广西柳州市2024-2025学年高二上学期期末柳鹿联考数学试题【含答案解析】

2026届高二上学期期末柳鹿联考数学科试卷（考试时间120分钟满分150分）注意：1．请把答案填写在答题卡上，否则答题无效．2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题．3．选择题，请用2B铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑．非选择题，请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果.【详解】由题意知，，所以.故选：A.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】应用复数乘法求复数，进而有，根据其对应点坐标确定所在象限.【详解】由，则，所以在复平面内z对应点的坐标为，位于第一象限.故选：A3.已知向量，，若，则（）A.或 B.C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直得到，从而得到方程，求出答案.【详解】，故，解得.故选：D4.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程化简为标准形式，求出的值，根据定义求准线方程即可.【详解】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为.故选：C5.高速公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：）并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是（）车速频数61218302410A.100辆车的车速的中位数小于B.100辆车中车速低于的车辆所占比例超过80%C.100辆车的车速的极差介于至之间D.100辆车的车速的平均值介于至之间【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中，中位数的估计值、频率计算、极差的估计值以及平均数的估计值计算公式，可得答案.【详解】对于A，，，则中位数位于，故A错误；对于B，100辆车中车速低于的车辆数量为，频率为，故B错误；对于C，100辆车的车速的极差小于等于，大于等于，故C正确；对于D，，故D错误故选：C.6.设是等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾，所以，故，则，所以，，因此，故选：B.7.将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的图像的一个对称中心点可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数解析式，进而可得对称中心.【详解】将函数图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再沿着轴向右平移个单位，可得，令，，解得，，即对称中心为，，当时，对称中心为，令得k均为整数解.故选：D.8.图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,则异面直线AE与所成角的正弦值为.故选:A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（）A. B.为偶函数C.为单调递增函数 D.的值域为【答案】ABD【解析】【分析】由幂函数定义可得，然后可得奇偶性，单调性，值域.【详解】对于A，因为幂函数，则，故A正确；对于B，由A，偶函数，故B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，则不为定义域上的单调递增函数，故C错误；对于D，注意到，则的值域为，故D正确.故选：ABD10.甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（）A.第二次由乙发球的概率为 B.甲先得一分的概率为C.前两次发球都由乙得分的概率为 D.前两次发球甲、乙各得1分的概率为【答案】BD【解析】【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解.【详解】A，若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，故第二次由乙发球的概率为，故A错误；B，甲先得一分概率为，故B正确；C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误；D，前两次发球都由甲得分的概率为，则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确．故选：BD11.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（）A.存在点，使得B.存在点，使得平面C.对于任意点Q，均不成立D.三棱锥的体积是定值【答案】BC【解析】【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，令，则点，，对于A，，若，则，必有，即与矛盾，A错误；对于B，，若平面，则，即，解得，则点是中点时，，而平面，因此平面，B正确；对于C，，即对任意，向量与都不垂直，C正确；对于D，，设平面的法向量，则，令，得，于是点到平面的距离，，不是常数，又点是三个定点，面积是定值，因此三棱锥的体积不是定值，D错误.故选：BC第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________.【答案】【解析】【分析】利用求出，再求出可得通项公式．【详解】由题意时，，又也满足上式，所以．故答案为：.13.圆关于直线对称，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由题设得直线ax−by+6=0a>0,b>0过圆心，进而得，再结合基本不等式常数“1”的代换方法计算即可求解..【详解】圆的圆心坐标为，因为圆关于直线ax−by+6=0a>0,b>0对称，则直线ax−by+6=0a>0,b>0过圆心，所以，则，所以，当且仅当3ba=3a故的最小值为.故答案为：.14.已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________.【答案】##【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结，根据图形分析可得是直角三角形，且，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连结，因为四边形是菱形，所以，所以，并且根据对称性可知是等边三角形，所以，，所以根据双曲线定义可知，即，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：一般求双曲线离心率的方法是：1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知、、分别为三个内角、、的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求、.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．【小问1详解】根据正弦定理，变为，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，则．【小问2详解】由，，得．由余弦定理，得，则，所以．则．16.已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）若，时，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，，，，所以的图象在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，则，当时，，即在上单调递增.当时，，与题意不符.当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.当时，取得最大值，且为.由题意可得，解得.即实数的取值范围为.17.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，联立①②可得，，所以，.【小问2详解】因，则，所以，，，上式下式得，因此，.18.如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求平面与平面夹角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线，根据菱形的特征得到线面垂直，即可得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，根据夹角的余弦公式可求得结果.【小问1详解】证明：连接，底面为菱形，且，为的中点，，为等边三角形，故，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面；【小问2详解】过作于点，由（1）得平面平面，因为平面平面，平面，平面，由，，得，，，又，，，根据，得，则，，以，分别为轴，轴，过作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，故，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，则，，所以平面与平面夹角的正切值为.19.在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．（1）求“椭圆”的方程；（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；（3）设，作出“椭圆”图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；（2）将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；（3）先求出椭圆方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，分别求出直线的方程，设，再次求出的关系，进而求出，从而可得出结论.【小问1详解】设“椭圆”上任意一点为，则，即，即，所以“椭圆”的方程为；【小问2详解】由方程，得，因为，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“椭圆”的范围为，，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于轴对称，将点代入得，，即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，所以“椭圆”关于轴，轴