高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.1 第1课时　集合的含义含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.1第1课时集合的含义含答案1.1集合的概念第1课时集合的含义【学习目标】1.通过实例了解集合的含义.2.理解元素与集合之间的“属于”与“不属于”关系,熟记常用数集专用符号.3.理解集合元素的确定性、互异性、无序性,能够用其解决有关问题.【素养达成】数学抽象数学抽象逻辑推理一、元素与集合的相关概念元素定义把研究对象统称为元素记法常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示集合定义一些元素组成的总体叫做集合,简称为集记法常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合相等构成两个集合的元素是一样的集合中元素的特性确定性、互异性和无序性版本交融(人BP4尝试与发现)某校高一学生中身高不低于180厘米的男生能否构成一个集合?高个子的男生呢?提示:某校高一学生中身高不低于180厘米的男生能构成一个集合,因为标准确定;高个子的男生不能构成一个集合.二、元素与集合的关系关系语言描述记法属于a是集合A中的元素a∈A不属于a不是集合A中的元素a∉A三、常用的数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)某校高一(1)班所有性格开朗的女生能构成一个集合.(×)提示:因为“性格开朗”没有明确的划分标准,所以不能构成一个集合.(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的.(√)提示:只要构成两个集合的元素一样,这两个集合就相等,与元素的先后顺序无关.(3)a∈A与a∉A这两种情况有且只有一种成立.(√)提示:元素与集合之间是属于或不属于的关系,二者只成立其一.(4)如果坐标平面内所有的点组成的集合为B,那么1∈B.(×)提示:集合B是点集,1∉B.类型一集合的概念(数学抽象)【典例1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.著名的物理学家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数【解析】选D.只有D项有明确的标准,能构成一个集合,其他选项不能构成集合.(2)下列说法中,正确的是()A.若P是以π为元素的集合,Q是以3.1415926为元素的集合,则集合P与Q相等B.接近0的数的全体构成一个集合C.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4D.将小于5的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合【解析】选C.选项A中,P,Q的元素不相同,所以P与Q不相等,不正确;选项B中,不满足集合中元素的确定性,不正确;选项C中,由“title”中的字母构成的集合中的元素为t,i,l,e,共4个,正确;选项D中,小于5的自然数不管按哪种顺序排列,里面的元素都是0,1,2,3,4这5个数,集合是相同的,和元素的排列顺序无关,不正确.【总结升华】1.判断一组对象能构成集合的条件(1)能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素;(2)任何两个对象都是不同的;(3)对元素出现的顺序没有要求.2.判断两个集合相等的注意点若两个集合相等,则这两个集合中的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相同.【即学即练】下列说法正确的是()A.在一个集合中可以找到两个相同的元素B.好听的歌能组成一个集合C.我校高一年级所有同学的姓氏能构成集合D.把1,2,3三个数排列,共有6种情况,因此由这三个数组成的集合有6个【解析】选C.集合中的元素是互不相同的,A不正确;好听的歌是不确定的,所以好听的歌不能组成一个集合,B不正确;高一年级同学的姓氏是确定的,所以能构成集合,C正确;因为集合中的元素满足无序性,故由1,2,3三个元素只能组成一个集合,D不正确.【补偿训练】下列对象中可以构成集合的是()A.大苹果 B.小橘子C.中学生 D.好老师【解析】选C.A×大苹果的“大”标准不明确B×小橘子的“小”标准不明确C√中学生标准明确,故可构成集合D×好老师的“好”的标准不明确类型二元素与集合的关系(逻辑推理)【典例2】(1)(多选)集合M是由大于0且小于2的实数构成的,则下列关系正确的是()A.5∈M B.0∈MC.1∈M D.π2∈【解析】选CD.5>2,故A错误;0∉M,故B错误;1∈M,故C正确;0<π2<2,故D正确(2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若2∈A,则实数a的取值范围为_________.

答案:{a|a>-4}【解析】因为2∈A,所以2×2+a>0,即a>-4.【总结升华】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现.(2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.【即学即练】1.下列元素与集合的关系判断正确的是()A.0∈N B.π∈QC.2∈Q D.-1∉Z【解析】选A.因为0∈N,π∉Q,2∉Q,-1∈Z,所以只有A正确.2.设集合B是小于11的所有实数的集合,则23_______B,1+2_______B.(用符号“∈”或“∉”填空)

答案:∉∈【解析】因为23=12>11,所以23∉B.因为(1+2)2=3+22<3+2×4=11,所以1+2<11,所以1+2∈B.类型三元素互异性的应用(逻辑推理)【典例3】(类题·节节高)(1)已知集合A中含有两个元素a和a2,则实数a的取值范围为_________.

【解析】(1)因为A中含有两个元素a和a2,所以a≠a2,解得a≠0且a≠1.(2)已知集合A中含有三个元素3,a,a2-2a,若-2∈A,则实数a的值为_______.

【解析】(2)因为-2∈A,所以a=-2或a2-2a=-2.由于a2-2a=(a-1)2-1≥-1,所以a=-2.(3)已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,则实数a的值为_______.

【解析】(3)由题意可知,a=1或a2=a,若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意,所以实数a的值为0.答案:(1){a|a≠0且a≠1}(2)-2(3)0【总结升华】由集合中元素的特性求解字母的取值(范围)的步骤(1)求解:根据集合中元素的确定性,解出字母的取值(范围);(2)检验:根据集合中元素的互异性,对解出的值(范围)进行检验;(3)作答:写出符合题意的字母的取值(范围).提醒:不要忘记验证集合中元素的互异性.【即学即练】已知集合P中有三个元素-1,2a+1,a2-1.若0∈P,则实数a的值为_________.

答案:-12【解析】因为集合P={-1,2a+1,a2-1},且0∈P,所以2a+1=0或a2-1=0,解得a=-12或a=±1当a=-12时,a2-1=-3当a=1时,2a+1=3,符合题意;当a=-1时,2a+1=-1,不满足元素的互异性,舍去;所以,实数a的值为-12或1第2课时集合的表示【学习目标】1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.【素养达成】数学抽象逻辑推理一、列举法把集合中的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.

教材挖掘(P5思考)什么类型的集合适合用列举法表示?提示:(1)元素个数较少的集合.(2)元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不至于发生误解的情况下,也可列出几个元素作代表,其他元素用省略号表示,如N可表示为{0,1,2,…,n,…}.(3)当集合所含元素不易表述时,用列举法表示方便.如集合{x2,x2+y2,x3}.二、描述法前提条件A是一个集合要表示的集合集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合形式{x∈A|P(x)}结论对于任何y∈x∈都有y∈A且P(y)成立版本交融(人BP6尝试与发现)满足x>3的所有实数组成的集合A能用列举法表示吗?提示:不能.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)Q={全体有理数}.(×)提示:集合的“{}”已包含所有的意思,{有理数}即代表有理数集Q.(2)“大于-2且小于2的整数”构成的集合不能用列举法表示.(×)提示:能,{-1,0,1}.(3)集合{(0,1)}中的元素是0和1.(×)提示:集合中元素为(0,1).(4){x|x>3}与{y|y>3}是相等集合.(√)提示:都表示由大于3的数构成的集合.类型一用列举法表示集合(逻辑推理)【典例1】用列举法表示下列给定的集合:(1)不大于11的质数组成的集合A;【解析】(1)不大于11的质数有2,3,5,7,11,所以集合A={2,3,5,7,11}.(2)所有非负偶数组成的集合B;【解析】(2)非负偶数为0,2,4,6,8,…,所以集合B={0,2,4,6,8,…}.(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C;【解析】(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1,32所以集合C={-1,32}(4)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合D.【解析】(4)将x=0代入y=2x+1中,得y=1,即所求交点是(0,1),所以集合D={(0,1)}.【总结升华】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.(3)用花括号括起来.提醒:一定要弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.【即学即练】用列举法表示下列给定的集合:(1)不小于2且不大于6的整数组成的集合A;【解析】(1)因为不小于2且不大于6的整数包括2,3,4,5,6,所以集合A={2,3,4,5,6}.(2)方程x2-2=0的实数根组成的集合B;【解析】(2)方程x2-2=0的实数根为-2,2,所以集合B={-2,2}.(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图象的交点组成的集合C.【解析】(3)由y=x所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以集合C={(1,3)}.类型二用描述法表示集合(逻辑推理)【典例2】用描述法表示下列集合:(1)小于10的非负整数构成的集合;【解析】(1)小于10的所有非负整数构成的集合,用描述法可表示为{x∈Z|0≤x<10};(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合;【解析】(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3};(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合;【解析】(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0};(4)集合{1,3,5,7,…}.【解析】(4){1,3,5,7,…}用描述法可表示为{x|x=2k-1,k∈N*}.【总结升华】描述法表示集合的两个步骤提醒:用描述法表示集合时,不能出现未被说明的字母.【即学即练】用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-3<5的解组成的集合A;【解析】(1)解不等式2x-3<5得x<4,所以集合A={x|x<4}.(2)被5除余1的正整数组成的集合B;【解析】(2)被5除余1的数可以表示为5n+1,n∈Z,所以集合B={x|x=5n+1,n∈N}.(3)C={2,4,6,8,10};【解析】(3)设偶数为x,则x=2n,n∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2n,n≤5,n∈N*,所以集合C={x|x=2n,n≤5,n∈N*}.(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.【解析】(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x<0,y>0,所以集合D={(x,y)|x<0,y>0}.【补偿训练】下列三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?【解析】(1)不是.(2)它们各自的含义分别是什么?【解析】(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值范围;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以B={y|y≥1},即集合B表示函数y=x2+1中因变量y的取值范围;集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对,即集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.类型三根据集合求参数问题(逻辑推理)【典例3】(易错·对对碰)(1)已知集合A={x|x2+2x+a=0,a∈R},若A中只有一个元素,则a的值为_______;

答案:1【解析】(1)由题意,当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意,故当A中只有一个元素时,a的值为1.(2)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一个元素,则a的值为_______;

答案:0或1【解析】(2)当a=0时,原方程变为2x+1=0,此时x=-12当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意.故当A中只有一个元素时,a的值为0或1.(3)已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中至多有一个元素,则a的取值范围为_______.

答案:{a|a=0或a≥1}【解析】(3)由题意,A中有一个元素或没有元素.当A中只有一个元素时,由(2)可知,a=0或a=1.当A中没有元素时,Δ=4-4a<0且a≠0,即a>1.故当A中至多有一