2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第3章-3.2离散型随机变量及其分布列-3.2.3离散型随机变量的数学期望3.2.4离散型随机变量的方差

第3章3.2.3

离散型随机变量的数学期望3.2.4

离散型随机变量的方差3.2离散型随机变量及其分布列学习目标1.通过实例，理解离散型随机变量的数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望，并能解决一些实际问题.2.掌握离散型随机变量的方差的概念，能计算简单随机变量的方差及标准差，并能解决一些实际问题.3.掌握几种特殊情形的数学期望、方差的计算公式，并能运用它们解决问题.核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.学习目标1.离散型随机变量的均值思考

已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数.我们可求得X的分布列如下表：情境与问题012现在我们关心，取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？新知学习

情境与问题概括总结一般地，若离散型随机变量X的分布列为

情境与问题(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.由定义可知离散型随机变量的均值与它的本身有相同的单位.(2)随机变量的均值与样本平均值的关系:

随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平.典例解析

典例剖析0123尝试与发现

…………

典例解析

【解题提示】对于（1），可以根据分布列的性质，求出m的值，再用均值定义求解；对于（2），可直接运用均值性质求解，也可以先求出Y的分布列，再运用均值定义式求解.-2-1012典例解析

-7-5-3-112.离散型随机变量的方差思考

均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢？情境与问题

新知学习

情境与问题9501000105070010001300

概括总结设离散型随机变量X的分布列为

概念解析

123456

尝试与发现

…………设a，b都是实数,且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？

010205060

3.几个常用分布离散型随机变量的期望与方差

名词数学期望方差定义性质数学意义概念解析典例解析例甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如下表：

012012试比较这两名工人谁的技术水平更高.跟踪训练

甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,甲保护区:乙保护区:试评定这两个保护区的管理水平.X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理水平比甲高.4.几个常用分布的的期望与方差

01A

例

某人投篮每次投中的概率均为0.6，且各次投篮互不影响.现该人投篮3次，X表示投中的次数，求X的分布列及期望、方差.【解题提示】此题可以先求出分布列，借助期望及方差的定义式求解，也可以直接运用二项分布期望和方差的公式求解.

01230.0640.2880.4320.216

【解题提示】当抽取1个球时，ξ1的取值为1，2，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取2个球时，ξ2的取值为1，2，3，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.典例剖析

【方法技巧】实际问题的均值求解步骤（1）根据题意，确定随机变量的所有可能取值，求出对应概率，得到正确的分布列.（2）根据离散型随机变量的均值定义式求得结果.

跟踪训练

-101

AD-101

-101-101

【方法技巧】与随机变量均值与方差相关的参数的求值问题：主要以均值、方差及相关性质为基础，以方程形式呈现，但要注意题中对参数范围的约束.跟踪训练

-2-1012153 利用公式计算几个常用分布的期望、方差例3

为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：

运动鞋款式ABCDE回访顾客（人数）700350300250400满意度0.30.50.70.50.6

010.70.3010.50.5

跟踪训练

01234

跟踪训练1-5在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量ξ为取得红球的个数.（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望E（ξ）和方差D（ξ）.

ξ012P

01234

跟踪训练

0120.5x

DB

【解题提示】此题重点是对题意理解正确.求出概率及分布列，即可根据均值的定义式，求出数学期望，分清ξ的可能取值及其意义，借助独立事件和互斥事件的概率运算公式正确求出概率是关键.典例剖析

02468【方法技巧】此类问题考查均值，难度不大，主要难在实际背景中如何提炼区分随机变量的取值及意义，正确求出每个概率，并及时检验分布列的正确性.跟踪训练2-1

自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在［30，50）内且未使用自由购的概率.（2）从被抽取的年龄在［50，70］内使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在［50，60）内的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.

类别20以下［20，30）［30，40）［40，50）［50，60）［60，70］70以上使用人数312176420未使用人数003143630

123

14151617181920频数10201616151310【解题提示】（1）根据销量及价格以分段函数形式呈现函数解析式.（2）分别求出购进16枝及17枝的两个利润的分布列，进而求出其对应的均值及方差.根据大小关系进行判断.

556575850.10.20.160.54

【方法技巧】借助均值、方差进行生活中的最优化方案的选择，先看均值.如果相差较大可直