高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十四　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)含答案五十四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)sin70°cos25°-sin20°sin25°的值为()A.-1 B.-22 C.22 D【解析】选C.sin70°cos25°-sin20°sin25°=sin70°cos25°-cos70°sin25°=sin(70°-25°)=sin45°=222.(5分)(多选)cosα-3sinα化简的结果可以是()A.12cos(π6-α) B.2cos(π3C.12sin(π3-α) D.2sin(π6【解析】选BD.cosα-3sinα=2(12cosα-32sinα)=2(cosαcosπ3-sinαsinπ3)=2cos(π3+α)=2sin(3.(5分)已知cos(α-β)=35,sinβ=-513,且α∈(0,π2),β∈(-πA.3365 B.5665 C.-3365 D【解析】选B.因为0<α<π2,-π2<所以0<α-β<π.又cos(α-β)=35,所以sin(α-β)=4因为-π2<β<0,sinβ=-513,所以cosβ=所以cosα=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=35×1213-45×(-54.(5分)已知函数f(x)=3sinax+cosax的最小正周期是3,则实数a的值为()A.π3 B.2π3 C.-2π3 D【解析】选D.函数f(x)=3sinax+cosax=2sin(ax+π6),函数的最小正周期是3,可得2π|a|=3,解得5.(5分)(多选)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-45),将角α的终边逆时针旋转90°得到角A.tanα=4B.cosβ=-3C.sin(α-β)=-1D.sin(β+π4)=-【解析】选AC.由题意得sinα=-45,cosα=-35,β=α+90°,则tanα=-4cosβ=cos(α+90°)=-sinα=45α-β=-90°,则sin(α-β)=sin(-90°)=-1,故C正确;sinβ=cosα=-35,则sin(β+π4)=22(sinβ+cosβ)=22×(-35+45)=26.(5分)化简:32cos15°-12cos75°=【解析】32cos15°-12cos75°=sin60°cos15°-cos60°sin15°=sin(60°-15°)=sin45°=答案:27.(5分)锐角△ABC中,已知cosA=55,sinB=31010,则角C【解析】由△ABC为锐角三角形,又cosA=55,sinB=3则sinA=255,cosB=则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=255×1010+55×31010=22,又C∈答案:π8.(5分)函数y=sin2x3+cos(2x3+【解析】由题意得,y=sin2x3+cos2x3cosπ6-sin2x3sinπ6=coscos(2x3-π6),T=2π答案:3π9.(10分)已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=45,β是第三象限的角,求sin(β+π4【解析】因为sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=45所以sin(-β)=-sinβ=45,即sinβ=-4因为β是第三象限的角,所以cosβ=-1-(-所以sin(β+π4)=sinβcosπ4+cosβsinπ4=-45×22-310.(10分)化简下列各式:(1)sin(x+π3)+2sin(x-π3)-3cos(2π3【解析】(1)原式=sinxcosπ3+cosxsinπ3+2sinxcosπ3-2cosxsinπ3-3cos2π3cosx-3sin2π3sinx=12sinx+32cosx+sinx-3cosx+32cosx-32sinx=(12+1-32(2)sin(2α+β)【解析】(2)原式=sin=sin=sin[(α+【综合应用练】11.(5分)已知α为钝角,且sin(α+π12)=13,则cos(α+A.22+36 B.22-36 C【解析】选C.因为α为钝角,且sin(α+π12)=1所以cos(α+π12)=-2所以cos(α+5π12)=cos[(α+π12)+=cos(α+π12)cosπ3-sin(α+π=(-223)×12-13×12.(5分)设α∈(0,π2),β∈(0,π2)且tanα=A.2α-β=0 B.2α+β=πC.2α+β=0 D.2α-β=π【解析】选D.因为tanα=1+sinβcosβ可得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα,即sin(α-β)=cosα,又因为α∈(0,π2),β∈(0,π可得α-β=π2-α,即2α-β=π13.(5分)(2024·长沙高一检测)函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-πA.32 B.1 C.3 D.【解析】选C.f(x)=sinxcosπ6-cosxsinπ6+cosxcosπ3+sinxsinπ3=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx.因为-1≤sinx≤1,所以-3≤f(x)≤14.(5分)形如abcd的式子叫做行列式,其运算法则为abc【解析】cosπ3sinsinπ3sinπ6=cos(π3+π6答案:015.(10分)已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tanA2+2cosA2【解析】任意交换两个角的位置,y的值不变.证明如下:因为A,B,C是△ABC的三个内角,A+B+C=π,所以A2=π2-y=tanA2+=tanA2+=tanA2+=tanA2+tanB2+tan因此任意交换两个角的位置,y的值不变.【创新拓展练】16.(5分)“在△ABC中,cosAcosB=+sinAsinB”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角,则实数a,b,c的大小关系是.

【解析】由题意得,横线处的实数等于cos(A+B),即cos(π-C),故当C是直角时,a=cos(A+B)=cosπ2=0;当C是锐角时,-1<b=cos(A+B)<0;当C是钝角时,0<c=cos(A+B)<1,故b<a<答案:b<a<c温馨提示：五十五两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)与1-A.tan66° B.tan24°C.tan42° D.tan21°【解析】选B.原式=tan452.(5分)已知θ为第二象限角,且sinθ=1213,则tan(θ+πA.717 B.177 C.-717 D【解析】选C.由θ为第二象限角且sinθ=1213,得cosθ=-1-sin2θ=-513所以tan(θ+π4)=tanθ+tan3.(5分)(2024·杭州高一检测)若tan(α-5π12)=12,则tan(2π3A.3 B.-3 C.13 D.-【解析】选C.因为tan(α-5π12)=12,所以tan(5π12-α)=-tan(α-5π12)=-12,所以tan(2π3-α)=tan(5π12-α+π4.(5分)若tan28°·tan32°=m,则tan28°+tan32°等于()A.3m B.3(1-m) C.3(m-1) D.3(m+1)【解析】选B.因为28°+32°=60°,所以tan60°=tan(28°+32°)=tan28°所以tan28°+tan32°=3(1-m).5.(5分)已知sinα=55且α是锐角,tanβ=-3,且β为钝角,则α+βA.π4 B.π3 C.2π3 【解析】选D.sinα=55且α是锐角,可得cosα=255,tanα又tanβ=-3,且β为钝角,故α+β∈(π2,3π2tan(α+β)=tanα+tanβ1α+β的值为3π46.(5分)(多选)已知tanα=1+m,tanβ=m,且α+β=π4,则实数mA.-1 B.0 C.-3 D.1【解析】选BC.因为α+β=π4所以tan(α+β)=tanα+tanβ又tanα=1+m,tanβ=m,所以1+m+m1-m7.(5分)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=【解析】因为2tanθ-tan(θ+π4所以2tanθ-tanθ即2tanθ-2tan2θ-tanθ-1=7-7tanθ,即2tan2θ-8tanθ+8=0,即2(tanθ-2)2=0,解得tanθ=2.答案:28.(5分)已知0<α<π2,sinα=45,tan(α-β)=-13,则tanβ=;sin【解析】因为0<α<π2,sinα=4所以cosα=35,所以tanα=4又tan(α-β)=-13,tanβ=tan[α-(α-β=tanα-tansin(β=sinβsinβ-cos答案:339.(10分)已知α,β满足α+β=π4,求(1+tanα)(1+tanβ)的值【解析】因为α+β=π4所以tan(α+β)=tanπ4又tan(α+β)=tanα得tanα+tanβ=1-tanαtanβ,所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2.10.(10分)已知tan(π4+α)=2,tanβ=1(1)求tanα的值;【解析】(1)由题意可得tan(π4+α)=1+tanα1-tan(2)求sin(α【解析】(2)sin=sin=sin=tanα+tanβtanα【综合应用练】11.(5分)(2024·安徽名校高一检测)在△ABC中,已知cosA=45,tanB=12,则tan(A-A.12 B.-12 C.-112 【解析】选C.由已知可得sinA>0.又cosA=45,所以sinA=35,所以tanA=34.所以tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tantan(A-C)=tanA-tanC1+tan12.(5分)已知sinα+cosαsinα-cosα=3,tan(α-【解析】由条件知sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan(β-α)-答案:413.(5分)设a,b是非零实数,且满足asinπ5-bcosπ【解析】因为asinπ5所以tan11π30=tanπ5-ba1+ba所以11π30+kπ=π5-θ,解得θ=-π6+kπ,所以tanθ=tan(-π6+kπ)=-33,即ba答案:-314.(10分)是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=2π3,(2)tanα2tanβ=2-3同时成立?若存在,求出锐角α,β【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=2π3,(2)tanα2tanβ=2-3由(1)得α2+β=π所以tan(α2+β)=tanα又tanα2tanβ=2-3所以tanα2+tanβ=3-3因此tanα2,tanβ可以看成方程x2-(3-3)x+2-3=0的两个根,设方程的两根为x1,x2,解得x1=1,x2=2-3若tanα2=1,则α=π2,这与所以tanα2=2-3,tanβ所以α=π6,β=π所以存在满足条件的α,β,α=π6,β=π15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.【解析】如图,作AE⊥CD于点E.因为AB∥CD,AB=9m,CD=15m,所以DE=9m,EC=6m.设AE=x,∠CAE=α.因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=6x,tan(4