高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.1.1　任意角含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.1.1任意角含答案5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【学习目标】1.理解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的角.【素养达成】数学抽象数学抽象数学运算一、任意角1.角的定义:一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.2.角的分类:项目分类定义图示任意角正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角3.相反角:将射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角,角α的相反角记为-α.二、角的加减法1.加法:将角α的终边旋转角β,终边对应的角是α+β.2.减法:α-β=α+(-β).版本交融(人BP4尝试与发现)角的概念推广之后,利用转角给出60°+90°与90°-30°的几何意义.提示:①如图(1)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°,OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°=150°.②如图(2)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°=60°.三、象限角与终边相同的角1.象限角(1)条件:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合;(2)结论:角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角;(3)注意:若角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限.版本交融(人B必修3P7想一想)如果α是第二象限角,则α2提示:第一或者第三象限角.2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.教材挖掘(P169)你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗?提示:在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的变化规律,从而利用任意角、直角坐标系刻画周期性的变化现象.版本交融(北师大版P7思考交流)已知角α为锐角,那么角α的终边与角α+180°,α-180°,180°-α终边的几何关系分别是什么?如果角α是任意角呢?请画图说明.提示:若α是锐角.α与α+180°的终边互为反向延长线.α与α-180°的终边互为反向延长线.α与180°-α的终边关于y轴对称.α是任意角与α是锐角的规律一样.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等.(×)提示:0°和360°是终边相同的角,但两角不相等,故错误.(2)-30°是第四象限角.(√)提示:由象限角的定义可以判断其正确.(3)第二象限角是钝角.(×)提示:460°是第二象限角,但不是钝角,故错误.(4)225°是第三象限角.(√)提示:225°=180°+45°,在第三象限,故正确.类型一终边相同的角(数学运算)【典例1】将α的终边逆时针旋转30°,与120°的终边重合,则与α终边相同的角β的集合为()A.{β|β=k×180°+90°,k∈Z}B.{β|β=k×360°+90°,k∈Z}C.{β|β=k×180°+150°,k∈Z}D.{β|β=k×360°+150°,k∈Z}【解析】选B.由题设α+30°=360°k+120°,则α=360°k+90°且k∈Z,所以与α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+90°,k∈Z}.【总结升华】终边相同的角的表示(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式;(2)终边相同的角之间相差360°的整数倍.【即学即练】如果角α与角x+45°具有相同的终边,角β与角x-45°具有相同的终边,那么α与β之间的关系是()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)【解析】选D.利用终边相同的角的关系,得α=n·360°+x+45°(n∈Z),β=m·360°+x-45°(m∈Z).则α+β=(m+n)·360°+2x(n∈Z,m∈Z)与x有关,故A,C错误;又α-β=(n-m)360°+90°(n∈Z,m∈Z).因为m,n是整数,所以n-m也是整数,用k(k∈Z)表示,所以α-β=k·360°+90°(k∈Z).【补偿训练】在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大的负角;【解析】(1)因为10030°=27×360°+310°,所以与10030°终边相同的角为β=k·360°+310°,k∈Z,当k=-1时,β=-360°+310°=-50°,即最大的负角为-50°.(2)最小的正角;【解析】(2)当k=0时,β=310°,即最小的正角为310°.(3)360°~720°的角.【解析】(3)当k=1时,β=360°+310°=670°,即在360°~720°的角为670°.类型二终边在已知直线上的角(数学运算)【典例2】写出终边在如图所示直线上的角的集合.【解析】(1)由题图易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z},={β|β=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z}={β|β=-45°+n·180°,n∈Z};【解析】(2)同理可得终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z},终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}={β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z},所以终边在直线y=x上和在直线y=-x上的角的集合为S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+n·90°,n∈Z}.【总结升华】终边在已知直线上角的表示方法(1)终边在一条直线上的角的集合是终边分别在以原点为端点,构成直线的两条射线上的角的并集;(2)终边在一条直线上的角的差为k·180°,k∈Z.【即学即练】终边落在直线y=3x上的角α的集合为()A.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}B.{α|α=k·180°+60°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+60°,k∈Z}【解析】选B.易得y=3x与x轴正半轴夹角为60°,当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}.类型三象限角与区域角(数学运算)角度1确定角所在象限【典例3】(多选)(2024·吉安高一检测)已知下列各角:①-120°;②180°;③-240°;④495°.其中是第二象限角的是()A.① B.② C.③ D.④【解析】选CD.对于①,-120°=-360°+240°,而240°是第三象限角,①不是;对于②,180°角的终边为x轴非正半轴,②不是;对于③,-240°=-360°+120°,120°是第二象限角,③是;对于④,495°=360°+135°,135°是第二象限角,④是.【总结升华】确定角所在象限的方法(1)给定角所在象限的判断:利用终边相同角的表示方法,将角转化到0°~360°内进行判断;(2)倍角与分角所在象限的判断:先表示出倍角或分角,再给k取不同的值,分别判断所在的象限,即为倍角或分角所在的象限.【即学即练】若角α是第二象限角,试确定角2α,α3是第几象限角【解析】因为α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),可得180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z,所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.又由k·120°+30°<α3<k·120°+60°,k∈当k=3n,n∈Z时,n·360°+30°<α3<n·360°+60°,n∈Z,此时α当k=3n+1,n∈Z时,n·360°+150°<α3<n·360°+180°,n∈Z,此时α当k=3n+2,n∈Z时,n·360°+270°<α3<n·360°+300°,n∈Z,此时α3综上所述,α3可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【补偿训练】(多选)(2024·抚州高一检测)已知角α的终边在第一象限,那么角α2的终边可能在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选AC.因为角α的终边在第一象限,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,所以k·180°<α2<k·180°+45°,k∈Z当k=0时,0°<α2当k=1时,180°<α2<225°,则终边在第三象限所以角α2的终边可能在第一象限或第三象限角度2区域角的表示【典例4】已知角α的终边在如图所示的阴影区域内,则角α2的取值范围是【解析】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z},所以角α2的取值范围是{α2|15°+k·90°≤α2<52.5°+k·90°,k答案:{α2|15°+k·90°≤α2<52.5°+k·90°,k【总结升华】区域角的表示方法(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°内的角α和β;(3)起始、终止边界分别对应角α,β,再加上360°的整数倍,即得区域角的范围,要注意边界值是否能取到.【即学即练】(2024·扬州高一检测)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是.

【解析】因为终边落在y轴上的角为90°+k·180°,k∈Z,终边落在图中直线上的角为120°+k·360°=120°+2k·180°,k∈Z;300°+k·360°=120°+180°+2k·180°=120°+(2k+1)·180°,k∈Z,即终边在直线上的角为120°+k·180°,k∈Z,所以终边落在阴影部分的角为90°+k·180°≤α≤120°+k·180°,k∈Z.答案:{α|90°+k·180°≤α≤120°+k·180°,k∈Z}课时巩固训练,请使用“课时过程性评价四十一”5.1.2弧度制【学习目标】1.了解弧度制的概念.2.会进行角度与弧度的转化.3.理解弧度制下弧长与面积公式并能应用.【素养达成】数学抽象数学运算数学运算一、角度制与弧度制1.度量角的两种单位制(1)角度制①定义:用度作为单位来度量角的单位制;②1度的角等于周角的1360(2)弧度制①定义:以弧度作为单位来度量角的单位制;②1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.教材挖掘(P172探究)如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ=r1.在旋转过程中,点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1.l1与r提示:比值是α,可以发现,圆心角α所对弧长与半径的比值,只与α的大小有关.版本交融(人BP9想一想)弧度制与角度制的区别是什么?思考引入弧度制的意义是什么.提示:角度制与弧度制是角的两种度量方式,引入弧度制可以使角的集合与实数集R存在一一对应关系,为三角函数的引入做铺垫.2.弧度数正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.3.弧度与角度的换算(1)180°=πrad,1°=π180rad≈0.(2)πrad=180°,1rad=(180π)°≈57.30°=57°18二、扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则(1)弧长公式:l=αR.(2)扇形面积公式:S=12lR=12αR版本交融(人BP11想一想)把扇形的面积公式与三角形的面积公式进行对比,你能得到什么启发?提示:扇形可以看成一个曲边三角形,弧长l可以看作三角形的底,半径R可以看作三角形的高.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(√)提示:“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,故正确.(2)1°的角是周角的1360,1rad的角是周角的12π提示:周角是360°的角,所以1°的角是周角的1360;同时周角是2πrad的角,因此1rad的角是周角的12π(3)1°的角比1rad的角大.(×)提示:1°=π180rad<1rad类型一角度与弧度的互化(数学运算)【典例1】(2024·武威高一检测)将下列角度与弧度进行互化:(1)5116【解析】(1)5116πrad=511(2)-7π12【解析】(2)-7π12rad=-7(3)10°;【解析】(3)10°=10×π180=π(4)-855°.【解析】(4)-855°×π180=-19π4【总结升华】角度与弧度的互化方法(1)关键:利用互化公式πrad=180°;(2)方法:角度数×π180=弧度数;弧度数×(180π【即学即练】把下列角度与弧度进行互化:(1)72°;【解析】(1)72°=72×π180rad=2π(2)-300°;【解析】(2)-300°=-300×π180rad=-5π(3)2;【解析】(3)2rad=2×(180π)°=(360(4)-2π9【解析】(4)-2π9rad=-29类型二用弧度制表示角(数学运算)角度1用弧度制表示终边相同的角【典例2】(2024·吉安高一检测)与30°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+π4,k∈ZB.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}D.{α|α=2kπ+π6,k∈Z【解析】选D.对于A,B,弧度和角度属于不同度量单位,不能混用,A错误,B错误;对于C,D,因为30°换算成弧度制为π6,所以与30°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+30°,k∈Z}或{α|α=2kπ+π6,k∈Z}【总结升华】用弧度制表示终边相同的角的方法(1)形式:与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z};(2)注意:角度与弧度不能混用.【即学即练】若角α和β的终边关于y轴对称,则有()A.α=π2-B.α=(2k+12)π-β(k∈C.α=2π-βD.α=(2k+1)π-β(k∈Z)【解析】选D.由题意,角α和β的终边关于y轴对称,可得α+β=π+2kπ,k∈Z,即α=(2k+1)π-β(k∈Z).角度2用弧度制表示区域角的范围【典例3】用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界,如图所示).图(1)图(2)【解析】对题图(1),可看作[-π6,5π可表示为{α|2kπ-π6≤α≤2kπ+5π12,k∈Z对题图(2),可看作[-3π4,3π可表示为{α|2kπ-3π4≤α≤2kπ+3π4,k∈Z对题图(3),可看作由[π6,π故可表示为{α|kπ+π6≤α≤kπ+π2,k∈Z【总结升华】用弧度制表示区域角的方法(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-2π~2π内的角α和β;(3)起始、终止边界对应角α,β,再加上2π的整数倍,即得区域角的范围,要注意边界值能否取到.【即学即练】如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).【解析】如题图①,以OA为终边的角为π6+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为-2π3+2kπ(k∈Z),所以阴影部分内的角的集合为{α|-2π3+2kπ<α<π6+2kπ,k如题图②,以OA为终边的角为π3+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为2π3+2kπ(k∈不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,则M1={α|2kπ<α<π3+2kπ,k∈Z},M2={α|2π3+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2={α|2kπ<α<π3+2kπ或2π3+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z类型三扇形弧长与面积公式的应用(数学运算)角度1求弧长【典例4】(2024·温州高一检测)在半径为9的圆中,100°的圆心角所对弧长为()A.900 B.5π C.52π D.【解析】选B.100°=π180×100=5π9,则所对弧长为5π【总结升华】扇形弧长的计算(1)公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数);(2)注意:如果条件已知的是弦长,需要先求出圆心角,再计算弧长.【即学即练】(2024·太原高一检测)古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画,题字题画的扇纸多为扇环.已知某纸扇的扇环如图所示,其中外弧线长与内弧线长之和为95cm,连接外弧与内弧两端的线段长均为503cm,且该扇形的中心角的弧度数为2.7,则该扇环的外弧线长为cm【解析】如图,设弧AB的长为acm,弧CD的长为bcm.因为该扇形的中心角的弧度数为2.7,所以a=2.7OA,b=2.7OC,即OA=a2.7,OC因为AC=OA-OC=a-b2.7=50又因为a+b=95,解得a=70,所以该扇环的外弧线长为70cm.答案:70角度2求面积【典例5】(2024·宜春高一检测)已知扇形弧长为π3,圆心角为π6,则该扇形面积为(A.π6 B.π4 C.π3 【解析】选C.设扇形的半径为r,则π3=π6·r,解得r=2,所以扇形的面积为S=12×π6×2【总结升华】扇形面积的计算(1)公式:S=12lR=12αR2(其中S是扇形的面积,l是扇形的弧长,R是扇形的半径,(2)关键:分析题中的已知量与待求量,然后灵活选择面积公式直接求解或列方程(组)求解.【即学即练】如果弓形的弧所对的圆心角为