2024-2025学年高二年级上册第一次月考数学试题（含解析）

高二上学期第一次月考试卷

数学

考生注意：

L本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章〜第二章第2节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知直线(a-G)x+y+2=0的倾斜角为30°,则。=()

A.2GD.O

33

2.若值=(—1,2,—1)石=(1,3,—2),则卜+孙(1-2今=()

A.-29B.-22C.22D.29

3.如果48>0且5。<0,那么直线4t+为+C=0不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.如图，在四棱锥P—48C。中，底面4BCD是平行四边形，点£在侧棱PC上，且尸£若

2

AB=a,AD=b,AP^c,则近=（）

333333

2-2-1-2-21一

C.—a+—b+—cD.——a——br——c

333333

5.已知加为实数，直线4:(m+2)x+j-2=0,/2:5x+(ffl-2)j+l=0,则“(〃(”是“〃i=—3”的

()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

6.已知空间中三点2(0,0刀),8(1,-1,2),。(一1,一2,1),则以48,4C为邻边的平行四边形的面积为

()

33A/3r

A.-B.±C.3D.3V3

22

7.点幺(2,-4)到直线/:(1-3机)x+(l—m)y+4+4机=0(加为任意实数)的距离的取值范围是

()

A.[0,5]B,[0,2V5]C.[0,4]D[0,6]

8.在正三棱锥P—4BC中，P4=48=4,点。,£分别是棱尸C/8的中点，则而.而=()

A.-2B.-4C.-6D.-8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.直线x_y+l=0与直线x_y_l=0之间的距离为行

B.直线x-2y-4=0在两坐标轴上的截距之和为6

C.将直线＞=x绕原点逆时针旋转75°，所得到的直线为j

D.若直线/向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线/的斜率为-2

3

10.在正方体4SC。-中，能构成空间的一个基底的一组向量为()

A.AAVAB,ACB.BA,BC,BD

C.苑，函，函D.AD^BA^'AC

II.如图，在棱长均为I的平行六面体451GA中，仍1，平面Z5CO/N5C=60°,尸，。分

别是线段/C和线段48上的动点，且满足瓶=2鬲，丽=(1-4)石，则下列说法正确的是()

A.当；I=；时，PQ//AXD

B.当X二；时，若尸。=%/5+｝；/£）+244（%//£区），则x+y+z=O

1兀

C.当2=—时，直线尸0与直线CG所成角的大小为一

36

D.当Xe（（M）时，三棱锥。尸的体积的最大值为"

48

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/过点幺（1,2）,且在歹轴上的截距是在无轴上截距的2倍，则直线/的方程为.

13.在空间直角坐标系0—平中，已知2（2,2,0）,8（2,1,—3）,C（0,2,0）,则三棱锥O—/5C的体积为

14.在棱长为4的正方体48C。-中，点£,尸分别为棱。的中点，M,N分别为线段

。14,44上的动点（不包括端点），豆ENLFM,则线段"乂的长度的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

如图，正方体ABCD-AiBgDi的棱长为2.

（1）用空间向量方法证明：4G//平面/CD1；

（2）求直线8。与平面/CD1所成角的正弦值.

16.（本小题满分15分）

已知点尸（1,3）,点N（-3,-1）,直线过点（一2,4）且与直线PN垂直.

（1）求直线4的方程；

（2）求直线Z2:2X+V-5=0关于直线4的对称直线的方程.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.（本小题满分15分）

如图，已知平行六面体4BCD-

（1）若Z8=4,ZQ=3,ZH=3,/5Z£）=90°,/8ZH=60°,/ZUH=60°,求NC'的长度；

（2）若4B=4D=4A=2,NB4D=/B4A=/D4A'=60°,求NC与8。'所成角的余弦值.

18.（本小题满分17分）

如图，四边形48。》是直角梯形，4B〃CD,AB上BC,AB=BC=2CD=2,E为BC的中点、,尸是平

面48C。外一点，PA=1,PB=下,PE上BD,M是线段PB上一点、,三棱锥M—的体积是;.

P

（1）求证：上平面48cO；

（2）求二面角M——4的余弦值.

19.（本小题满分17分）

如图，在三棱台4BC—4用。］中，V48C是等边三角形，48=24用=4,Cq=2,侧棱CC1，平面

点。是棱的中点，点£是棱上的动点（不含端点8）.

(1)证明：平面AA^B1平面DCCi；

(2)求平面/BE与平面4CE所成角的余弦值的最小值.

高二上学期第一次月考试卷-数学

参考答案、提示及评分细则

1.C由题意知直线的斜率为G—4,所以tan30°=G—a=@，解得.故选C.

33

2.A由a=(―1,2,—l),b=(1,3,—2),得a+6=(0,5,-3),a-2b=(-3,-4,3),所以

,+B).k-2占)=-29.故选A.

C

3.C由/5>0且3C<0,可得48同号，B,c异号,所以4。也是异号.令X=O,得>二——>0；

B

C

令歹=0,得]=——>0,所以直线4r+助+。=0不经过第三象限.故选C.

A

1—►1—►

4.A因为尸£二—EC,所以PE=—PC,根据空间向量的运算法则，可得

23

—*—►—►—►1—►—►1/—►—>\2—>1—►2--1/—►—1—►1—►2—*

AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-\PA+AC\=-AP+-AC=-AP+-\AB+AD\=-AB+-AD+-AP

33、,3333、)333

—•1_1-2一..

，所以4£=—QH—b-\—c.故选A.

333

5

一(加+2)

vyi—2

5.B易知两直线的斜率存在，当4〃4时，贝卜解得加=±3,由/]〃/2推不出

2中

m-2

m=—3,充分性不成立；当m=-3时，可以推出4〃4，必要性成立.故选B.

AB-AClx(-l)+(-l)x(-2)+2xl1

6.D在,就夹角的余弦值为cos<AB,AC>=

阿.西+(_1)2+22.J(_l)2+(—2)2+12,

因此五瓦就夹角的正弦值为sin<Zg,^C>=—，故以4B,AC为邻边的平行四边形的面积为

2

________^

S二|刀口/卜吊〈方,衣〉=遥X逐X券=3百.故选D.

7.B将直线方程(1-3%)x+(l—机)歹+4+4机=0变形为(x+y+4)+(-3x-y+4)加=0,所以

x+y+4=0,x=4,

[-3x7+4=。解得|由此可得直线/恒过点8(4,-8),所以4到直线/的最远距离为|4B|,此

J=-8,

时直线I垂直于AB,A到直线/的最短距离为0,此时直线I经过点4.又

\AB\='(2-4)2+(—4+8(=2石，所以4到直线/的距离的取值范围是［。,2君］.故选B.

8.D在正三棱锥P—4BC中，PA=4B=4,所以

PA=PB=PC=4,/APB=ZAPC=NBPC=60°,又

AD=PD-PA=^PC-PA,PE=^{PA+PB)=^PA+^PB,所以

___.-.(1—.-(1—.1—1-,—.1—.—.1——1-.—.

ADPE=\-PC-PA--PA+-PB\=—PCPA+—PCPB——PAT2——PBPA

[2[22J4422

=—x4x4x—+—x4x4x--—x42--x4x4x—=-8.故选D.

4242222—

1+1

9.ACD直线X—y+l=0与直线X—y—l=o之间的距离d、回，故A正确；对

#+(-1)2

x-2y-4=o,令x=0,得歹=-2,令y=0得x=4,所以直线x—2y—4=0在两坐标轴上的截距之

和为2,故B错误；V=x的倾斜角为45。，绕原点逆时针旋转75°后，所得直线的倾斜角为120。，斜率为

—也,故C正确；设直线/的方程为以+勿+c=0,向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

后得a(x+3)+Z?(y—2)+。=0,即〃x+6y+c+3〃-2b=0,与++c=0是同一条直线，所以

2

3a—2b=0,所以左==—,故D正确.故选ACD.

b3

10.AC空间的一组向量｛扇可可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线

48,4。所在的平面是4BCD,而与平面4BC。相交，所以五不，加，"不共面，故这组向量可以

成为基底，A正确；选项B,瓦4能，面满足诙+4=丽，所以这三个向量共面，这组向量不可以

成为基底，B错误；选项C中，直线所在的平面是4BG2,而Cg与平面相交，所以

苑1，西，西不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为

AD^AC+CD^AC+BA1,所以N瓦，凤，就共面，这组

向量不可以成为基底，D错误.故选AC.

AiD、

11.ABD由平行六面体4SCD—知四边形48。。是平行四边形，连接助，当几=；时,

P,。分别是NC45的中点，所以尸也是8。的中点，所以尸0〃4。，故A正确；当力=；时，由

选项可知尸；。=一；；幺

A0=440+4又尸0=X43+3/40+2441(%,%2£区)，所以

x=O,y=——,z=—,x+y+z=Of故B正确；当％二§时,

反]=函，网=丽_丽=;可_回+而）=;可_[|^+呵

1/—►—>\2/—►—►、—►1—►1—►1—►

-^BA+BB}j--(BA-BCj-BC=-BBy--BA--BC,因为在棱长均为1的平行六面体

Z5CO—451GA中，AS】J.平面A5CO,/N5C=60°,所以|函|=|而|=|蔗|=1,

BB,-BA=Q,BB.-BC=Q,BA-BC=-,所以

2

1—►1—►1

-BB——BA——,BB]

31}33

1—►21—►—►1—►—►1

=潸\--BA-BBX--BC^BBX=~,设直线尸。与直线所成角为仇则

]兀7T71

-，又。e0,-,所以。=弓，即直线尸0与直线CG所成角为鼻，故C

乙NDD

错误；过。作。8〃交于〃，可证08,平面48c。，所以三棱锥0-6。尸的体积

%=；x；5CxCPxsin60°x"=；x；xlx(l—/l)xsin60°x/l=%(l—/Q4,,V3(1—A+VJ

!?[2J-48

当且仅当1—4=2,即4=工时取等号，故D正确.故选ABD.

2

12.2x—y=0或2x+y—4=0设/在x轴上的截距为a,贝心在〉轴上的截距为2a,若a=0,则/过

原点（0,0）,故/的方程为J=2x,即2x—y=0；若贝i]/的方程为±+上=1,所以

a2a

1r\

-+—=1,所以a=2,所以/的方程为±+2=1,即2x+y—4=0.综上所述，直线/的方程为

a2a24

2x—y=0,或2x+y—4=0.

13.2由题意得反=（0,2,0）,%=（—2,0,0）,所以无•*=（）,℃_LNC,VOC4的面积为

；|反|仔6=2,点。,4。都在平面l0歹上，点8（2,1,—3）到平面工。的距离3,所以三棱锥

O—4BC的体积为,x2x3=2.

3

14.拽以。为坐标原点，所在的直线分别为了轴、歹轴、z轴，建立空间直角坐标系，如

5

图所示.所以£（2,0,0）,尸（4,4,2）,设M（x,0,4）,N（4,y,4）,其中0<x<4,0〈歹<4,则

丽=（2/,4）,屈=（%—4,—4,2）.又函上前，所以

EN-FM=（2,y,4）ix-4,-4,2）=2x-4y=Q,所以x=2y,又0<x<4,0（歹<4,所以

0<”2,所以……+…—…叱…。[可+詈所以

MN.=逑，此时歹=号，即线段的长度的最小值为拽.

mm555

15.如图，以。为原点，所在直线分别为无轴，歹轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系。中Z,则N(2,0,0),C(0,2,0)，4(2,0,2),C；(0,2,2),5(2,2,0),^(0,0,2).

所以对=(-2,2,0),AC=(-2,2,0),疝=(-2,0,2),BD=(-2,-2,0).

n-AC=0,—2x+2y—0,

（1）证明：设平面的法向量为万=（x,y,z）,由《得《

n-AD、=0,[-2x+2z=0,

令工=1,得力=(1,1,1).

因为对•为=—2xl+2xl+0xl=0,所以前，为，

又平面acD所以平面

4G<z「4G//ACDX.

（2）解：由（1）,得平面/cn的法向量方

设直线与平面/C2所成角为。，则

I,\BD-n\|-2xl+（-2）xl+0xl|I网.

11

\BD\-\H\2V2XV3|3|3

所以直线BD与平面ACD,所成角的正弦值为逅.

3

3-（-1）

16.解：（1）因为左.=];二=1，直线4与直线PN垂直，所以直线的斜率为-1,

1一（一引

又直线4过点（一2,4）,所以直线4的方程为〉一4=一（》+2）,即x+y—2=0.

x+y-2=0,x=3,

(2)由＜解得《,故4,，2的交点坐标为（3,-1），

2x+y-5=0,〔y=—1,

因为2（0,5）在直线/2：2%+>一5=0上，设幺（0,5）关于4对称的点为4（根,〃），

n-51

---=1,

m

则

m〃+5

一十-2=0,

[22

所以直线关于直线4对称的直线经过点(3,-1),(-3,2),

代入两点式方程得上里=士之，即x+2y—1=0,

2+1-3-3

所以直线Z2:2x+v-5=0关于直线4的对称直线的方程为x+2y-l=0.

17.解:(1)AB-AD=0,AB-AA'=4x3xcos60°=6,ZD-2?=3X3XCOS60°=-,

2

因为而=方+而+五？，

所以=|2g|2+|2D|2+^AA'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA'=16+9+9+0+12+9=55,

所以西=屈.

(2)因为〃=方+而，初=砺一方=2?+而—方，

所以而初=(益+力).(/+诟-砌=相衣-网2+AD.Z?+|2D|2=2X2X2X

cos60°=4，

10分

22o2

因为「、而+而|而「+2Ag.2D+|2D|=2+2x2x2xcos60+2=12,所以

国=2技

因为幽2=|Z?+AD-2g|2=|Z?|2+|2D|2+|2S|2+2AA'-AD-2AA'-AB-2AD-AB

=3X22-2X2X2XCOS600=8.所以|初|=2后，

I/——Ai\AC-BD'\4网

设NC与BD'所成的角为夕，则cos©=|cos^C,5£),)|=面鬲=，

即NC与BD'所成角的余弦值为—.

6

18.(1)证明：如图，连接/E交于点尸，

因为AB=BC,BE=；BC=1=CD,ZABE=/BCD=90°,

所以7ABEABCD,所以ZBAE=NCBD,

因为NABD+NCBD=90°，所以/ABD+NBAE=90°，

所以//尸8=90°，即

又因为BDLPE,PEcAE=£，尸£,/£u平面PAE,

所以平面尸ZE,又尸4u平面尸4E,所以8。，尸4.

又因为「42+452=1+4=5=尸台2,所以尸

又BDcAB=B,BD,ABu平面ABCD,

所以24_1平面4BCZX

（2）解：以8为原点，845。所在直线分别为xj轴，平行于4P的直线为z轴，建立空间直角坐标系

如图所示，则8（0,0,0）,/（2,0,0）,。（0,2,0）,尸（2,0,1）,£（0,1,0）,。（1,2,0）,丽=（2,0,1）.

设就=4而（0”4,1）,则菽=（240"）,即点M（240"）,

则三棱锥M-BDE的体积V=—xSVBDEX2='X!X1X1X/1=LX=!,解得2,

332693

所以喉切

则EV=[g,-l,g],EZ)=(1,1,0),设平面DEM的法向量为=(x,y,z),

n-ED=x+j=0,

由<_——.42，令x=-2,得平面。瓦0的一个法向量万=(-2,2,7),

n-EM=-x-v+—z=0,

L3'3

易知，万=（0,0,1）为平面ZOE的一个法向量,

n-AP77V57

所以cos<n,AP>=HR百一与

由图可知二面角M-DE-A是锐二面角，故二面角M-DE-A的余弦值是工叵.

57

19.（1）证明：因为V/BC是等边三角形，点。是棱的中点，所以CDL4B,

又eq1平面ABC,ABu平面ABC,所以C。，48,

又CCXcCD=C,cq,COu平面DCQ,所以ZB_L平面DCQ,

又48u平面NN/R,所以平面平面。eq.

（2）解：在平面4BC中，过点C作。尸〃48,所以又平