广东省肇庆市高中数学 第二十课 平面向量共线的坐标表示教学设计 新人教A版必修4

广东省肇庆市高中数学第二十课平面向量共线的坐标表示教学设计新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课旨在帮助学生掌握平面向量共线的坐标表示方法，通过实例分析和练习，提高学生运用坐标表示向量共线问题的能力，巩固向量基本概念，为后续学习向量运算打下坚实基础。核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过向量共线问题的坐标表示，使学生理解向量与坐标的关系，提升空间想象和逻辑推理能力。同时，强化数学建模意识，使学生能够将实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力。教学难点与重点1.教学重点，

①理解平面向量共线的坐标表示方法，包括共线向量的坐标关系和比例系数的概念。

②掌握如何利用向量坐标表示来判断两个向量是否共线，包括正比例和负比例关系。

2.教学难点，

①将实际问题中的向量关系转化为坐标形式，需要较强的空间想象和抽象思维能力。

②在解决具体问题时，正确处理向量共线中的比例系数问题，避免错误的理解和应用。教学资源-硬件资源：多媒体教学设备（电脑、投影仪）、黑板、粉笔

-课程平台：学校内部教学平台、网络教学资源库

-信息化资源：向量共线概念讲解视频、向量共线坐标表示的动画演示

-教学手段：实物模型、多媒体课件、互动练习软件教学过程一、导入新课

（1）同学们，我们之前学习了向量的基本概念和坐标表示，今天我们来探讨一个有趣的问题——平面向量共线的坐标表示。请大家思考，什么是向量共线？向量共线有什么特点？

（2）学生思考并回答，老师总结：向量共线是指两个向量在同一直线上，具有相同的方向或相反的方向。向量共线具有方向相同或相反、起点相同、终点在同一直线上的特点。

二、新课讲授

（1）首先，我们来看一个例子：已知向量$\vec{a}=(2,4)$和向量$\vec{b}=(4,8)$，判断这两个向量是否共线。

（2）学生独立完成判断，老师引导学生分析：我们可以通过比较两个向量的坐标来判断它们是否共线。如果两个向量的坐标成比例，即$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$，那么这两个向量共线。

（3）接下来，我们讨论一下向量共线的坐标表示方法。设向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，向量$\vec{b}=(x_2,y_2)$，如果向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线，那么存在一个实数$k$，使得$x_1=kx_2$和$y_1=ky_2$。

（4）学生通过举例，进一步理解向量共线的坐标表示方法。老师强调：向量共线的坐标表示方法可以简化共线问题的解决过程，提高解题效率。

三、课堂练习

（1）请同学们完成以下练习题：

①判断以下向量是否共线：$\vec{a}=(3,6)$，$\vec{b}=(9,18)$。

②已知向量$\vec{a}=(2,-4)$，向量$\vec{b}=(4,8)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

（2）学生独立完成练习，老师巡视指导，针对学生易错点进行讲解。

四、课堂讨论

（1）同学们，今天我们学习了向量共线的坐标表示方法，这种方法有什么实际应用呢？

（2）学生思考并回答，老师总结：向量共线的坐标表示方法在解决实际问题中具有重要意义，如求解几何图形的相似关系、求解物理问题中的位移等。

五、课堂小结

（1）今天我们学习了平面向量共线的坐标表示方法，包括共线向量的坐标关系和比例系数的概念。希望大家能够熟练掌握这一方法，并在今后的学习中灵活运用。

（2）同学们，课后请完成以下作业：

①判断以下向量是否共线：$\vec{a}=(5,-10)$，$\vec{b}=(-10,20)$。

②已知向量$\vec{a}=(1,-2)$，向量$\vec{b}=(-2,4)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

六、布置作业

（1）同学们，今天我们学习了平面向量共线的坐标表示方法，希望大家通过课后作业巩固所学知识，提高解题能力。

（2）课后作业：

①判断以下向量是否共线：$\vec{a}=(5,-10)$，$\vec{b}=(-10,20)$。

②已知向量$\vec{a}=(1,-2)$，向量$\vec{b}=(-2,4)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握平面向量共线的坐标表示方法，理解共线向量的坐标关系和比例系数的概念，能够正确判断两个向量是否共线。

2.能力提升：学生在实际操作中，能够运用向量共线的坐标表示方法解决实际问题，如判断几何图形的相似关系、求解物理问题中的位移等，提高了解决实际问题的能力。

3.思维发展：本节课的学习过程中，学生需要运用空间想象和抽象思维能力，将实际问题转化为数学模型，这有助于培养学生的逻辑推理能力和数学建模意识。

4.学习兴趣：通过实例分析和课堂讨论，学生对向量共线的坐标表示方法产生了浓厚的兴趣，激发了学生学习数学的积极性。

5.团队合作：在课堂练习和讨论环节，学生需要与他人合作，共同解决问题，这有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力。

6.自主学习：学生在课后能够独立完成作业，巩固所学知识，这体现了学生在自主学习方面的进步。

7.应用能力：学生在实际生活中，能够将向量共线的坐标表示方法应用于解决实际问题，如测量距离、计算面积等，提高了学生的实用技能。

8.评价能力：学生在完成课后作业和课堂练习后，能够对自己的学习效果进行自我评价，这有助于学生认识自己的不足，不断调整学习方法。课堂1.课堂评价：

-提问环节：在课堂讲解过程中，通过随机提问或针对关键知识点的设计性问题，检验学生对平面向量共线坐标表示的理解程度。例如，提问：“如何判断两个向量是否共线？请举例说明。”通过学生的回答，可以了解他们对共线向量概念的应用能力。

-观察学生参与度：注意学生在课堂上的参与程度，包括是否积极参与讨论、是否认真听讲、是否能跟上教学进度等。观察学生的表情和动作，评估他们对知识的接受情况。

-小组合作练习：在小组合作环节，观察学生之间的互动和合作效果，以及他们在解决实际问题时的表现。例如，在解决一个几何问题时，观察学生是否能正确运用向量共线的坐标表示方法。

-当堂测试：设计简短的小测验，让学生在课后立即完成，以评估他们对本节课知识点的掌握程度。测试题目应包括选择题、填空题和简答题，以便全面了解学生的知识水平。

2.课堂反馈：

-及时反馈：对于学生在提问环节的回答，及时给予正面或建设性的反馈，鼓励他们继续努力，并指出需要改进的地方。

-小组讨论反馈：对于小组合作练习，课后进行个别指导，针对每个学生的表现给出具体的评价和建议。

-当堂测试反馈：对于当堂测试的结果，及时公布正确答案和解析，帮助学生纠正错误，加深对知识点的理解。

3.作业评价：

-作业批改：对学生的作业进行详细批改，重点关注学生是否能够正确运用向量共线的坐标表示方法解决问题。

-作业点评：在作业批改的基础上，给出详细的点评，指出学生的优点和需要改进的地方。

-作业反馈：通过作业反馈，让学生了解自己的学习进度和存在的问题，鼓励他们在后续的学习中加以改进。

-定期回顾：定期回顾学生的作业，分析学生的学习趋势，及时调整教学策略，确保每个学生都能够跟上教学进度。

4.综合评价：

-学生自评：鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现，包括知识掌握、能力提升、学习方法等方面。

-同伴互评：通过同伴互评，让学生从他人的角度看待自己的学习，发现自身的不足，同时学习他人的优点。

-教师综合评价：教师根据学生在课堂表现、作业完成情况、自我评价和同伴互评的结果，进行综合评价，为学生提供全面的学习反馈。板书设计①本文重点知识点：

-向量共线的定义

-向量共线的坐标表示方法

-比例系数在向量共线中的作用

②关键词：

-共线向量

-坐标表示

-比例系数

-同方向、相反方向

③重点句子：

-“两个向量共线，意味着它们在同一直线上，具有相同的方向或相反的方向。”

-“如果向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和向量$\vec{b}=(x_2,y_2)$共线，那么存在实数$k$，使得$x_1=kx_2$和$y_1=ky_2$。”

-“比例系数$k$的值决定了向量共线的方向关系，当$k>0$时，向量同方向；当$k<0$时，向量相反方向。”典型例题讲解1.例题：

已知向量$\vec{a}=(2,6)$和向量$\vec{b}=(-4,-12)$，判断向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$是否共线。

解答：

我们可以通过比较两个向量的坐标来判断它们是否共线。计算比例系数：

$$\frac{2}{-4}=\frac{6}{-12}=-\frac{1}{2}$$

由于比例系数相等，且不为零，因此向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

2.例题：

已知向量$\vec{a}=(3,-6)$和向量$\vec{b}=(9,18)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

解答：

根据向量共线的坐标表示方法，我们有：

$$\frac{3}{9}=\frac{-6}{18}$$

解得：

$$k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

因此，当$k=\frac{1}{3}$时，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

3.例题：

已知向量$\vec{a}=(4,8)$和向量$\vec{b}=(-8,-16)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

解答：

根据向量共线的坐标表示方法，我们有：

$$\frac{4}{-8}=\frac{8}{-16}=-\frac{1}{2}$$

解得：

$$k=-\frac{1}{2}$$

因此，当$k=-\frac{1}{2}$时，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

4.例题：

已知向量$\vec{a}=(5,10)$和向量$\vec{b}=(10,20)$，求实数$k$，使得向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线。

解答：

根据向量共线的坐标表示方法，我们有：

$$\frac{5}{10}=\frac{10}{20}=0.5$$

解得：

$$k=0.5$$

因此，当$k