2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（人教版选择性必修第一册+第二册）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（人教B版2019）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：人教B版2019选择性必修第一册、第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排

列、组合与二项式定理+概率与统计）。

4.难度系数：0.7o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.己知向量。=（2,4,x）,S=（2,y,2）,若忖=6,则x+y的值是（）

A.-3或1B.3或1C.-3D.1

【答案】A

【详解】因为万=（2,4,x）,b=（2,y,i）,且同=6,[13,

\a\-^22+42+x2=6x=4x=-4

所以1L，解得I或

d・b=4+4y+2x=0y=l

所以x+y=l或x+y=-3.

故选：A

2.某市人民政府新招聘进6名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门，每人只去一个部门，每

个部门必须有人，若甲部门必须安排2人，则不同的方案数为（)

A.540B.1080C.520D.360

【答案】A

【详解】6名应届大学毕业生，分配给甲、乙、丙、丁四个部门,

甲部门先安排2人有C；=15种，

C2cle1

剩余4个人分配到乙、丙、丁三个部门有迷=36种，

A2

故由分步乘法计数原理得或卑4A；=540,

A2

故选：A.

3.已知5个成对数据(x,y)的散点图如下，若去掉点。(4,3),则下列说法正确的是()

”(1,4)

•.5(2,3,5)

.刃(4,3)

C(3,2.5)

____________£(於)

Ox

A,变量x与变量y呈正相关B,变量x与变量y的相关性变强

C.残差平方和变大D.样本相关系数r变大

【答案】B

【详解】由散点图可知，去掉点。(4,3)后，歹与x的线性相关加强，且为负相关，

所以B正确，A错误：

由于歹与x的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误，

由于y与x的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，

而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误.

故选：B.

4.随机变量X服从N(〃，4),若尸(X21)=尸(XW3),则下列选项一定正确的是()

A.P(X>3)=1B.CT=1C.〃=2D.P(X>3)+P(X<1)=1

【答案】C

【详解】因为尸(X»l)=尸(XW3),由正态分布的对称性，可得M=2,正态分布方差无法判断，

P(X>3)<1,P(X>3)+P(X<1)<1,

所以ABD错误.

故选：C.

5.刍薨是中国古代算数中的一种几何体,是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍薨如图所示,底面BCDE

为矩形，/尸〃平面BCDE,和△CD厂是全等的正三角形，BC=3,BE=2,ZABC=~,则异面

直线NE与所成角的余弦值为（）

AV13RV1302713八3V13

26131352

【答案】A

【详解】依题意得存=而一面，BD=BC+BE，

所以诟.丽=（砺-茄）.（南+砺）

=BEBC+BE2-BA-BC-BA-BE

=4-2x3cos2x2cos—=-1,

33

又|北卜2"而卜V?工？=A,

所以设异面直线AE与BD所成的角为6,

AE-BD1713

贝ICOS0=——>11——►-=-------7==

AE^BD2xV1326

故选：A.

6.已知圆弓：（》-1）2+（了-1）2=1与圆。2：（》+3）2+（尸2）2=1,过动点河（”7）分别作圆弓、圆6的切线题4,

MB(A,8分别为切点)，^\M^\=\MB\,贝的最小值是()

81121-16949

A.—B.----C.----D.—

68686868

【答案】B

【详解】由题意得G(1,1),C2(-3,2),

2

因为|跖4|=\MB\=^|MC2|-I,

又|跖4|=|MSI，即=-1,

HP(m-l)2+(«-1)"-1=(m+3)2+(zz-2)--1,

化简得M点的轨迹为8加一2”+11=0,即在宜线8x-2y+ll=0上,

/+/表示的几何意义为/点到原点距离的平方，

故只需计算原点到直线8根-2〃+11=0的距离再平方就可得最小值,

7.已知耳，月分别为双曲线C:/—5=1（°>0乃>0）的左、右焦点，尸为第一象限内一点，且满足

|^|=2c,\F2P\=a,线段星尸与双曲线C交于点。，若哥=5直，则双曲线。的离心率为（）

…B.孚C.口.平

【答案】C

【详解】由题意可知：区@=曰工尸卜9忻目=2。+区@=9，且比用=2c,

在，以中'由余弦定理可得侬“废;随借拜二三子二一‘

5

闺目+|帆『-附『

4c2+tz2-4c2a

在AF'PF?中,由余弦定理可得cosNF\FP=

22国7讣熙|2x2cx。

5

4

所以双曲线C的离心率为e=2

a

故选：C.

8.已知/={xeN|x<12},8={xeNB<3},函数工：/-NJ（x）的值等于x除以6得到的余数,

人：N-2.设/（耳=力（工（无）），若存在yeB,使得对于任意的xe/,都不满足>=/（x）,则函数/（x）

的个数是（）

A.729B.189C.378D.540

【答案】B

【详解】4={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},3={0,1,2,3},函数力与力的关系如下图所示：

可以看出，由于函数工（x）的对应关系固定,

余

力

0-o

1-1

2-2

3-3

4-4

5-5

6-o

7-1

8-2

9-3

0-

-4

15

/

/)F(力(X))

函数/（X）=人（工（X））的个数只取决于N的0,1,2,3,4,5到3的对应关系.

因为存在V68,使得对于任意的xe4,都不满足y=/（%）,

所以N的。,1,2,3,4,5没有对应满5中的所有元素.

考虑其反面，即对于任意的V《8,总存在xe/,使得y=/（x）,

即N的0,1,2,3,4,5对应满了8中的所有元素.

求满足反面的/卜）的个数的问题等价于“6名工人到3间工厂应聘，

每名工人只去一间工厂，每间工厂至少有一名工人前来应聘，求应聘情况的总数”,

即满足反面的/（X）有540个，没有限制条件的“X）有36=729个,

因此满足题目条件的〃X）有729-540=189个，故B正确.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.若自〜"（〃,/）,若函数/（x）=P（x<JWx+l）为偶函数，则〃=；

B.数据7,5,3,10,2,6,8,9的上四分位数为8

C.已知0〈尸0（尸（N）<1,若尸（叫帖+尸俾）=1,则刊，N相互独立

D.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到/=3.937,依据a=0.05的独立性检验

（/。5=3.841）,可判断X与F有关且犯错误的概率不超过0.05

【答案】ACD

【详解】对A：因为〃x）=P（x4AWx+l）为偶函数，BP/（-x）=/（%）,

可得：P（x<^<x+l）=P（-x<^<-x+l）,故可得〃=±±F=g,故A正确；

对B：将8个数据按照从小到大的顺序排序：2,3,5,6,7,8,9,10,

故8x0.75=6,故上四分位数为笺=8.5,故B错误；

对C：根据题意，P（M\N）+P（M）=l,即%.+JP（M）=1，

即尸（AW）=P（M）P（N）,故监N相互独立，C正确；

对D：3.937>3.841,根据独立性检验，可判断X与T有关且犯错误的概率不超过0.05,故D正确.

故选：ACD.

10.已知抛物线C:/=4x,尸为其焦点，直线/与抛物线交C于N（%,%）两点，则下列说法正

确的是（）

A.若点A为抛物线上的一点，点5坐标为（3,1）,则以刊+以邳的最小值为3

B.若直线/过焦点尸，则以为直径的圆与x=-l相切

C.若直线/过焦点尸，当相VLO尸时，则|。叫・|。叫=5

D.设直线的中点坐标为（%,%乂％片0）,则该直线的斜率与%无关，与%有关

【答案】BCD

【详解】对于A选项，如下图所示:

抛物线的焦点为/(1,0),准线为/：x=-l,

设点A在直线/上的射影点为。，由抛物线的定义可得|40|=|//|,

则四+|/川=以同+以必，

当且仅当A、B、D三点共线时，即当庭)!_/时，u同+|”|取最小值3+1=4,A错;

对于B选项，若直线/过焦点尸，贝小跖V|=XI+%+2,

线段MV的中点E到直线/的距离为d=土产+1,所以，|跖V|=2d,

因此，以"N为直径的圆与x=-l相切，B对；

对于C选项，当肱V，。尸时，直线的方程为x=l,

fx=l[x-1

联立]「=4x可得+2,不妨取州0,2)、"(1,-2)，则|OM=|ON|=7L

此时，|。必也叫=5,C对；

对于D选项，线段的中点坐标为(%,%)(%W0),

若MNLx轴，则线段"N的中点在x轴上，不合乎题意，所以直线"N的斜率存在,

+%2=2x

由题意可得0

,%+%=2%

2

由］"2一:"作差得（乂-%）（乂+%）=4（项-工2）,

［为=4x2

故选：BCD.

11.如图，△48。内接于圆O,为圆。的直径，AB=4,BC=2,CO1平面43C,£为M的中点,

若三棱锥。-8EC的体积为2,则下列结论正确的有（）

B.直线即与平面8CE所成的角的余弦值为逅

4

C.点/到平面2CE的距离为遥

JT

D.平面与平面48。所成的角的大小为1

【答案】AC

【详解】：他为圆O的直径，且48=4,3c=2,.•.△4BC为直角三角形，/。=26,

设CD=h,

由£为3的中点可得VD_BEC=^D_ABC=1X|/；.1X2V3X2=2,

解得人=2百,

以c为坐标原点，c<C8,co所在直线分别为尤//轴建立空间坐标系如下图所示:

则C（0,0,0）,/（2道,0,0）,5（0,2,0）,D（0,0,2V3）,E出0,后,

G4=（2V3,0,0）,砺=（右,一2,码，55=（0,-2,2V3）,CE=（73,0,>/3）,

6V30

对于A,易知cos<CA.BE>=

2百义丽—10

所以异面直线班与"所成角的余弦值为噜，选项A正确;

n-CE=0y[?>X+=0

对于B,设平面8CE的法向量为拓=(x,y,z),，一，即

n-BE=0A/3X-2y+A/3Z=0

取x=l,y=0,z=-1,YI=(l50,—1),

BD-n\

设班与平面BCE所成的角为夕，则sin。=|273V6“

cos<BD,n>|=-|------尸=一丁，选项B不正确;

BD\-\n4-V24

区L冷6选项c正确.

对于C,点A到平面BCE的距离为1=

l«l

对于D,设平面48。的法向量为方=(a,6,c),DA=(2V3,0,-273),DB=(0,2,-273),

2yBet—2y/3c=0a-c=0

则L，即b-6c=0'取c=l'b=6,a=l,

2b-2yJ3c=0

加=m-n=09

所以平面3CE与平面ABD的夹角大小为90°,选项D不正确.

故选：AC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(l-2x)(l+3x)6的展开式中，含f的项的系数为.(用数字作答)

【答案】99

【详解】由题意得(1+3x)6的展开式的通项为却|=d(3x丫=3(蕾，

所以(1-2x)(1+3x)6的展开式中，含犬的项为32C^2-2X-3'C*?=99x2,

所以展开式中含f的项的系数为99.

故答案为：99.

13.为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育

社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所

参加的社团种类的个数为X,贝"(用=.

191

【答案】-/2-

【详解】依题意X的可能取值为1,2,3,

当X=1时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法;

当X=2时,甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有C；C；A；种选法;

当X=2时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有A；种选法;

331

贝P(X=1)=w=—=—

'733279

C；C：A；_182

p(X=2)=

33273

A(__6__2

P(X=3)=手"一'

279

i221Q

所以片(刀)=卜3+2、§+3*3=7.

19

故答案为：—

14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为050.4,且甲乙射击

互不影响，则无人机被击中的概率为,若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好

被两人击中，则被击落的概率为0.6,那么无人机被击落的概率为

【答案】0.70.22.

【详解】设甲击中无人机为事件A,乙击中无人机为事件3,无人机被击中为事件C,无人机被击落为事

件。，

则P(A)=0.5,P(B)=0.4,所以尸(才=0.5,P(B)=0.6,

所以P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.5x0.6=0.7,

若无人机恰好被一人击中，即事件加+工石，

则P(AB+AB)=P(AB)+P{AB)=0.5x0.4+0.5x0,6=0,5,

若无人机被两人击中，即事件初，

贝P(AB)=P(4)P(B)=0.5x0.4=0.2,

所以P(D)=P(AB+A豆)P(D+AB)+P(AS)P(D\AB)

=0.5x0.2+0.2x0.6=0.22.

故答案为：0.7,0.22.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

9

已知（2—3x）9=Q0++2/_|---pa9x.

（1）求％+。2+。3---。9；

⑵指出同，闻，同，…，同中最大的项.

【详解】（1）令x=0,得名=29=512,

令X=1,得。0+%+。2+…+。9=（2-3）°=—1,

所以q+%+%—F为=-513；5分

(2)判断同同,…，同中谁最大即判断(2+3x)9展开式的系数谁最大.

(2+3x)9展开式的通项=Cj29T(3岁,

Cr.29T.yNc〃T.210-r-31

由C>29T.m•2-.3川'得5WT6,因为reN,所以r=5或6.

故同，同，同，…,同中最大的项为|%|，|&|.13分

16.（15分）

如图，已知等腰梯形4BCD中，ADIIBC,AB=AD=；BC=2,E是8c的中点，AE[}BD=M,^BAE

沿着AE翻折成△片/石，使B\M1平面AECD.

（1）求证：CD_L平面BXDM■

(2)求平面B、MD与平面BXAD夹角的余弦值;

(3)在线段5c上是否存在点P,使得MP//平面3/。，若存在，求出算的值；若不存在，说明理由.

【详解】(1)如图，在梯形/BCD中，连接DE,因为E是的中点，所以BE=^BC,

又AD=*C=2,所以4D=BE,

又因为4D//8E,所以四边形/BE。是平行四边形,

因为48=WD,所以四边形是菱形，从而AELBD,

△BAE沿着AE翻折成后，有/E_LBXM,AE±DM

又用MnJM/=",甲W,加fu平面8QA/,所以平面用。州,

由题意，易知ADUCE,AD=CE,所以四边形/ECO是平行四边形，

故AEI/CD,所以平面2QM.---------------------------------------------5分

(2)因为印W_L平面NECO,DMu平面NECO,则有用M_LJW,

由(1)知故/瓦为兑的/两两垂直，

以M为坐标原点，旌,血,儿/所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系,

因为26=8£=2£,所以为等边三角形，同理也为等边三角形,

则4(0,0,有),/(-1,0,0),D(0,括,0),

设平面片4D的一个法向量为所=(xj,z),

in-AD=(x,y,z)-fl,V3,0)=x+y/3y=0

则一'r-,

和耳。=(3,z)-(0,j3,-j3)=j3y-j3z=0

令y=l得x=_g,z=l,故成=卜百,1,1),

又平面瓦必)的一个法向量为万=(1,0,0),

V15

V3+1+1飞F

故平面用地)与平面440夹角的余弦值为半;

----------------------------------------------10分

(3)假设线段4c上存在点p,使得MP//平面3/0,

过点尸作尸。〃CD交片。于。，连接必，AQ,如图所示:

所以4"//。//尸0,所以4M,P,。四点共面,

又因为MP//平面所以〃尸〃

所以四边形AMPQ为平行四边形，

所以尸0=所以P是用C的中点，

B、P1

故在线段耳。上存在点尸，使得近//平面440,且妥=不.------------------------------15分

17.(15分)

为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程48,学生根据自己的兴趣爱好在

这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.

选择课程A选择课程5

男生4060

女生2080

(1)根据上表，依据小概率值a=0.005的*独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？

(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查,

求这3人中选择课程5的人数比选择课程A的人数多的概率.

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)，

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

【详解】(1)零假设4：选择课程与性别无关.

n(ad-be)2200x(3200-1200)2〜

力29.524>7.879=x,

g+b)(c+d)(a+c)(b+d)100x100x140x600005

2

根据小概率值a=0.005的Z独立性检验，推断&不成立，

即认为选择课程与性别有关.-----------------------------5分

40

(2)选出的5名男生中，选择课程A的人数为5'^^=2,

选择课程3的人数为5x建刀=3,---------------------------------------------9分

40+60

这3人中选择课程8的人数比选择课程A的人数多有如下两种可能：

选择课程8有3人，数选择课程A有。人，此种有C；种选法；

选择课程8有2人，数选择课程A有1人，此种有C；C；种选法；

记“这3人中选择课程5的人数比选择课程A的人数多”为事件

18.(17分)

某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X,如下表:

性能指标X6677808896

产品件数102048193

(1)求该项性能指标的样本平均数彳的值.若这批零件的该项指标X近似服从正态分布其中〃近似

为样本平均数彳的值，4=36,试求尸(74<XV92)的值.

(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机

床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.01,现从这批零件中随机抽取一件.

①求这件零件是次品的概率：

②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；

③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品,

且该项性能指标恰好在(74,92］内的零件个数为y,求随机变量丫的数学期望(精确到整数).

参考数据：若随机变量百服从正态分布N(〃,4),则次必一。<6W//+b)。0.6827,

P("-2a<£,<+2b)«0.9545,P("-3cr<^<//+3b)«0.997.

【详解】(1)X=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80.

因为X~N(80,36),所以b=6,

贝lJP(74<XW92)=gp(〃-2bVXW〃+2cr)+gp(〃一bVXW〃+b)

0.9545+0.6827

=0.8186------------------------------5分

2

(2)①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件4,

“抽取的零件为乙机床生产”记为事件4,

“抽取的零件为次品”记为事件8,

71

则尸(4)=：,P(4)=,尸(回4)=0.02,尸⑷a)=o.oi,8分

则尸(3)=尸(4)尸(刃4)+尸(4)尸(BMXlxOS+Ixo.oin竽nA

11分

333oU

2

-x0.02/

②尸⑷町=需=233_4

13分

P(B)P(B)15

60

③由(1)及(2)①可知，这批零件是次品且性能指标在(86,92］内的概率〃=磊*0.8186,

且随机变量y~8(300,p),

所以E(y)=300p=3OOxLo.8186=4.093。4,

60

所以随机变量y的数学期望为4.------------------------------"分

19.(17分)

如图，。尸，了轴垂足为。点，点/在。尸的延长线上，且标才.当点P在圆工2+丁=8上运动时，点/

(1)求点/的轨迹C的方程；

(2)当2=应时，点/的轨迹方程记为G.

(i)若动点N为轨迹G外一点，且点N到轨迹G的两条切线互相垂直，记点N的轨