图所示,在直四棱柱-4台£2中,底面为菱形,AB=\,
ZDAB=-RD-
3,动点尸在体对角线82上,直线/尸与平面必。所成角的最小值为4,则
直四棱柱ABCDfCB的体积为()
V3V5V6
A.2B.2C,V5D.4
8.己知片,片分别为双曲线右焦点,。为第一象限内一
点,且满足M=2c,修|=九线段鸟2与双曲线。交于点。,若F『=5F0,则双
曲线C的离心率为()
273V5M
A.GB.3C.2D.2
二、多选题(本大题共3小题)
9.己知函数/3=2.(5+0)+13>0,0<9<兀)的部分图象如图所示,则()
B.0=2
C."x)的图象关于点I'”对称
小+?]X=-
D.I6J的图象关于直线4对称
10.如图、在正四棱柱/8CO-N0CQ中,点尸为线段42上一动点,
=2/8=2,则下列说法正确的是()
A.直线平面8CQ
]_
B.三棱锥尸一8Go的体积为§
C.三棱锥C-8G。外接球的表面积为6兀
兀
D.存在点尸使直线尸£与平面所成角为§
11.曲线C是平面内与两个定点片(&3),乙(°,一3)的距离的积等于12的点尸的轨迹,
则下列结论正确的是()
A.点尸到V轴距离的最大值为3B.点尸到原点距离的最大值为后
271
C.△耳笔周长的最大值为4g+6D./耳因72最大值为了
三、填空题(本大题共3小题)
匕2=1
12.设片,鸟为双曲线2'一的两个焦点,点尸是双曲线上的一点,且
4%=90。,贝-所里的面积为.
13.在VNBC中,AB=5AC,点。在8c上,满足丽=2历,陋=也,AC=BD
△"SC的面积为
14.已知产为抛物线/="上的任意一点,尸为其焦点,。为圆(》一6)-+「=4上的一
点,则2|尸。|+\QF\的最小值为、
四、解答题(本大题共5小题)
15.己知直线43+(加-2"+6=0,公内+了-2=0,其中入weR
(1)若直线4经过点(2"),且〃4,求〃的值;
(2)若直线〃4,当直线4与直线4的距离最大时,求直线4的方程.
16.某公司的入职面试中有4道难度相当的题目,王阳答对每道题的概率都是0.7,
若每位面试者共有4次机会,一旦某次答对抽到的题目、则面试通过,否则就一直抽题
到第4次为止,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
(1)求王阳第三次答题通过面试的概率;
(2)求王阳最终通过面试的概率.
17.如图,在梯形4BCD中,AB//CD,AD=DC=BC=2,48=4,将A/CD沿边
NC翻折,使点。翻折到尸点,且必=20,点E为线段尸C靠近C点的三等分点.
(1)证明:BC1AE.
(2)求平面/E3与平面/尸8夹角的余弦值.
18.已知圆G4+2ay+V=4与圆^
(1)当。=0时,直线/"=履+1与圆G交于“,N两点,若而•砺=-3,求阳M;
11
----1----
(2)若湖片0,圆G与圆只有一条公切线,求/〃的最小值.
IM
19.如图,轴垂足为。点,点M在。P的延长线上,且\DP=\2.当点P在圆
Y+,=8上运动时,点〃的轨迹方程为C.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)当几=3时,点M的轨迹方程记为G.
(i)若动点N为轨迹G外一点,且点N到轨迹G的两条切线互相垂直,记点N的轨
迹方程记为02,试判断C?与圆=8是否存在交点?若存在,求出交点的坐标;若
不存在,请说明理由;
(ii)轨迹G的左右顶点分别记为48,圆x2+/=16上有一动点E,E在x轴上方,
厂已。),直线瓦1交轨迹C于点G,连接£8,GF,设直线即,G厂的斜率存在且分
别为看,月,若占=的,求,的取值范围.
答案
1.【正确答案】B
^4=^GZ|X2-X-6<O1=^XGZ|-2<X<3J={-1,0,1,21
【详解】因为
8=氐卜+2]<3卜国-5<x<1}
所以/cB={-l,0}.
故选:B.
2.【正确答案】A
[详解]因为直线4:加x+4y+2=0与直线4:x+阳+1=0垂直,
等价于加xl+4x加=0,即加=0,
所以“根=0”是,,直线/1:"+勺+2=0与直线4:x+W+l=0垂直”的充要条件.
故选:A.
3.【正确答案】D
OC=LOA+1OBl+i=l
【详解】对于选项A:因为44,且44
所以A,B,C三点共线,故A正确;
umumuir1uir1um1uun
AP=OP-OA=——OA+-OB+-OC
对于选项B:因为488
―►3—►1—►1—►
OP=-OA+-OB+-OC—1
可得488且488
所以P,A,B,C共面,故B正确;
对于选项C:若“花共线,则对任意c,均有“,瓦。共面,故C正确;
_2__
对于选项D:例如*一>1。,贝产=(1/,3),1(3,3,9),
可知】=3』,即凡5同向,所以]与B的夹角为0,故D错误;
故选:D.
4.【正确答案】C
【详解】在长方体中,以D点为原点,分别为x,V,z轴建立空间直
角坐标系,
因为/B=3C=2,44=4,则8(220),C(0,2,0),E(l,0,4),D(0,0,0)
可得瓦=(2,2,0),3=(1,一2,4),
___________-2y/42
cos〈DB,CE)=
A/22+22+02XA/12+22+42~A2
则
V42
则直线C£与AD所成角的余弦值为IT.
故选:C.
5.【正确答案】A
【详解】由题意可知:呜可
设/(X。/。),则叫一%十万,
因为㈤=2网,即一台2x勺、
p_
解得“-=5,则亦=2夕%=",即闻=p,
—x—xp=^—=4
又因为b的面积为224,且P>°,解得。=4,
所以抛物线方程为/=8x.
故选:A.
6.【正确答案】B
【详解】由题意得GO』),°2(-3,2),
因为|M卬==河广,
又|MA|=|MB|即MC;—1=MC2~~1
即(加一I7+(九_I7_]=(冽+3)2+(〃_2)2_]
化简得〃点的轨迹为8m-2«+ll=0,即在直线8x-2y+U=°上,
7-)
m+n表示的几何意义为"感到原点距离的平方,
故只需计算原点到直线g加-%+i1=°的距离再平方就可得最小值,
7.【正确答案】D
[详解]设/cngo=o,
因为底面“58为菱形,则ACJ.BD,
又因为。〃,底面/BCD,ZCu底面/BCD,则4CLOR,
且BDCWR=D,8Z),£>Z)]u平面81),,则NC_L平面
可知直线/尸与平面P2D所成角为NAPO,
tanZ^PO=—=^->1PO<—
则POPO,可得2,
OB=OD=-<—立
因为22,可知当点P与点2重合时,尸。取到最大值2,
DD.=yJOP2-OD2=—
则2,
2广义1x1—在
所以直四棱柱"28一4用GR的体积为2224
故选:D.
8.【正确答案】C
M=|lM=f|耳0|=2°+内。|=>
且阳用=2。,
【详解】由题意可知:
在△片。月中,由余弦定理可得
“2a2121a2
双々「0」户内RPV-1。耳I4c+与一百5c2一6/
34凡。-2可.四一2X2CX。一
5,
一々修」一尸尸歹一”4,+。2-4c2_a
在△耳?尸2中,由余弦定理可得2年用.明2x2cx。4c
5c2-6a2a/5
_________—二一
即ac4c,可得a24,
c*V5
Q——=/--=---
所以双曲线C的离心率为aN62.
故选:C.
9.【正确答案】BD
【详解】设/(“)的最小正周期为T,
T_11K5K_7i
则5=正一五=5,即丁二兀,
27r
—=兀
且则。,解得0=2,故B正确;
贝l]/(x)=2sin(2x+0)+l.
sin|—+^9j=-1
可得I6'
因为
5兀57111兀
——<-----\-(p<----
又因为°<夕<兀,则666,
5兀3兀2兀
-----(P——(D=—
可得62,解得3,故A错误;
f(x)=2sin(2x+1
+1
所以
兀2兀
2sin—+一+l=2sin兀+1=1
对于选项C:因为33
廷r
所以了(无)的图象关于点16'J对称,故c错误;
g(无)=x+—|=2sin|2x+—+—|+1=2sin(2x+7t)+1=-2sin2x+l
对于选项D:令I6JI33J,
gf-K-2sin-+l=-l小+殳]x=-
因为I"2(为最小值),所以I6J的图象关于直线4对称,故
D正确;
故选:BD.
10.【正确答案】BC
【详解】对A,若直线跳”平面8CQ,则因为BDu平面8CQ,则矛盾,
故A错误;
对B,作辅助线如图,因为AB"Cn,AB=CD,所以四边形为平行四边形,
所以/A//8G,8C]U面8CQ,/,二面2CQ,故/〃〃面8cQ,
同理得“耳//℃1,℃u面8G0,叫2面8G0,故44〃面3CQ,
又因为"'u面"BQ、面ADXr\AB{=A
所以平面力为卬/平面BCQ,
又因为P点在平面"42内,
正“VP-BCD=VA-BCD=^-ABD=7'7'1-1'2=7--十.
所以XX323,故B正确;
nDZ-»R=—AC,=—Vl2+12+22=-y/6
对于C,三棱锥外接球的半径222,
S=4TIR2=4兀[工&]=67i
所以三棱锥〃-8CQ外接球的表面积为12),故C正确;
对D,设尸到平面8CQ的距离为我又BD=6,BC\=DC\=^,
故'2\I2J2,又三棱锥尸-8CQ的体积为
1312
_x用7—卜7—
则32一3,解得一3,设直线尸5与平面8Go所成角为。,
sin0------=-------I-
则PC.3PG,又AG"G4/G,即1"04遍,
—广<sin0<—Yf.<sin6,<—sin6=—
故3J63,即93,故不存在6使得2,
即不存在点尸使直线0G与平面8CQ所成角为3,故D错误.
故选:BC
11.【正确答案】BD
【详解】由题意可知:附H*=12,出用=6,设p(x,y),
、牛百口小SAPF'F2二子尸耳H尸引sin/与尸工=J甲讣国
对于选项A:因为22,
—x12sinNF\PF、=—x6|x|||_9„:/ppp<7
即2।22II,解得r团-2snin乙产产2,
71
NF'PFL—
当且仅当2时,等号成立,
所以点尸到轴距离的最大值为2,故A错误;
jT3HL、,PF.-PR=\PF,\\PF\\cosZF,PF,=12cosZ^PR
对于选项B:因为।?1巾2|1212,
目所=(-x,3-y),丽=(-x,-3-y),
UUU4UUUTn
则尸不尸鸟=f+y2_9且卢O「2+/,
可得12cos/片Pg=I尸0「-9贝’尸O『=12cos/GPR+9V21|p\PO\<41\
当且仅当PFHE同向时,等号成立,
所以点尸到原点距离的最大值为后,故B正确,
对于选项C:因为M+陷口眄耐=46
当且仅当卢周.产阊=26时,等号成立,
所以△片尸片周长的最小值为4^+6,故C错误;
c/FPF附「+闸2T耳闻:2附•吐一闺可24-36_1
对于选项D:因为'22附卜明-2M.明24~~2
当且仅当卢周村尸周二26时,等号成立,
ZFPF<——
可得।之一3,所以/片尸月最大值为3,故D正确;
故选:BD.
12.【正确答案】1
【详解】由双曲线方程可得a3b=l,c=而不=拒,
不妨设阿3P周,则1%-|*=2。=2之由周=2c=2、
若/用岑=90。,则1PM+|P用2=|用叶,可得《尸闻一忸号)22|尸耳|・|尸闾=|甲球
即8+2|郎H战1=12,则1mHp周=2,
所以铝尸鸟的面积为5附“明=:
故1.
3-
13.【正确答案】4
【详解】设/C=8D=x,则/8=缶,CD=2x
八AC2+BC2-AB2X2+9X2-1X2
cosC/=_______________—____________
在V4BC中,2xACxBC~2xx3x2
AC1+DC2-AD2X2+4X2-31
cosC=
在△ZOC中,2xACxDC2xx2x2,
解得/=1,故x=l,
S,BC=—xACxBCxsinC=—x3xlxJl-cos2c=
所以224.
3A/3
故答案为.丁
14.【正确答案】4后
【详解】由题意得'O.。),取点河(5,0),设圆(x-6)2+/=4的圆心为N,
MNQN_I
则跖V=l,所以。NFN2,又因为4QNM=2FNQ,
所以AQNMS/NQ,则|0万|=2|加|,
.-.2\PQ\+\QF\=2(\PQ\+\QM\)
•'IpQ\+\QM闫尸加।,即求产”得最小值,
To=非>0),.-.|PM/=卜5)+f=\一;+25
当f=8时,而,即2I尸。I+|。/I的最小值为4几
故答案为.4"
15.【正确答案】(1)2
⑵%+>-2=0
【详解】(1)由直线4过(22,则12+2(加-2)=0n加=-4,此时:x-2y+2=0
1
当“〃2时,-2”=1,解得一2,经验证此时两直线平行.
(2)4:3x+(m-2)y+6=0,即&:3x+町-2y+6=0,当y=o,彳=-2,则直线4恒过
定点(一2,0),
l2-.nx+y-2=0令x=0,则昨2,则直线4恒过定点(。,2),
故当〃〃2且与(-2,0)和(0,2)的连线垂直时,4与4的距离最大,
因为两定点连线斜率为0+2,则此时72的斜率为-1,
故-〃=-1"=1,
二直线4的方程为:尸2=0.
16.【正确答案](1)0.063
⑵0.9919
【详解】(1)记“王阳第三次答题通过面试”为事件A,
若王阳第三次答题通过面试,则前2次均不通过,
所以王阳第三次答题通过面试的概率为尸(")=(l-°-7)x(l-0.7)x°.7=°.O63
(2)记“王阳最终通过面试”为事件8,
王阳未通过面试的概率为尸⑻=(1-67)4=0.0081,
所以王阳最终通过面试的概率PC8)--尸0)=09919
17.【正确答案】(1)证明见详解
195/553
(2)553
【详解】(1)过。作垂足为
在等腰梯形/BCD中,4D=BC=CD,AB!/CD,AB=4,
可知w=l,nw=也2-广=6,所以/£U8=60。,
故ZABC=60°,
可得ZCAB=ZACD=ADAC=30°,
贝ijNNC3=90。,gpACVBC,
XS^JBC2+PC2=PB2,则BC,尸C,
且尸Cc/C=C,NCu平面PNC,尸Cu平面尸NC,可得平面尸/C,
由/Eu平面PNC,所以BCL/E.
(2)因为8C,平面尸/C,3Cu平面NBC,则平面/8C,平面尸NC,
过点C作CN,平面/8C,则CNu平面尸NC,
以C为原点,分别以0、CB、CN所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0)5(0,2,0)4G班,0,0)尸伊,0,1)
则万《2®2,。),""二TN
设平面ZEB法向量为m=(x9y,z)f
m•AB=-2y/3x+2y=0
-~AT5m1n
AE=-------x+—z=O
则133,
令尤=1,贝I]y=6,Z=5百,
可得应=”,5灼为平面
NE8的一个法向量,
设平面/依法向量为n=(a,b,c)f
n-AB——2#>a+2b=0
V
则n-AP=-&a+c=0
令a=l,则6=g,c=杷,
可得"=0,G,K)为平面/网的一个法向量,
__\m-n\19197553
所以H'HV79xV7553
19A/^5
故平面NEB与平面NP8夹角的余弦值为553.
18.【正确答案】(1)而
(2)9
【详解】(1)若。=°,则圆G:/+/=4的圆心为o(o,o),半径4=2,
因为砺2=@?_两1=ON2-2ON-OM+OM2^4-2x(-3)+4=14
所以鹏|=|阿=加
(2)因为圆C:(x+2ay+V=4的圆心为1(-2W0),半径4=2;
圆02*+(ihl的圆心为。2(。涉),半径2=1,
若圆£与圆°2只有一条公切线,则圆G与圆G内切,
则|。1。2|=|4-修,则“/+/=1,
即4a2+〃=1,且必二0,
2
b4a2,2,21
—r=——b=2a=—
当且仅当。6,即3时,等号成立,
11
所以的最小值9.
-4+/-8(A>l)
19.【正确答案】(1))
(-«3,0)Ul0,|
(2)(i)没有交点,理由见详解;(ii)
【详
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