高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语含答案第一章集合与常用逻辑用语大衔接·进阶之梯本章内容属于“预备知识”,定位是帮助学生完成初高中数学学习的过渡.在初中,学生接触的集合与常用逻辑用语知识较为零散,在本章,学生首次系统学习表述数学内容的语言和工具.比较内容学习要求集合初中数集、不等式的解集、点集等初步接触集合高中集合的含义、关系与运算了解集合的含义,理解集合之间的关系,掌握集合的运算常用逻辑用语初中命题了解命题的概念高中充分条件、必要条件与量词理解定理、定义与充分条件、必要条件、充要条件的关系,理解量词的意义大概念·串珠成链大策略·好学深思1.“两种”关系:元素与集合的关系、集合与集合的关系;2.“两种”表示:集合的表示方法:列举法、描述法;3.“三种”运算:集合的运算:交集、并集、补集;4.“四种”条件:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件;5.“五种”方法:(1)“实例引领”:研究集合的概念时,要结合贴近生活的实例,以加深理解;(2)“数形结合”:研究集合的关系与运算时,要紧密结合Venn图与数轴,加强直观理解;(3)“类比联想”:研究集合主要类比“数”,遵循数的研究途径;(4)“选取典例”:研究充分条件、必要条件与量词时,要结合初中数学上的典型命题,在熟悉问题中学习新知识;(5)“重视实践”:学习中,要创设使用数学语言的情境与机会,在实践中得到有效的锻炼.阶段提升课题型一集合间的基本关系1.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围.2.掌握集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.【典例1】(1)已知集合A={x∈R|x2-2x=0},B={x∈N|-1<x<4},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.由x2-2x=0得x=0或x=2,所以A={0,2}.由题意知B={0,1,2,3},所以满足条件的C为{0,2},{0,1,2},{0,2,3},{0,1,2,3}.(2)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m},且B⊆A,则实数m的取值范围是.

【解析】若m≤1,则B=⌀,满足B⊆A.若m>1,则1<m≤4.综上可知,m≤4.答案:m【总结升华】处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,要分类讨论,讨论时要不重不漏.题型二集合的运算1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题,解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.2.掌握集合的概念与运算,重点提升逻辑推理和数学运算素养.【典例2】(1)已知集合U,A,B之间的关系如图所示,则(∁UB)∩A=()A.3 B.{0,1,2,4,7,8}C.1,2 D【解析】选C.由题图所示,U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6},所以∁UB={0,1,2,4,7,8},(∁UB)∩A={1,2}.(2)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.①求A∪B,(∁RA)∩B;②若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【解析】①因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁RA={x|x<2或x≥7},则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.②因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是{a|a>2}.【总结升华】集合运算问题的关注点(1)运算口诀:交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集.(2)数形结合法:利用Venn图或数轴解决集合的运算问题,能将复杂问题直观化.注意:要注意端点值是否符合题意,以免增解或漏解.题型三充分条件与必要条件1.若p⇒q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.2.掌握充要条件的判断和证明,提升逻辑推理和数学运算素养.【典例3】(1)设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是()A.a<6 B.a<4 C.a2<25 D.1a>【解析】选A.因为a<5⇒a<6,a<6a<5,所以a<6是a<5成立的一个必要不充分条件.(2)设命题p:实数x满足a<x<3a,其中a>0,命题q:实数x满足2<x≤3.①若a=1,且p,q均为真命题,求实数x的取值范围;②若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】①由a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3.又q为真命题时,实数x的取值范围是2<x≤3,所以,当p,q均为真命题时,有1<x<3,所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}.②¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p⇒¬q且¬q¬p.设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},则A⫋B.所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}.【总结升华】充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时,要尽可能用图示、数轴等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度.题型四全称量词与存在量词1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后对结论进行否定.2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等,培养逻辑推理和数学运算素养.【典例4】(1)若命题p:∃x∈R,x>1,则¬p:.

【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题,又x>1中x的取值范围是{x|x>1},其补集为{x|x≤1},所以¬p为∀x∈R,x≤1或x<0.答案:∀x∈R,x≤1或x<0(2)已知命题p:∃x∈R,m|x|+1≤0,若¬p为假命题,则实数m的取值范围是.

【解析】若¬p为假命题,则p为真命题.当m≥0时,m|x|+1≥1>0,p为假命题;当m<0时,取x=2m,则m|x|+1=m|2m|+1=-2+1=-1<0,p为真命题.因此若¬p为假命题,则实数m的取值范围是{m|m答案:{m|m<0}【总结升华】全称量词与存在量词的关注点1.全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点:一是改量词,二是否结论.2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为集合问题解决.【真题1】(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM=()A.{2,3,5} B.{1,3,4}C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5}【解析】选A.因为全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以∁UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5}.溯源(教材P13练习T1)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩(∁UB),(∁UA)∩(∁UB).【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},所以∁UA={1,3,6,7},∁UB={2,4,6},所以A∩(∁UB)={2,4},(∁UA)∩(∁UB)={6}.[点评]教材练习题考查集合的补集与交集运算,真题考查补集与并集运算,二者几乎相同,真题是教材练习题的考场再现.【真题2】(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=()A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN【解析】选A.由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},A正确;∁UM={x|x≥1},则N∪∁UM={x|x>-1},B错误;M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},C错误;∁UN={x|x≤-1或x≥2},则M∪∁UN={x|x<1或x≥2},D错误.溯源(教材P14习题1.3T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB).【解析】由题意A⊆B,则A∪B=B={x|2<x<10},A∩B=A={x|3≤x<7},∁RA={x|x<3或x≥7},∁RB={x|x≤2或x≥10},所以∁R(A∪B)=∁RB={x|x≤2或x≥10},∁R(A∩B)=∁RA={x|x<3或x≥7},(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10},A∪(∁RB)={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}.[点评]教材习题与真题都考查无限数集的混合运算,真题与教材习题的条件与结论互相转化,是教材习题的完美变式.【真题3】(2023·全国Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=()A.2 B.1 C.23 【解析】选B.因为A⊆B,则有:若a-2=0,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;若2a-2=0,解得a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意;综上所述:a=1.溯源(教材P35复习参考题1T9)已