五中数学招生试题及答案

五中数学招生试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[20]分）

1.若方程x²-4x+3=0的两个根为a和b，则a+b的值为：

A.1B.3C.4D.5

2.在直角坐标系中，点A(2,3)关于x轴的对称点坐标为：

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

3.若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=12，那么a²+b²+c²的值为：

A.36B.48C.60D.72

4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若底边BC的长为6，则腰AB的长为：

A.3B.4C.5D.6

5.若函数f(x)=2x+1在区间[1,3]上是增函数，那么函数f(x)在区间[0,2]上的单调性为：

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

二、填空题（每题[5]分，共[20]分）

1.若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=12，那么等差数列的公差d为_______。

2.在直角坐标系中，点P(3,4)到原点O的距离为_______。

3.若函数f(x)=x²-4x+3，则f(2)的值为_______。

4.在等腰三角形ABC中，若底边BC的长为8，腰AC的长为10，则腰AB的长为_______。

5.若函数f(x)=2x+1在区间[1,3]上是增函数，那么函数f(x)在区间[0,2]上的最小值为_______。

三、解答题（每题[20]分，共[60]分）

1.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

2.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

3.在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长为10，若∠BAC=30°，求腰AB的长。

4.已知函数f(x)=2x+1在区间[1,3]上是增函数，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。

四、解答题（每题[20]分，共[60]分）

5.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求前n项和Sn的表达式。

6.在直角坐标系中，直线y=2x+3与圆x²+y²=25相交于A、B两点，求线段AB的长度。

五、应用题（每题[20]分，共[40]分）

7.一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，从A地出发前往B地，行驶了2小时后，速度减为50公里/小时，求汽车从A地到B地的总行驶时间。

8.一根绳子长100米，将其剪成两段，第一段长度为第二段的3倍，求两段绳子的长度。

六、证明题（每题[20]分，共[40]分）

9.证明：对于任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

10.证明：在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠BAC=∠BCA。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：B

解析：根据韦达定理，方程x²-4x+3=0的两个根a和b满足a+b=-(-4)/1=4。

2.答案：A

解析：点A(2,3)关于x轴的对称点坐标为(2,-3)，因为x坐标不变，y坐标取相反数。

3.答案：D

解析：由等差数列的性质，a+b+c=3a+2d，代入a+b+c=12和a1=3，得3a+2d=12，a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2ac-2bc=12²-2*3*3=72。

4.答案：C

解析：在等腰三角形中，底边上的高将底边平分，因此AB=AC=BC/2=6/2=3。

5.答案：A

解析：由于函数f(x)=2x+1在区间[1,3]上是增函数，那么在区间[0,2]上也是增函数，最小值在x=0处取得，即f(0)=2*0+1=1。

二、填空题答案及解析：

1.答案：2

解析：等差数列的公差d=(b-a)/(n-1)=(12-3)/(3-1)=2。

2.答案：5

解析：点P(3,4)到原点O的距离d=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

3.答案：1

解析：代入x=2到函数f(x)=x²-4x+3，得f(2)=2²-4*2+3=4-8+3=-1。

4.答案：5

解析：在等腰三角形中，腰长等于底边长的一半，即AB=AC=BC/2=8/2=4。

5.答案：3

解析：由于函数f(x)=2x+1在区间[1,3]上是增函数，最小值在x=1处取得，即f(1)=2*1+1=3。

三、解答题答案及解析：

1.答案：

\[

\begin{cases}

x=3\\

y=1

\end{cases}

\]

解析：将第二个方程中的y用x表示，代入第一个方程中解得x=3，再代入y=x-1得y=1。

2.答案：x=1或x=3

解析：令f(x)=0，得x²-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

3.答案：AB=5√2

解析：在等腰三角形ABC中，作高AD，则AD=√(AC²-CD²)=√(10²-5²)=√(100-25)=√75=5√3，因此AB=2AD=10√3=5√2。

4.答案：最大值5，最小值3

解析：由于函数f(x)=2x+1在区间[0,2]上是增函数，最大值在x=2处取得，即f(2)=2*2+1=5，最小值在x=0处取得，即f(0)=2*0+1=1。

四、解答题答案及解析：

5.答案：Sn=n(3+(n-1)*2)/2=n(2n+1)

解析：等差数列的前n项和Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3和an=a1+(n-1)d，得Sn=n(3+(n-1)*2)/2=n(2n+1)。

6.答案：AB=2√6

解析：联立方程组y=2x+3和x²+y²=25，解得x=1或x=-3，代入y=2x+3得y=5或y=-3，因此A(1,5)和B(-3,-3)，AB=√((1-(-3))²+(5-(-3))²)=√(4²+8²)=√(16+64)=√80=2√20=2√6。

五、应用题答案及解析：

7.答案：5小时

解析：设汽车从A地到B地的总行驶时间为t小时，则根据等距离平均速度公式，60*2+50*(t-2)=100，解得t=5。

8.答案：第一段75米，第二段25米

解析：设第二段绳子长度为x米，则第一段绳子长度为3x米，根据题意得3x+x=100，解得x=25，因此第一段绳子长度为3*25=75米。

六、证明题答案及解析：

9.答案：证明过程如下：

\[

\begin{align*}

(a+b)²&=a²+2ab+b²\\

&=a²+2ab+b²+2ab-2ab\\

&=(a²+2ab+b²)+(2ab-2ab)\\

&=(a+b)²+0\\

&=(a+b)²

\end{align*}

\]

解析：根据完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²，可得(a+b)²=a²+2ab+b²。

10.答案：证明过程如下：

\[

\begin{align*}

\text{作}AD\perpBC\text{于}D，\text{则}AD=CD=AC\\

\text{在}\triangleADC\text{和}\triangleBDC\text{中}\\

\text{AD=AD}\\

\text{CD=CD}\\

\text{AC=AC}\\